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2012届高考数学数列求通项公式和及求和


数列求通项公式和及求和
一、 通项公式

先写出数列前几项 观察数列变化规 律猜测出通项后,用数学归纳法证明

用于等差、等比 数列相关公式

a ? 利用 n

?

sn ? sn?1,n ? 2 s1 , n ?1

易漏 n=1 哟!

>构造 等差 等比 数列 等) 叠乘法 chengc heng 用于 ( “退一步”思想)即由已知推出相邻 法 用于 an 叠加法 递推方法 构造辅 助数列 猜想归纳法

公式法

Sn 与 an 的关系
观察法

数列求通项的一般方法

an ? an?1 ?f (n)

? an?1 ? f (n) 型已知条件

的递推式后将两式作差化简得出结论

型已知条件

二、数列求和
主要是针对等差等比数列, 直接应 用求和公式 分组求和法 把一组需要求和的数列拆分成两组或 两组以上的特殊数列来求和

公 式 法 错位相减法

裂项相消法

数列求和的一般 方法(五种)

把通项公式是分子为非零常数,分母为非 常数列的等差数列的两项积的形式拆成 两个分式差的形式之后再求和

设数列 数列 乘以

?an ?的等比数列,数列 ?bn ?是等差数列,求


倒序相加 若某数列中,与首末两项等距离的两相和等 于首末两项和,可采用把正着写的和倒着写 的两个式子相加,就得到一个与常数数列求 和相关的式子

?an bn ?的前 n 项和时,常常将 ?an bn ?的各项 ?bn ? 的公比,并向后错一项与 ?an bn ?的同次

项对应相减,即可转化为特殊数列求和

2 2 2 补充: 1 ? 2 ? ? ? n ?

n( n ? 1)(2n ? 1) 3 n 2 ( n ? 1) 2 , 1 ? 23 ? ? ? n 3 ? 6 4

-1-

典型例题 一.通项
类型 1:等差求通项思想:叠加求通项,用于 an

? an?1 ? f (n) ? an ? an?1 ? f (n) 型;

例 1: (03 全国 19)已知数列| an |满足 a1 ? 1, an ? 3n?1 ? an?1 (n ? 2) (I)求 a2 , a3 ; (II)证

3n ? 1 明: a n ? 2
变式 1: (08 四川)设数列 ?an? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an = 变式 2:(08 江西 5)在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( ) A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n

1 n

类型 2:等比求通项思想:叠乘求通项,用于

an ? f (n) ? an ? an?1 ? f (n) 型; an?1

例 2:在数列{an } 中, a1 ? 1,

an n ? ( n ? 2), 则 an ? ? an?1 n ? 1

变式 1:设 {an } 是首项为 1 的正项数列,
2 2 (n ?1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0(n ? 1, 2?)

则它的通项公式是

an ? _____
变式 2:在数列 {an } 中,已知 a1

? 1, Sn ? n2an , 求通项 an ;

类型 3: 已知 Sn 求通项 an

a ? : n

?

sn ? sn?1,n ? 2 s1 , n ?1

例 3: 福建 21) (07 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,a1 ? 1 ,an?1 ? 2Sn (n ?N* ) . (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 变式 1:(09 全国 19)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , Sn?1 ? 4an ? 2 . (Ⅰ)设 (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列;
-2-

变 式 2 : (07 重 庆 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn 满 足 S1 ? 1 ,

6Sn ? (an ? 1)(an ? 2)

n ? N . Ⅰ ) 求 ?an ? 的 通 项 公 式 ; Ⅱ ) 设 数 列 ?bn ? 满 足 ( (

an ( 2bn ? 1) 1 ? ,并记 Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和,求证: 3Tn ?1 ? log2 (an ? 3),n ?N .
变式 3:若 log 2 ( Sn ?1) ? n ,则 an ? ?

