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《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》评估训练 新人教A版选修2-2


3.2

复数代数形式的四则运算 3.2.1 算及其几何意义

复数代数形式的加、减运

双基达标 ? 1.已知复数 z 满足 z+i-3=3-i,则 z 等于

限时20分钟?

( A.0 C.6 B.2i D.6-2i

).

解析

z=3-i-(i-3)=6-2i. 答案 D 2.A,B 分别是复数 z1,z2 在复平面内对应的点,O 是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角 形 AOB 一定是 ( A.等腰三角形 C.等边三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 → → 解析 根据复数加(减)法的几何意义,知以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相 等,则此平行四边形为矩形,故三角形 OAB 为直角三角形. 答案 B 3.已知 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2-z1 对应的点位于 ( A.第一象限 C.第三象限 解析 象限. 答案 B 1 4.若 z1=2-i,z2=- +2i,则 z1,z2 在复平面上所对应的点为 Z1、Z2,这两点之间的距 2 离为________. → 解析 |Z1Z2|= 答案 61 2 B.第二象限 D.第四象限 ). ).

z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,实部小于零,虚部大于零,故位于第二

?2+1?2+? -1-2? ? 2? ? ?

2



61 . 2

1

5.已知 z1=

3 a+(a+1)i,z2=-3 3b+(b+2)i(a,b∈R),若 z1-z2=4 3,则 a+b= 2

________. 解析 4 3, ∵z1-z2= 3 ? 3 ? a+(a+1)i-[-3 3b+(b+2)i]=? a+3 3b?+(a-b-1)i= 2 ?2 ?

? 3 ? a+3 3b=4 3, 由复数相等的条件知? 2 ?a-b-1=0, ?
∴a+b=3. 答案 3

解得?

?a=2, ? ? ?b=1.

6.已知 z,ω 为复数,(1+3i)z 为纯虚数,ω = ,且|ω |=5 2,求 ω . 2+i 解 设 z=a+bi(a,b∈R),则(1+3i)z=a-3b+(3a+b)i,由题意得 a=3b≠0. ∵|ω |=?

z

? z ?=5 2, ? ?2+i?
2 2

∴|z|= a +b =5 10, 将 a=3b 代入上式,得?
? ?a=15, ? ?b=5,

或?

? ?a=-15, ? ?b=-5.

15+5i 故 ω =± =±(7-i). 2+i 综合提高 ? 限时25分钟?

7.设 z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为 ( A.0 C. 2 2 B.1 1 D. 2 ).

解析 由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数 z 对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1) 为端点的线段的垂直平分线, 即直线 y=-x, z+i|表示直线 y=-x 上的点到点(0, 而| -1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线 y=-x 的距离. 答案 C 8.复数 z1、z2 分别对应复平面内的点 M1、M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段 M1M2 的中点 M 对 应的复数为 4+3i,则|z1| +|z2| 等于 ( A.10 B.25 ).
2 2

2

C.100 解析

D.200 → → 根据复数加减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以OM1、OM2为邻边的平行

四边形是矩形(对角线相等),即∠M1OM2 为直角,M 是斜边 M1M2 的中点,

→ 2 2 ∵|OM|= 4 +3 =5,
∴|M1M2|=10. →
2 2 2


2


2

∴|z1| +|z2| =|OM1| +|OM2| =|M1M2| =100. 答案 C 9.在平行四边形 OABC 中,各顶点对应的复数分别为 zO=0,zA=2+ i,zB=-2a+3i,zC 2 =-b+ai,则实数 a-b 为________.

a

?2-b=-2a, ? 解析 因为OA+OC=OB,所以 2+ i+(-b+ai)=-2a+3i,所以?a 2 ?2+a=3, ?
→ → →

a

得 a-b=-4. 答案 -4 10.复数 z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则 2 +4 的最小值为________. 解析 方程|z-4i|=|z+2|表示线段 Z1Z2(Z1(0,4)、Z2(-2,0))的中垂线, 易求其方程为 x+2y=3. ∴2 +4 =2 +2 ≥2 2 ?2 =2 2 =2 2 =4 2. 当且仅当 2 =2 , 即 x=2y 且 x+2y=3, 3 3 即 x= ,y= 时取到最小值 4 2. 2 4 答案 4 2
x
2y 3

x

y

x

y

x

2y

x

2y

x+2y

m2+m 11.设 m∈R,复数 z1= +(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若 z1+z2 是虚数,求 m 的取 m+2
值范围.

3



因为 z1=

m2+m +(m-15)i, m+2

z2=-2+m(m-3)i,
所以 z1+z2=?

?m +m-2?+[(m-15)+m(m-3)]i ? ? m+2 ?

2

m2-m-4 2 = +(m -2m-15)i. m+2
因为 z1+z2 是虚数, 所以 m -2m-15≠0 且 m≠-2, 所以 m≠5 且 m≠-3 且 m≠-2, 所以 m 的取值范围是 (-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞). 12.(创新拓展)设 z1、z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2,求|z1-z2|. 解 法一 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),由题设知 a +b =1,c +d =1,
2 2 2 2 2 2 2

(a+c) +(b+d) =2, 又由(a+c) +(b+d) =a +2ac+c +b +2bd+d ,可得 2ac+2bd=0. |z1-z2| =(a-c) +(b-d)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=a +c +b +d -(2ac+2bd)=2, ∴|z1-z2|= 2. 法二 ∵|z1+z2| +|z1-z2| =2(|z1| +|z2| ), ∴将已知数值代入,可得|z1-z2| =2, ∴|z1-z2|= 2. → → 法三 作出 z1、z2 对应的向量OZ1、OZ2,
2 2 2 2 2

→ 使OZ1+OZ2=O Z .
→ → → → → → ∵|z1|=|z2|=1,又OZ1、OZ2不共线(若OZ1、OZ2共线,则|z1+z2|=2 或 0 与题设矛盾), ∴平行四边形 OZ1ZZ2 为菱形. 又∵|z1+z2|= 2, ∴∠Z1OZ2=90°, 即四边形 OZ1ZZ2 为正方形, 故|z1-z2|= 2.

4


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