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数学专题1 三角函数式的化简与求值


三角函数式的化简与求值
知识网络 三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系,主要由两个系列组成:三角 函数坐标定义的推论系列;公式的推论系列

一、高考考点 以三角求值为重点,同时对三角式的化简具有较高要求,主要考查: 1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”;运用同角 公式的“灵活”:正用、反用、变用。

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2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用:正用、反用;有关公式的联合运用, 主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值(以选择题、填空题为主) ;带有附加条 件的三角式的求值问题(以解答题为主) ;比较简单的三角恒等式的证明(多为解答题, 不同某一小题) 。

3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。

二、知识要点 (一)三角函数坐标定义的推论 1、三角函数值的符号 2、特殊角的三角函数值 3、同角三角函数的基本关系式(同角公式)

(1)课本中的公式:

(2)同角公式“全家福” ①平方关系: ②商数关系: ③倒数关系: . .

4、 诱导公式: (1)认知与记忆:对使三角函数有定义的任意角
2

① k·360°+

(k∈Z) ,-

,180°±

,360°-

(共性:偶数×90°±

形式)

的三角函数值, 等于

的同名函数值, 前面放上一个把

看作锐角时原函数值的符号;

② 90°±

,270°±

(共性:奇数×90°±

)的三角函数值,等于

的相应余

函数值,前面放上一个把

看作锐角时原函数值的符号。

①②两类诱导公式的记忆:奇变偶不变,符号看象限。

(2)诱导公式的引申 ; ; .

(二)两角和与差的三角函数 1、两角和的三角函数 两角差的三角函数





2、倍角公式
3



= = ;

3、倍角公式的推论 推论 1(降幂公式) : ; ; .

推论 2(万能公式) : ; .

推论 3(半角公式) : ; ;
4

. 其中根号的符号由 所在的象限决定.

三、经典例题 例 1、填空: (1)已知 (2)已知 的取值范围为 的取值范围为

分析: (1)从已知条件分析与转化入手 ① 又 ∴由①、②得 ∴应填 , ②

(2)首先致力于左右两边的靠拢: 左边= 右边= ② ①

5

∴由左边=右边得

, ∴应填 点评: 解本题, 极易出现的错解是由①、 ②得 这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训. ,

例 2.化简或求值: (1) (2)

分析: (1)注意到分母为单一的非特殊角的余弦,需设法在分子变换出 cos20°.为此, 将 10°变为 30°-20°后运用差角公式。

(2)对于含有清一色的两切值的三角式,除用“切化弦”外 ,运用有关正切(或余 切)的公式,常常会收到良好的效果.

解:

6

(1)原式=

(2) 解法一(利用关于正切的倍角公式) : 注意到 ∴ ∴原式= = = = =cot20°

解法二(利用掌握的典型关系式) : 注意到 ∴原式= = = =cot20° (证明从略)

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点评:根据所用公式的特证,解法一从后向前变,解法二则从前向后推,这种灵 活性值得借鉴.此外,在(1)中将 10°变为特殊角 30°与相关角 20°的差,从角的这一 关系式入手突破,是(1)求解成功的关键.

例 3. (1) 已知 (2)已知 , 求 的值;

分析: 对于(1)注意到已知式的复杂性,考虑从化简与认识“已知”切入,以明确未知目 标的变形方向; 对于(2) ,注意到目标与已知的不甚亲密,考虑从认知和变形目标切入, 以准确 已知的延伸方向.

解: (1)由已知得 ∴ 注意到 ∴由已知得 于是有 原式= (至此,目标的变形方向明确)

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(2)由已知得 =

原式=

= (至此寻求的目标明确) 又∵ ∴ ∴





于是②代入①得,原式=

.

点评: (1)从化简认知“已知”切入, (2)从化简认识“目标”切入,具体情况具体分 析,很好地体现了解题的灵活性.

例 4. (1)已知 (2)已知 (3)已知
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(4)已知

分析:已知某一个(或两个)角的三角函数值,求另一个相关角的三角函数值, 基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.上述角的关系主要有互余(或互补) 关系,和差(为特殊角)关系,倍半关系等.对于比较复杂的问题,则需要两种关系的 混合运用.

解: (1)注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式: 差与倍半的综合关系) ∴ = ∵ ∴ ∴ ② ③ ∴将②③代入①得 ① (和

(2)注意到这里有关各角的关系式:
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(和差与倍半的综合关系) ∴ = ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴将②③代入①得 于是有 . ② ③ ①

(3)注意到这里有关各角之间的关系式

∴ ∴ ∵ ①

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∴ 又 ∴ ∴将②③代入①得 故得 , ③ ②

(4) 解法一(从寻找两角 由已知得: ∵ ∴ ③ 此时注意到 ∴由①②③得 ∴ 于是得 . 在 内单调递增. ② 与 的联系切入) : ①

解法二(从已知式的化简切入)
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由已知得

④ ∵ ∴ ∴由④得 于是再由 及⑤得 . ⑤

点评: 对于(1) (2) ,侧重和差与倍半关系导出有关角的等量关系; 对于(3) ,侧重特殊角来建立有关各角的关系式; 对于(4) ,既展示了三角条件求值的一般途径:已知三角函数值 函数值;又展示了三角条件求值的特殊途径:已知三角函数值 知三角函数值 未知三角 未

有关角的量值

例 5、 (1)设 (2)设

分析: (1)注意到未知式的复杂,考虑从化简和认知目标切入,以明确已知条件 的延伸方向:
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原式=

,故解题从求

突破.

(2)在分析与变形目标中发现上,下面两式的联系: 原式= ,故解题从求 突破.