2 变式 4:正项数列 {an } 满足: a1 ? 1, Sn 是其前 n 项之和,且 Sn?1 ? Sn ? an?1 ,求 Sn、an ;

类型 4:构造等比或等差数列(递归数列) 类型一:用于 an ? kan?1 ? b 型已知条件。转化方法:设 an ? m ? k (an?1 ? m) ,由 km-m=b 求出 m 的值,则数列 {bn ? an ?

b } 是以 k 为公比的等比数列;通过求出 bn 间接求出通项 k ?1

an .
类型二:用于 an ? kan?1 ? pn 型已知条件。 转化步骤: 等式两边同时除以 p n : (1)

a an k an ?1 k ? ? n?1 ? 1 ; 令 bn ? n , bn ? ? bn ?1 ? 1; (2) 则 n n p p p p p



k k ? 1 时, {bn } 是以 1 为公差的等差数列;当 ? 1 时,转化为类型一构造等比数列; p p

类型三:用于 an ? kan?1 ? ln ? c 型已知条件。 转化步骤:设 an ? ( xn ? y) ? k{an?1 ? [ x(n ?1) ? y]} ,由 (k ? 1) xn ? ln, k ( y ? x) ? y ? c 求 出:

x?

l k (l ? c) ? c l k (l ? c) ? c ,y? n? } 是以 k 为公比, ,则 {bn ? an ? 2 k ?1 (k ? 1) k ?1 (k ? 1)2 l k (l ? c) ? c ? 为首项的等比数列;通过求出 bn 间接求出通项 an . k ?1 (k ? 1)2

a1 ?

例 4: (06 重庆)在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? ___

-3-

变式 1: (08 四川 21)已知数列 ?an? 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 2n , (Ⅰ)求 a3、a4 ; (Ⅱ)证明:数列 ?an?1?2an? 是一个等比数列. (Ⅲ)求 ?an? 的通项公式. 变式 2:(06 福建 22)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ?2an , (n ? N * ) , (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式;

例 5: (08 全国 19) 在数列 ?an ? 中,a1 ? 1 ,an?1 变式 1: (08 四川 21)已知数列 ?an? 的前 n 项和 Sn (Ⅰ)求 a3、a4 ; (2)求 ?an? 的通项公式.

? 2an ? 2n .求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

? 2an ? 2n ,

例 6: (08 全国 19)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

变式 1: (08 天津 20)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ,

(n ≥ 2,q ? 0) .
(Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an (n ? N* ) ,证明 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式;

小结:先证明新数列为等差或等比再求通项问题,先从问题入手按证明等差或等比方法证明问题, 再由等差或等比的通项公式间接解决问题。

-4-

类型 5:分式型递归数列 an ?1 ?

pan 解决办法; qan ? r 1 r 1 q 1 ( ? ? ? ; 2 ) 令 {bn ? } , 则 an?1 p an p an

解决步骤: 1)两边颠倒分子分母,得到: (

bn ?1 ?

r q r r 1 ? bn ? 当 ? 1 时, {bn ? } 为等差数列;当 ? 1时,转化为类型 4 中问题. p p p p an

例 7:数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

2an (n ? N * ), 则 a100 ? ? an ? 2
3 3an , ? (Ⅰ)求 {an } ,an ?1 ? ,n ? 1 2, . 5 2an ? 1

变式 1:.(08 陕西 22)已知数列 {an } 的首项 a1 ? 的通项公式;

类型 6:指数型递归数列(两边取对数)如: an?1 ? p ? r an ( p、r为常数) :两边取对数得到:

1 1 lg an ?1 ? lg p ? lg an ,令 bn ? lg an ,则 bn?1 ? lg an?1 ,则 bn ?1 ? bn ? lg p 转化为类型 4; r r
例,数列{an } 满足: a1 ? 2, an ? 4an?15 ,求 {an } 的通项; 类型 8: 递推思想 (升标或降标法) 据已知条件推出类似等量关系后两式再作差 : (用于知 s n 与 an 或 an 与相邻项之间的关系) ; 例 7: (04 全国卷)若数列{an } 满足 a1 ? 1, an ? a1 ? 2a2 ? ?(n ?1)an?1 (n ? 2) ,则 {an } 的通项

an ?

?

1, n ?1 __, n ? 2 .

