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山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文科数学试题

时间:2013-01-07


山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 数学试题(文科)
考试时间 120 分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号和科类填写在答题 卡和试卷规定的位置上.1 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,

再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上.1 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.复数 A. ?i 【答案】B 【解析】

2012-9

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页. 第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.满分 150 分,

1 ? 2i ?( 2?i

) B. i C. 5i D.

4 ?i 5

1 ? 2i (1 ? 2i)(2 ? i) 5i ? ? ? i ,选 B. 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5

2. 设 l 是直线,a,β 是两个不同的平面 A. 若 l ∥a, l ∥β ,则 a∥β C. 若 a⊥β , l ⊥a,则 l ⊥β 【答案】B 【解析】根据线面垂直的判定和性质定理可知,选项 B 正确。 3.下列有关命题的说法正确的是( ) B. 若 l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β D. 若 a⊥β , l ∥a,则 l ⊥β

2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” .

B.若 p ? q 为真命题,则 p 、 q 均为真命题; . C.命题“存在 x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “对任意 x ? R ,
2

均有 x ? x ? 1 ? 0 ” .
2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 【答案】D
2 2 【解析】若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ,所以 A 不正确。若 p ? q 为真

命题,则 p, q 至少有有一个为真,所以 B 不正确。 “存在 x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的
2 2 否定是: “对任意 x ? R , 均有 x ? x ? 1 ? 0 ” 所以 C 不正确. x ? y , s x ? , 若 则i n s i n

y,

正确,所以选 D.

4.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? a7 ? a11 ? 12 ,则 S13 等于(



( A) 52

( B ) 54

(C ) 56

( D) 58

【答案】在等差数列中 a3 ? a7 ? a11 ? 3a7 ? 12 , a7 ? 4 , 所以 S13 ? 【解析】 5.直线 x ? y ? 1 ? 0 被圆 x A.
1 2
2

13(a1 ? a13 ) 13 ? 2a7 ? ? 13a7 ? 13 ? 4 ? 52 。选 A. 2 2

? y 2 ? 1 所截得的弦长为
C.
2 2

(

) D. 2

B.1

【答案】D 【 解 析 】 圆 心 到 直 线 的 距 离 为

d?

1 2 ? 2 2

, 则 弦 长 为

2 2 r2 ? d ? 2 1? (

2 2 2 ) ? 2? ? 2 ,选 D. 2 2
)

6.某几何体的三视图如下图所示,它的体积为(

A. 72? 【答案】C

B. 48?

C. 30?

D. 24?

【解析】由三视图可知该组合体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体,球的半径为 3,圆锥的 底面半径为 3,高为 4,那么根据体积公式可得组合体的体积为 30? ,选 C. 7.执行如上图所示的程序框图,若输出的结果是 9,则判断框内 m 的取值范围是( )

A.(42,56] 【答案】B

B.(56,72]

C.(72,90]

D.(42,90)

【解析】第一次循环: S ? 0 ? 2 ? 2, k ? 1 ?1 ? 2 ,第二次循环: S ? 2 ? 4 ? 6, k ? 2 ? 1 ? 3 ,第 三次循环: S ? 6 ? 6 ? 12, k ? 3 ? 1 ? 4 , ? 第七次循环: S ? 42 ? 14 ? 56, k ? 7 ? 1 ? 8 第 八次循环: S ? 56 ? 16 ? 72, k ? 8 ? 1 ? 9 ,此时 S ? 72 ,不满足跳出循环,此时 k ? 9 ,则 判断框内 m 的取值范围是(56,72],选 B.

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为( 8.函数 y ? 2sin ? 3? ? 6

)

(A) 2 ? 3 【答案】A

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

【解析】当 0 ? x ? 9 时, 0 ?

?x
6

?

3? ? ? x ? 3? ? ? ? x ? 7? ? ? ? ,即 ? ? ? ? ,? ? , 2 3 6 3 2 3 3 6 3 6

所以当

?x ?
6 ? 3

??

?
3

时,函数有最小值 2 ? (?