解: (1)原式= ∵ ∴由 ∴ ∴ 得 ② ①





④ 于是将②③④代入①得 原式=

(2) 原式= ∵ ∴
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∴由 ∴ ⑥ 又注意到





∴将⑥⑦代入⑤得,原式=

点评: (1) (2)两题的条件与目标相似,此时解题可谓“仁者见仁,智者见智”,不 同的关注点,引出不同的切入点和突破口.

例 6、 (1)已知 (2)已知 (3)已知 , 且

分析:不同的矛盾需用不同的方法来解决. 对于(1)着眼于目标 对于(2)着眼于目标 切入与突破; 对于(3) ,由已知导出 的函数值,方向不明,此时注意到
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,故从求 ,故从求

切入;

, 故转而考虑从寻觅 手.

的方程与求解入

解: (1)∵ , ① ② 则①2+②2 得 ∴ 又 此时注意到①中 故得 于是由③④得 因此有 ④ , ③

点评 1:本题容易引发的错解为由③得

,因而有

,错解的根源在于解题中仅利用已知数据的绝对值,而未能利用已 知数据的符号.事实上,三角条件求值的特色之一,是在求解过程中常常将已知数据的 绝对值(或本身)与已知数据的符号分开(或重复)使用.本例的解答便是这一“分开使
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用”的示范.

(2) 由 ② ③ ∴②2+③2 得 ∴ 又③2-②2 得





⑤ ∴④代入⑤得 ⑥

于是将④⑤代入①得,原式=

(3)由 ∴ 又由





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∴将①②联立方程组,解得 ∴

点评 2:求解(2) (3)的共同之处,是首先认知目标,而后有的放矢地去求索, 认知目标以明确寻求的方向,此为条件求值的基本原则;不过,当目标有不同的“面孔” 时,需仔细斟酌与选择追求的对象.

四、高考真题 (一)选择题 1、 (2005 江苏卷)若 B. C. D.

分析:由 ∴ ∴应选 A.

2、 (2005 浙江卷) 已知 k<-4, 则函数 y=cos2x+k (cosx-1) 的最小值是 ( A. 1 D. –2k+1
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B. -1

C. 2k+1

分析:y=2cos2x+kcosx-k-1 =2(cosx+ ∵k<-4, 又-1≤cosx≤1 ∴当 cosx=1 时,y 取最小值 1,故选 A. 应选 A. )2-( ∴- >1 )

(二)填空题 1、 (2005 全国卷 II )设

分析:注意到已知条件中的角与目标中的角之间的联系

由已知得

∴ ∴ ∵ 又 为第四象限角 ②



∴由②得
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于是由①③得,

(三)解答题 1、 (2005 广东卷)化简 ,并求函数 f(x)的值 域和最小正周期.

分析:欲求 f(x)的值域和最小正周期,第一选择是将 f(x)化为 形式.



解: = = = = = =4cos2x 即 f(x)=4cos2x(x∈R) ∴f(x)的最小正周期 T= ;
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又-1≤cos2x≤1(x∈R) ∴f(x)的值域[-4,4]。

点评:本题从考查三角函数的诱导公式、和(差)角公式、以及三角函数的周期 和值域切入,重点考查 f(x)向一般形式的化归和转化能力.

2、 (2005 浙江卷)已知函数 f(x)= (1)求 (2)设 的值;

分析: 为便于计算或化简, 在可能的情况下, 以首先将 f (x) 化为 形式为上策.



解:运用倍角公式得 = =

(1) =

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= =0

(2) ∴ ∴ = = ∵ ∴ ∴

点评:若 f(x)是形如 则一般要将 f(x)化为 的形式后求解.

的 sinx,cosx 的二次齐次式,

3、 (2005 福建卷)已知 (1)求 (2)求 的值; 的值.

分析:已知

的值,要求 sinx,cosx 或可用 sinx,cosx 表出的三角式的
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值,典型解法之一是“配对”解法,即先求

的值,而后将上述两式联合,解出

sinx,cosx 的值再作道理.而本题恰是为了解(2)作了铺垫.

解: (1)对于 由①式两边平方得 ∴ ∵ ,∴cosx>0,sinx<0 ② ①

∴sinx-cosx<0 ∴由②得 sinx-cosx=- ③

(2)将①③联立,解得

∴原式=

点评:注意到由①2 得 比较复杂的问题,还要注意利用这里的

,故这里只利用了已知数值 或
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的绝对值,对于

的符号,据此来进行筛选或认定相关

三角式的取值.对此,请大家参见本专题经典例题,以强化这一方面的认知. 4、条件求值系列: (1)已知 (2) (已知 (3)已知 分析: 注意到(1)中已知等式复杂,故从化简和认知“已知”切入; 而(2)中“已知”与目标疏远,故首先从已知中角的关系入手主动靠拢目标,而后 视具体情况再决定下一步的动作; 至于(3) ,易见应从化简和认知目标切入,利用(ⅰ)的结果更为简便. 解: (1)由已知得 ∴ 由已知得 ∴tan ∴ = = =
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, (ⅰ)求

的值; (ⅱ)求

的值.

① , ,∴由①得 ,∴ , 即

(2)注意到

互为余角,由已知得 ②

∵ ∴由②得



于是有原式= = = =

= = (3) (ⅰ)由已知得 ,由此解得

(ⅱ)利用(ⅰ)的结果,原式= 点评: 对于(1) ,解题有两大障碍:一是,认知与化简已知,导出 行推导 与借鉴.
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;二是,自

关于

的表达式(即人们常说的万能公式).解题策略值得领悟

对于(2) ,从 此外,因势利导求出角

互为余角切入,乃是简化解题过程的关键环节. ,虽属特例,但也展示了三角解题的灵活性

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