变式 1:数列{an } 满足 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? N * ) (n ? 2) ,则 an ? ?

综合练习:
1. (05 天津)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an?2 ? an ? 1 ? (?1)
n

(n ? N ? ) 则 S100 =_____.
1 , a36 ? ____ 则 9

* 2. 江西) (07 已知数列 ?an ? 对于任意 p,q ?N , a p ?aq ? p q? , a1 ? 有 若 a

3. (04 全国 19) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1, n+1= a

n?2 Sn (n=1, 3, . 2, …) 证 n

明(Ⅰ)数列{

Sn }是等比数列; (Ⅱ)Sn+1=4an. n

-5-

4.(08 四川 20)设数列 {an } 的前项为 Sn ,已知 ban ? 2n ? (b ?1)Sn . (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, {an ? n ? 2n?1} 是等比数列; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式.

5. (09 四川 22)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ? 1 成立, 记 bn ?

4 ? an )求数列 ?bn ? 的通项公式; (n ? N * ) .(错误!未找到引用源。 1 ? an

6. (07 福建)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 . (Ⅰ)求 {an } 的通 项 an 与前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)设 bn ? 等比数列;

Sn ( n ? N ? ) ,求证:数列 {bn } 中任不同的三项不可能成为 n

, 3, ,且 a1,a2,a3 7.(07 北京)数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 2,? )
成公比不为 1 的等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式.

8.(07 山东)设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且 (1)求数列 {an } 的通项公式. a1 ? 3, 2,a3 ? 4 构成等差数列. 3a (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, , ,? 求数列 {bn } 的前 n 项和 T .

9. (06 陕西) 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列, 求数列{an}的通项 an .

二.数列求和
例 1:求下列数列的前 n 项和: (1) lg

10 102 10n , lg 2 ,?, lg 2 n 32 3 3

-6-

(2)求分母为3,包含在正整数2004与2008之间的所有不可约分数的和;

1 2 3 n (3) , , ,?, n 2 4 8 2
变式:数列{an }为等差数列, a1

? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12, (1)求{an }通项公式;

(2) bn

? an ? x n ( x ? R ) ,求数列{bn } 前 n 项和;

(4)

1 1 1 1 , , ,? , 1? 5 3 ? 7 5 ? 9 (2n ? 1) ? (2n ? 3)

1 1 1 1 1 1 (5)1,1 ? ,1 ? ? ,?,(1 ? ? ? ? ? n?1 ) 2 2 4 2 4 2
小结求和方法: (1)公式法:用于等差与等比数列; (2)倒序相加法:若某数列中,与首末两项等距离的两相和等于首末两项和,可采用把正着 写的和倒着写的两个式子相加,就得到一个与常数数列求和相关的式子 (3)错位相减法:设数列 ?an ? 的等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,则求数列 ?an bn ?的前 n 项 和时,常常将 ?an bn ?的各项乘以 ?bn ? 的公比,并向后错一项; (4)裂项相消法:把通项公式是分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形 式拆成两个分式差的形式之后再求和;

1 n ? n?a

?

1 ( n ? a ? n) a

1 1 1 1 ? ( ? ), n( n ? k ) k n n ? k

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(5)分组求和法:把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和

练习:1.(07 福建)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ?
2. an }的通项an ? { 1 , 则S100 ? ? n ?1 ? n

1 n(n ? 1)

,则 S5

??

2 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? 9 9 ? 1 0 2 ? ? ? 0

3.数列{an }中,a1 ? 1 a2 ? 2 ? 3,a3 ? 4 ? 5 ? 6,a4 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10,则a10 ? ? ,
4.数列{an }满足:an ? 3n ? 63,则 a1 ? a 2 ? ? ? a30 ? ?

-7-

5.s ? 1 ?

