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高中数学人教A版选修1-1课件:2.3.2《抛物线的简单几何性质》课时2

时间:


2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质(2)

利用探照灯、汽车前灯的反光曲面等生活中的实物进行新 课导入。在前一节课学习抛物线的基础上,继续学习抛物线 的通径和焦半径,直线与抛物线的位置关系等等. 激发学生的 数学应用意识.

运用类比的思想,类比椭圆、双曲线的性质学习抛物线
的通径和焦半径,直线与抛物线的位置关系.例1是关于抛物

线的证明问题;例2是探寻直线与抛物线的交点个数问题,运
用根的判别式法;例3运用了设而不求和点差法。

方程 图 形 范围

y2 = 2px ( p> 0) y l O F x≥0 x

y2 = -2px
( p> 0) y l F O

x2 = 2py
( p > 0) y F

x2 = -2py

( p> 0) y
x l

l

x

O

O
x∈ R

F

x

y∈ R

x≤0 y∈R
关于x轴对称

x∈R y≥0
关于y轴对称

y≤0

对称性 顶点
离心率

关于x轴对称

关于y轴对称

(0,0) e=1

探照灯、汽车前灯的反光曲面,手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面 都是抛物镜面。 抛物镜面:抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上,通过镜面反射就变成了平行光束, 这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。

平行光线射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线都经过抛物线的

焦点,这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。

抛物线的通径和焦半径
1.通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线 相交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线 的通径。

y

P ( x0 , y0 )
O

F

x

通径的长度:2P

P越大,开口越开阔

2.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。

焦半径公式: |PF|=x0+p/2 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。

直线与抛物线的位置关系

问题1:直线与抛物线有怎样的位置关系?
1.相离;2.相切;3.相交(一个交点,两个交点).

y
与双曲线的

情况一致
O

x

问题2:如何判断直线与抛物线的位置关系?

把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程

得到一元二次方程

直线与抛物线的 对称轴平行(重合)

计算判别式

>0
相交(一个交点) 相交

=0
相切

<0
相离

焦点弦
通过焦点的直线,与抛物线相交

y

A ( x1 , y1 )
F

于两点,连接这两点的线段叫做
抛物线的焦点弦。

O

B ( x 2 , y2 )

x

焦点弦公式: p ? x1 ? x2
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。

y2 = 2px

y2 = -2px
( p> 0) y l
x F O

x2 = 2py
( p> 0) y
F

x2 = -2py
( p> 0) y
x O F l x

方程 图形 范围

( p> 0) y
l O F

x

O

l

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R
关于x轴对称

x∈R y≥0
关于y轴对称

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称

顶点
焦半径 焦点弦 的长度

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考:
例1、过抛物线焦点F的直线交抛物线 于 A,B 两点,通过点 A 和抛物线顶点 的直线交抛物线的准线于点 D ,求证:

l

y

A O
F
x

直线DB平行于抛物线的对称轴。

D

B

证明:以抛物线的对称轴为x轴,它的顶点为原点, 建立直角坐标系。设抛物线的方程为y ? 2 px,
2
2 y0 2p 点A的坐标为 ( , y0 ),则直线OA的方程为y ? x, 2p y0 p 抛物线的准线是 x ? ? 2

y

A O

p 因为点F的坐标是( ,0),所以直线AF的 2 p x? y 方程为 ? 2 2 . y0 p y0 ? 2p 2

p2 联立可得点 D的纵坐标为 y?? . y0

D

F B

x

p2 联立可得点 B的纵坐标为y ? ? . y0

所以DB // x轴。

例 2. 已知抛物线的方程为 y ? 4 x ,直线 l
2

过定点 P ( ?2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与 抛物线 y ? 4 x : 只有一个公共点 ;有两个公共点;
2

没有公共点?
y2=4x

?

分析:用解析法解决这个问题,只要讨论直线l的方程 与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组解 的情况判断直线l与抛物线的位置关系. 解:由题意,设直线l 的方程为y-1=k(x+2).

由方程组

y ? 1 ? k ? x ? 2? , y 2 ? 4x ,

? ??

