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江苏省扬州中学2012-2013学年度第一学期1月质量检测高三数学试卷


江苏省扬州中学 2012—2013 学年度第一学期质量检测

高 三 数 学
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1、设 z=

2013.元

a ?5 ? (a 2 ? 2a ? 15)i 为实数时,实数 a 的值是_____ ▲_______ a ? 4a ? 5

2

2、若命题“ ?x ? R, x2 ? (a ?1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是 3、已知向量 a, b 满足 | a |? 1,| b |? 3, a 、 b 之间的夹角为 60 ,则 a(a ? b = ? )
0

▲ ▲

. 。

? ?

?

?

?

?

? ? ?

4、甲盒子里装有分别标有数字 1、2、4、7 的 4 张卡片,乙盒子里装 有分别标有数字 1、4 的 2 张卡片,若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片,则 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ▲ 。 5、 阅读右面的流程图, 若输入 a=6,b=1, 则输出的结果是 6、计算: ▲ 。

cos10? ? 3 sin10? 1 ? cos80?

?





? x ? y ?3? 0 ? 7. 若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 则实 ? x?m ?
数 m 的取值范围为_____▲_________ 8、将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,若点 A、B、C、D 都在一 个以 O 为球心的球面上,则球 O 的体积为 ▲ 。 9 、 设 平 面 点 集 A ? ?( x, y) ( y ? x)( y ? ) ? 0? , B ? ( x, y) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , 则

? ?

1 x

? ?

?

?

A ? B 所表示的平面图形的面积为_______▲______。
1 10、当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是_____▲____ 2 11、已知 F1,F2 分别是双曲线 C:
x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)的左右焦点,B 是虚轴的端点,直线 a 2 b2

F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P, 两点, Q 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M. 若|MF2| =|F1F2|,则 C 的离心率是____▲________ 12、在 ?ABC 中,过中线 AD 中点 E 任作一直线分别交 AB , AC 于 M , N 两点,设

???? ? ??? ???? ? ??? ? AM ? xAB , AN ? yAC ( xy ? 0 ),则 4x ? y 的最小值是 ▲

? ?? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 13、对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ? ?? ?? 。若平面向量 a , b 满足 ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n a ? b ? 0 ,a 与 b 的夹角 ? ? (0, ) , a ? b 和 b ? a 都在集合 { | n ? Z } 中, a ? b =___ 且 则 4 2
▲___ 14、有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能 够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是______________ 二.解答题(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(本题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC=∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (Ⅰ)求四棱锥 P-ABCD 的体积 V; P (Ⅱ)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF; (Ⅲ)求证 CE∥平面 PAB.
E F A D

B C

16.(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2, C= (Ⅰ)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a,b; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

? . 3

17.(本小题满分 15 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。 在一般情况下, 大桥上的车流速 度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度 为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)

18、(本小题满分 15 分) 已知椭圆 E 经过点 A? 2,3? ,对称轴为坐标轴,焦点

y A

1 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? 。 2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求 ?F AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; 1 (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。

F1

F2

x

19.(本题满分 16 分) 设函数 f ( x) ?

sin x . 2 ? cos x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分)

已知数列 {an } 与 {bn } 满足: bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2 ? 0, bn ?

3 ? (?1)n * , n ? N ,且 2

a1 ? 2, a2 ? 4 .
(Ⅰ )求 a3 , a4 , a5 的值; (Ⅱ )设 cn ? a2n?1 ? a2n?1 , n ? N * ,证明: ?cn ? 是等比数列; (III)设 Sk ? a2 ? a4 ???? ? a2k , k ? N * , 证明:

?a
k ?1

4n

Sk
k

7 ? (n ? N * ) . 6

附 加 卷
…………内……………不……………要……………答……………题……………… 1.(矩阵与变换)1.已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 8 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并 且矩阵 M 对应的变换将点 (?1, 2) 变换成 (?2, 4) .

??

?1? ?1?

(Ⅰ)求矩阵 M 的另一个特征值,及对应的一个特征向量 e2 ;

?? ?

(Ⅱ)求直线 l : x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ? 的方程.

___________

姓名_____________

学号

2. (坐标系与参数方程) 求经过极点 O (0, 0), A(6,

?
2

), B(6 2,

9? ) 三点的圆的极坐标方程. 4

3、现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为

3 ,命中得 1 分,没有命中 4

2 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该 3

射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E ( X ) .

r 4.将杨辉三角中的每一个数 Cn 都换成分数

1 ,就 r (n ? 1)Cn

得到一个如图所示的分数三角形,称为莱布尼兹三角形。 (1) 若

1 1 ? r (n ? C n ( n 1 ? 1 ) ) C

x n

? n C

1
r n ?1

, 求 x(用 n , r 表示)

(2)令 an ?

1 1 1 1 1 1 ,求 an ? ? ? ??? ? 2 2 3 12 30 60 nCn?1 (n ? 1)Cn

………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

高三数学答题纸
1. 5. 9. 13. 15.
P

2. 6. 10. 14.

3. 7. 11.

4. 8. 12.

学号

E F A D

姓名_____________

B C

16.

)班

考试号___________

17.

高三(

18.

19.

(20 题写在反面)


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