1 1 1 ? ??? ?? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n

6.等差数列前 3 项之和为 12,后 3 项之和为 132,所有各项之和为 240,则项数 n ? ? 7. 数列{an }满足:an ? (?2)n ? 2n ?1 求前 n 项和 Sn , 8 . 函 数

??
f (x ? x ) 1? x


,

f (1) ? f (2) ? ? ? f (2008) ? f (
等差数列独有特点:

1 1 1 )? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) ? ? 2008 2007 2
Sn a ? f (n) ,则 n ? f (2n ? 1) ; bn Tn

1.若 {an },{bn } 为等差数列,前 n 项和分别为 Sn、Tn ,若

2.判定等差数列 Sn 何时取最大值:法 1 根据 Sn 相应二次函数的对称性;法 2 判定 an 何时开始 为负;

3.判定等差数列 Sn 何时开始 ? 0 或 ? 0 ,由 S n ?
改变;

n(a1 ? an ) ,即判定 a1 ? an 何时正负发生 2
?1

补充:等差、 等比数列中: 利用对称性设出相邻几项: 如等比相邻 3 项设为:aq 等比相邻 4 项设为: aq , aq , aq, aq ;等差相邻 3 项: a ? d , a, a ? d
3 ?3 ?1

, a, aq ,

数列清单:函数与数列比较 一般函数: y ?
自变量 函数值

f ( x)
项数

数列:{an }

x ,对应法则 f
y (观察自变量与函数值变化关系)

n ,通项公式 an ? f (n)



an ,前 n 项和 Sn (观察项的下标之间的关系)

单调性判定:定义法、图象法、已有函 数单调性、复合函数单调性(同增异减)

单调性判定: (1)转化为相应函数的单调性; 2)作差或作商:比较 (

{an ? an ?1 ? 0(或 ? 0) 或

an ? 1(或 ? 1) an ?1

对任意数列成立的关系式:数列{an }前 n 项和 Sn

an ? ,则

?

sn ? sn?1,n ? 2 s1 , n ?1 见 Sn 写出 Sn?1 做差

二.等差与等比数列:五要素(

a1、d (或q)、n、an、Sn , 知三求二)
-8-

数列

等差数列 {an }与{bn } (一次函数型)
对任意 n ? 2 , an ? an ?1 ? d (常数) 或 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? 2an ? an ?1 ? an ?1 , 则称 数列 {an } 为等差数列;常数 d 为公差;

等比数列 {an }与{bn } (指数函数型)
对任意 n ? 2 ,

定义(判 定方法) 等差中项

an a a ?q (常数) an2 ? an ?1 ? an ?1 ? n ?1 ? n 或 an ?1 an an ?1

则称数列 {an } 为等比数列;常数 q 为公比;

a、A、b 成等差数列,则 A 叫做 a与b

a?b 的等差中项 ? A ? (充要条件) 2
an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? (a1 ? d )

a、A、b 成 等 比 数 列 , 则 A 叫 做 a与b 的 等 比 中 项
, ? A ? ? ab (充分不必要条件) 由于等比数列的项 ? 0

通项 求和

? am ? (n ? m)d ? kn ? b

an ? a1q n ?1 ? am q n ? m
? na1 , ( q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a ? an q ? 1 ( q ? 1) ? 1? q 1? q ?
q n ?1 ? an an , qn?m ? a1 am
两边项数均相同

n(a1 ? an ) n(ak ? an ?1? k ) ? 2 2 n(n ? 1) d ? a1n ? ? An 2 ? Bn 2 Sn ?
an ? a1 a ? am ? n ? an ? an ?1 n ?1 n?m

公差 (比) d ?
1. m ? n ?

p ? q ? am ? an ? a p ? aq

m ? n ? p ? q ? am ? n ? ap ? q a a
2. Sn , S2n 3 {k (an )
m

性 质

2. Sn , S2n 3{ ?1an

? Sn , S3n ? S2n 为等差数列

? Sn , S3n ? S2n 成等比数列
也是等比数列;

? ?2bn }( ?1 , ?2 为常数)都是等差数列

? (bn )n }

4 下标成等差,项成等差,如: 2 成等差;5. {

a , a6 , a10 , a14 ?

4.下标成等差,项成等比,如 2 5. {an } 为等比数列,

a , a6 , a10 , a14 ? 成等比

Sn } 为等差;6. n

{c an } 成等比

{log c (an )} 成等差数列;

-9-


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