(1)当k=0时,由方程①得y=1 1 2 把 y ? 1代入 y ? 4x, 得 x ? . 4

1 这时, 直线 l 与抛物线只有一个公共点( ,1). 4

? 2 ? 当 k ? 0 时, 方程 ① 的判别式为
? ? ?16 ? 2k ? k ? 1? .
2

1 (I)由? ? 0,即 2k ? k ? 1 ? 0, 解得k ? ?1, 或k ? . 2
2

1 于是, 当k ? ?1, 或k ? 时 , 方程 ① 只有一个解, 2 从而方程组 ? ?? 只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点.

1 (II) 由? ? 0, 即 2k ? k ? 1 ? 0, 解得 ? 1 ? k ? . 2 1 于是 , 当 ? 1 ? k ? ,且k ? 0时, 方程①有两个解, 2 从而方程组 ???有两个解.这时, 直线 l 与抛物线有两
2

个公共点.
1 (III)由? ? 0, 即 2k ? k ? 1 ? 0, 解得k ? ?1, 或k ? . 2 1 于是, 当k ? ?1, 或 k ? 时, 方程 ① 没有实数解, 从而
2

2 方程组 ??? 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点.

综上,我们可得:
1 当k ? ?1, 或k ? , 或k ? 0时,直线 l 与抛物线 2 只有一个公共点.

1 当 ? 1 ? k ? ,且k ? 0时, 直线 l 与抛物线有 2 两个公共点.

1 当k ? ?1 , 或k ? , 时 , 直线 l 与抛物线没有公共点. 2

变式训练:一个顶点在坐标原点,焦点在x轴上抛物线截直线 2x-y-4=0所得弦长为 3 5 ,求抛物线的方程.

解 : 由 题 设 抛 物 线 方 程 为 y 2 ? m x, 直 线 与 抛 物 线 交 点 为

A ( x 1 , y 1 )、 B ( x 2 , y 2 )
? y2 ? mx 由? ? 4 x 2 ? ( m ? 16 ) x ? 16 ? 0 ?2 x ? y ? 4 ? 0

?| A B | ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
2

? 1? 2

当焦点在x(y)轴上,开 口方向不定时,设为 2 2 ? 所 求 抛 物 线 方 程 为 y ? 4 x或 y ? ? 3 6 x. 2 y =mx(m ≠0)(x2=my (m≠0)),可避免讨论

? m ? 4或 m ? ? 36

m ? 16 2 ( ) ? 4 ? 4 ? 3 5 ? m ? 16 ? ? 20 4

例3.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶 点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.

分析:如图,设正三角形OAB的顶点A,B 在抛物线上, 且它们的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2), 则y
2 1 =2px1,

y 2 =2px2,

2

2 2 2 又|OA|=|OB|,所以 x2 + y = x + y 1 1 2 2,

即 x -x +2px1-2px2=0,

2 1

2 2

所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0, 因为 x1>0,x2>0,2p>0,所以 x1=x2,
由此可得|y1|=|y2|,即线段 AB 关于 x 轴对称. 由于 AB 垂直于 x 轴,且∠AOx=30°, y1 3 2 所以 =tan30°= ,而 y1=2px1, x1 3

所以 y1=2 3p, 于是|AB|=2y1=4 3p.

本题利用了抛物线与正
三角形有公共对称轴这一 性质,但往往会直观上承

故这个正三角形的边长为

4 3p.

认而忽略了它的证明.

A

2.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线, 则被抛物线截得的弦长为( B ) A .8 B.16

C.32

D.61

3.(2013·北京高考)直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦 点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( C )
4 A. 3

B.2

8 C. 3

6 2 D. 3

直线与抛物线的位置关系 ⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物线 的对称轴平行(重合); 相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线与抛物线 的对称轴不平行(重合); 相离:直线与抛物线无公共点.

⑵直线与抛物线的位置关系的判断. 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程

得到一元二次方程

直线与抛物线的 对称轴平行(重合)

计算判别式

>0
相交(一个交点)

=0
相切

<0
相离

相交

课后练习

课后习题


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