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2.5 三元一次方程组

时间:2013-08-30


新课导入
问题:甲、乙、丙三数的和是33,甲数比乙数大2, 甲数的两倍与丙数的和比乙数大24,求这三个数. 思考:题目中有几个未知数?含有几个相等关系? 你能根据题意列出几个方程? ? x + y + z = 33 根据题意,列方程组: ? x - y = 2 ? ? 2x + z - y = 24 ? 讨论:上面方程组具有什么特点?

知识要


含有三个未知数,且含有未知数的项的 次数都是一次的方程叫做三元一次方程 由三个一次方程组成,并且含有三个未 知数的方程组叫做三元一次方程组.

有一个三位数,已知个位上的数比十位上的 数大2,十位上的数比百位上的数大3,且个位、 十位、百位上的数的和为17,求这个三位数是多 少? 解:设个位上的数是x、十位上的数是y、 百位上的数是z,根据题意,得 x-y=2 ①

y-z=3
x+y+z=17




②+③,得
x+2y=20 ①与④组成方程组 ④

x-y=2 y-z=3 x+y+z=17

① ② ③
解得

x-y=2 x+2y=20 x=8 y=6
所以z=3

把y=6代入②,得 6-z=3

所以,这个三元一次方程组的解是 x=8 y=6 z=3

答:这个三位数是368.

解三元一次方程组的步骤:

①利用代入法或加减法,消去一个未知数, 得出一个二元一次方程组;
②解这个二元一次方程组,求得两个未知 数的值; ③将这两个未知数的值代入原方程中较简 单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这 三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组 的解.

例1 解三元一次方程组

3x-4y+z=11
5y-z=6




4x+2y-3z=12 解:①×4-③×3,得
-22y+13z=8 ②与④组成方程组 5y-z=6 -22y+13z=8





解这个方程组,得 y=2 z=4 把y=2 ,z=4代入①,得 3x-4×2+4=11 所以 x=5 因此,三元一次方程组的解是 x=5 y=2

z=4

例2 解三元一次方程组

x+y=7 y+z=9 z+x=8

① ② ③

解:①+②+③得2x+2y+2z=24 即 x+y+z=12 ④

④-①得
④-②得 ④-③得

z=5
x=3 y=4

因此,三元一次方程组的解为

x=3 y=4 z=5

例3 解方程组

x:y:z=2:3:5 x+y+z=200

解:此方程组即为 3x=2y
即: 3z=5y x+y+z=100

x y z ? ? 2 3 5 x ? y ? z ? 200

② ③ y=75

③×3 -① - ②,得

把y=75分别代入①②,得 3x=2×75 所以x=50 3z=5×75

所以Z=125
因此,三元一次方程组的解为

x=50 y=75 z=125

例4 在等式y=ax2+bx+c中,当x=1时, y=9;当x=2时,y=26;当x=0时,y=6.求a, b,c的值. 解:根据题意,得三元一次方程组
① ?a + b + c = 9 ? ?4a + 2b + c = 26 ② ?c = 6 ③ ? 把③代入①②,化简,得到一个新的 二元一次方程组

?a + b = 3 ? ?2a + b = 10

解这个二元一次方程组,得

?a = 7 ? ?b = -4

?a = 7 因此,?b = -4 ? ?c = 6 ?
答:a=7,b=-4,c=6.

例5 某车间每天能生产甲种零件180个, 或者乙种零件150个,或者丙种零件300个,甲, 乙,丙3种零件分别取3个,2个,1个,才能配 一套,要在30天内生产最多的成套产品,问甲, 乙,丙3种零件各应生产多少天? 解:设甲种零件生产x天,乙种零件生 产y天,丙种零件生产z天,根据题意,得

?x + y + z = 30 ? ?180x : 150y : 300z = 3 : 2 : 1

?x + y + z = 30 ? 化简,得 ? x = 5z ?y = 4z ?
解这个方程组,得

? x = 15 ? ? y = 12 ?z = 3 ?
答:甲种零件生产15天,乙种零件生产 12天,丙种零件生产3天.

例6

? x(x + y + z) = 9 ? 解方程组:? y(x + y + z) = 27 ? z(x + y + z) = 45 ?

① ② ③

解:①+②+③,得(x+y+z)2=81 ∴ x+y+z=±9 ①÷④,得x=±1 ②÷④,得y=±3 ④

③÷④,得z=±5
∴原方程组的解为

x=1 y=3 z=5

x=-1 或 y=-3 z=-5

?x - 2y + z = 0 例7 己知x , y , z 满足方程组 ? ? 5x - 4y - 7z = 0

求 x : y : z的值. 解:把字母z当成已知数,则原方程可变形为 x-2y=-z
10 ? ?x = 3 z 解这个方程组,得 ? ? ?y = 13 z ? 6 ?

5x-4y=7z

∴x:y:z=20:13:6

课堂小结
解三元一次方程组的基本思路:
通过“代入”或“加减”进行消元,把 “三元”化为“二元”,将三元一次方程组转 化为二元一次方程组,进而转化为一元一次方 程进行求解. 三元一次 消元 方程组 二元一次 消元 方程组 一元一 次方程

随堂练习
1.已知x∶y∶z=1∶2∶3,且x+y+z=30,
750 则xyz=________.

? x + 2y = 10 ? 2. 三元一次方程组 ? y - z = -3 的解是 ? 2z - x = 8 ?x = 4 ? ? ?y = 3 ?z = 6 _____________. ?

3. 三元一次方程组

?x = 6 ? ?y = 4 ?z = 5 的解是_____________. ?

? 3x - y - z = 9 ? ? 2x + y - 2z = 6 ? x + y + z = 15 ?

? x + y = 36 ? 4.三元一次方程组? y + z = 56的解是__________. ? x + z = 46 ?

? x = 13 ? ? y = 23 ? z = 33 ?

5x-4y-29z=0 5.已知 并且Z≠0,求x:y的值. X-3y+3z=0

解:把字母z当成已知数,则原方程可变形为
5x-4y=29z

x-3y=-3z
解这个方程组,得 x=9z

y=4z
∴x:y=9:4

? 3x-4y-5z=0 6.己知: ? ?x+2y-15z=0

(x,y,z≠ 0)



求:(1)x : z 的值.(2)y : z 的值.

?3x - 4y = 5z 解:原方程组可化为 ? ?x + 2y = 15z ?x = 7z 解此方程组,得 ? ?y = 4z
∴x : z=7:1.y : z=4:1.

?x : y : z = 1 : 5 : 9 ① 7.解方程组 ? ? 3x + y - z = -2 ②
解:由①可设x=t,则y=5t,z=9t,
代入②得,3t+5t-9t=-2

∴t=2
∴ x=2, y=10,z=18

?x = 2 ? ∴方程的解是? y = 10 ? z = 18 ?