?x ? ? 3 ? ? 时,函数有最大 ) ? ? 3 ,当 6 3 2 2

值 2 ,所以最大值和最小值之和为 2 ? 3 ,选 A. 9.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( A y=cos2x,x ? R
e
x

)

B.

y=log2|x|,x ? R 且 x≠0

?e 2

?x

C. y= 【答案】B

,x ? R

D.

y ? x3 ? 1 ,x? R

【解析】 为偶函数, 为奇函数, 为非奇非偶函数, A,B C D 排除 C,D.当 x ? 0 时,y ? log2 x ? log2 x 单调递增,选 B.

y2 ? 1的离心率是 10.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ? m
2





A.

3 2

B. 5

C.

3 或 5 2

D.

3 5 或 2 2

【答案】C 【解析】因为 m 是 2 和 8 的等比中项,所以 m ? 16 ,所以 m ? ?4 ,当 m ? 4 时,圆锥曲线为椭
2

圆x ?
2

y2 y2 3 2 ? 1, ? 1, 离心率为 , m ? ?4 时, 当 圆锥曲线为双曲线 x ? 离心率为 5 , 4 4 2

所以综上选 C. 11.在 在?ABC中,若a cos A ? b cos B, 则这个三角形的形状为 ( A.等腰三角形 【答案】C 【解析】根据正弦定理可知 a cos A ? b cos B ? sin A cos A ? sin B cos B ,即 sin 2 A ? sin 2 B , B.直角三角形 )

C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? ? ? 2 B ,即 A ? B 或 A ? B ? 形或直角三角形,选 C. 12.函数 y ?

?
2

,即 C ?

?
2

,所以三角形为等腰三角

ln x 的图像大致是( x

)

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 函数的定义域为 (0, ??) , 0 ? x ? 1 时,y ? 0 , x ? 1 时,y ? 0 , x ? 1 时,y ? 0 , 当 当 当 综上可知选 A. 第Ⅱ卷 注意事项: 1. ( 共 90 分)

第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题.

2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.抛物线 y ? 16x 的准线为
2

【答案】 ?4 【解析】在抛物线中 2 p ? 16, p ? 8 ,所以准线方程为 x ? ? 14.若 m ? n ? 1(mn ? 0) ,则 【答案】4 【解析】

p ? ?4 。 2

1 1 ? 的最小值为 m n

m n 1 1 1 1 m n m n ? ? ( ? )(m+n) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ?4 ,当且仅当 ? ,即 n m m n m n n m n m

m2 ? n2 ,即 m ? n ?

15.已知集合 A ? x x ? 16 ? 0 , B ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , 则A ? B ? ____
2 2

?

1 时取等号,所以最小值为 4. 2

?

?

?

【答案】 R

【解析】 A ? x x ?16 ? 0 ? {x ?4 ? x ? 4}, B ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 ? {x x ? 3或x ? 1} ,所
2 2

?

?

?

?

以 A? B ? R 16. 若 函 数
x 在 f ( x) ? a ( a? 0, a? 1) [ - 1 , 2 ] 上 的 最 大 值 为 4 , 最 小 值 为 m , 且 函 数

g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=___.
【答案】

1 4 1 。若 a ? 1 ,则函数 4

【解析】 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 1 ? 4m ? 0 ,所以 m ?

1 1 ? ,此时不成立,所以 a ? 2 不成立。 a 2 1 1 2 1 ?1 2 若 0 ? a ? 1 ,则函数 y ? a x 单调递减,此时有 a ? 4, a ? , m ? a ? ( ) ? ,此时成 4 4 16 1 立,所以 a ? . 4

y ? a x 单调递增,此时有 a 2 ? 4, a ? 2 ,m ? a ?1 ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (I) (II)

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 若 cosB= , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 4


18. (本小题满分 12 分) 某市为增强市民的环境保护意识, 面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随 机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 ? 20,25? ,第 2 组 ? 25,30? ,第 3 组 ?30,35? ,第 4 组 ?35,40? , 第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

19 (本小题满分 12 分) 如图,几何体 E ? ABCD 是四棱锥,△ ABD 为正三角形, CB ? CD, EC ? BD . (1)求证: BE ? DE ; (2)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC .

20. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。

21.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a b
(1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为

3 ,求椭圆的标准方程; 2

(2)在(1)的条件下,设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B, 且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围;

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ?R) . (1)讨论函数 f (x) 在定义域内的极值点的个数; (2)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的取值范围.

兖州市高三数学试题(文科)参考答案及评分标准 2012.9 一、选择题:(1) B (7)B 二、填空题: (13) x ? ?? 三、解答题: 17.解: (Ⅰ)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, 所以????2 分 (14) 4 (15) R (16)
1 4

(2) B (3) D (8) A (9) B

(4) A (10)C

(5) D (11) C (12) A

(6) C

cos A-2 cos C 2c-a = cos B b

=

2sin C ? sin A sin B

,



sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B , 即 有 s i n (? B ?) A
sin C ? 2sin A ,所以

2 sB ? ( , 即 ) inC

sin C =2. ????6 分 sin A

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

c sin C ? =2,即 c=2a,又因为 b ? 2 ,所以由余弦定理得: a sin A 1 1 b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B , 22 ?4 a2 ? a2 ? 2a? 2a? 即 ,解得 a ? 1 ,所以 c=2,又因为 cosB= , 4 4

所以 sinB=

1 1 15 15 15 ,故 ?ABC 的面积为 ac sin B ? ?1? 2 ? = . ????12 分 2 2 4 4 4

18.解:(1) 第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1

×100=10. ????3 分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每 组抽取的人数分别为:第 3 组:
30 20 10 ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. ????6 分 (2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1. 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. ????8 分 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1), 共 有 9 种, ????10 分 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为

9 3 = . ????12 分 15 5

(19) (本小题满分 12 分) (I)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC ? CD 知, CO ? BD ,????2 分

又已知 CE ? BD ,所以 BD ? 平面 OCE. ????4分 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所以 BE ? DE .????6分

(II)取 AB 中点 N,连接 MN , DN , ∵M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE ,????8分 ∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB . 由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即 BC ? AB , 所以 ND∥BC,????10分 所以平面 MND∥平面 BEC,故 DM∥平面 BEC. ????12 分

20. (本小题满分 12 分)

解: (1)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2 ????3 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ????5 分

(2)由(Ⅰ)可得 S n ?

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2

????8 分

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,所以 a2k ? a1Sk ?2 从而 (2k )2 ? 2(k ? 2)(k ? 3) ,即

k 2 ? 5k ? 6 ? 0 ????10 分

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) , 因此 k ? 6 。????12 分 21 解

x2 ? y 2 ? 1???6 分 (1)椭圆 C: 4

22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ,????1 分 ? x x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立,函数 f (x) 在 (0,??) 单调递减,

∴ f (x) 在 (0,??) 上没有极值点;?????2 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 得 0 ? x ?

1 1 , f ?( x) ? 0 得 x ? , a a
1 处有极小值.???4 分 a

∴ f (x) 在 (0, ) 上递减,在 ( , ?? ) 上递增,即 f (x) 在 x ? ∴当 a ? 0 时 f (x) 在 (0,??) 上没有极值点,

1 a

1 a

当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 上有一个极值点.??????6 分 (Ⅱ)∵函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,∴ a ? 1 , ∴ f ( x) ? bx ? 2 ? 1 ? 令 g ( x) ? 1 ?

1 ln x ? ? b ,??????8 分 x x

1 ln x ,可得 g (x) 在 0, e 2 上递减,在 e 2 ,?? 上递增,????11 分 ? x x

?

?

?

?

∴ g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ?

1 e
2

,即 b ? 1 ?

1 .??????13 分 e2

备注:一.

6.

2012 高考广东文 7 B 组第 2 题。 A 组第 4 题。

二. 11 必修五 P10 三. 15 必修五 P80 四. 16 五. 17

2012 高考山东 15 2011 高考山东卷 17