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北京清华附中2012-2013年八年级下期末考试数学试卷及答案

时间:2015-05-23


zg清华附中2012-2013学年初二第二学期期末试卷

数学
(清华附中初11级) 2013.7

一、选择题:(每题3分,共24分) 1.与 12 是同类二次根式的是( A. 4 B. 8 ) B. 27 ? 3 ? 3 C. 2 ) C. 18 D. 27

2.下面计算正确的是( A. 3 ? 3 ? 3 3

3? 5

D.

? ?2?

2

? ?2

3.一个矩形的两条对角线的夹角为 60° ,且对角线的长度为 8cm,则较短边的长度 为( ) A.8cm B. 6cm C.4cm D. 2cm )

4.下列图形中是中心对称图形,但不是 轴对称图形的是( ..

A.
1 ?0 x2

B.

C. )

D.

5.下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( A. x 2 ? B. ax2 ? bx ? c ? 0 D. ( x ? 1)( x ? 2) ? 1

C. 3 x 2 ? 2 x ? 5 ? 3 x 2

6.顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是( A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形



7.关于 x 的方程 x2 ? 4 x ? a ? 0 有两实数根,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 4 D. a ? 4



1 / 15

8.Rt△ABC 中,AB=AC,点 D 为 BC 中点.∠MDN=90° ,∠MDN 绕点 D 旋转, DM、DN 分别与边 AB、AC 交于 E、F 两点,下列结论 : ① ? BE ? CF ? ?
2 BC ;② S 2
? 1 S 4

AEF

ABC



③S 四边形 AEDF=AD· EF;④ AD≥EF; ⑤ AD 与 EF 可能互相平分,其中正确结论的个 数是 ( ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

A.1 个

二、填空题: (每题 3 分,共 24 分) 9. x ? 3 中 x 的取值范围是 10.化简: 50 = . . .

11.关于 x 的方程 x2 ? 2mx ? m ? 0 的一个根为 1,则 m 的值为

12.若关于 x 的方程 x 2 ? kx ? 9 ? 0 有两个相等的实数根,则 k ? __________. 13.如图,△OAB 绕点 O 逆时针旋转 80° 得到△OCD,若∠A=110° ,∠D=40° ,则 ∠α 的度数是 14.如图,直线 y ? ? 。
4 x ? 4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,把△AOB 绕点 A 顺 3

时针旋转 90° 后得到△AO′B′,则点 B′的坐标为



15.如图,正方形 ABCD 中,点 E 在 DC 边上,DE=2,EC=1,把线段 AE 绕点 A 旋转,使点 E 落在直线 ..BC 上的 F 点,则 F、C 两点间的距离为 .
D

y B O' B'

A

E

O
第 13 题图

A
第 14 题图

x

B

C

第 15 题图

2 / 15

16. 如图, 在直角坐标系中, 正方形 A1B1C1O、 A2B2C2C1、A3B3C3C2、…、AnBnCnCn-1 的顶点 A1、A2、A3、…、An 均在直线 y=kx+b 上, 顶点 C1、C2、C3、…、Cn 在 x 轴上,若点 B1 的坐标为(1,1) ,点 B2 的坐标为(3,2) , 那么点 A4 的坐标为 为 . ,点 An 的坐标

三、解答题: (17~20,23 题每题 5 分,21,22 每题 6 分,24 题 7 分,25 题 8 分, 共 52 分,如无 特别说明,解答题中的填空均直接写答案 ) .. .................. 17.解方程: x 2 ? 4 x ? 5 ? 0

18.计算:

1 1 ? 8 ?6 ? ( 12 ? 1)0 2 2 ?1

19.已知:a =

3 ? 1 ,求 a2 ? 2a ? 2013 的值.

20.求证:a 取任何实数时,关于 x 的方程 ax2 ? ?1 ? 3a ? x ? 2a ?1 ? 0 总有实数根.

21.如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,AC⊥AB,AB=2, 且 AC︰BD=2︰3.(1) 求 AC 的长; (2) 求△AOD 的面积.

3 / 15

22.如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园 ABCD(围墙 MN 最长可利用 25m) ,现在已备足可以砌 50m 长的墙的材料, 恰好用完,试求 AB 的长,使矩形花园的面积为 300m2.

23.5 个同样大小的正方形纸片摆放成“十”字型,按图 1 所示的方法分割后可拼 接成一个新的正方形.按照此种做法解决下列问题: (1)5 个同样大小的矩形纸片摆放成图 2 形式,请将其分割并拼接成一个平行 四边形.要求:在图 2 中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个 符合条件 .. 的平行四边形即可) ; (2)如图 3,在面积为 1 的平行四边形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点,分别连结 AF、BG、CH、DE 得到一个新的平行 四边形 MNPQ.则平行四边形 MNPQ 的面积为__________(在图 3 中画图 说 .. 明) .

4 / 15

24.如图,四边形 ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线 BD(不含 B 点) 上任意一点, 将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到 BN, 连接 EN、 AM、 CM. (1)证明:△ABM≌△EBN (2)当 M 点在何处时,AM+BM+CM 的值最小,并说明理由; (3)当 AM+BM+CM 的最小值为 3 ? 1 时,则正方形的边长为 .

A

D

E

N M B C

25.已知,矩形 ABCD 中,AB=4cm,BC=8cm,AC 的垂直平分 EF 线分别交 AD、 BC 于点 E、F,垂足为 O. (1)如图 1,连接 AF、CE,求证:四边形 AFCE 为菱形; (2)如图 2,动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,沿△AFB 和△CDE 各边 匀速运动一周,即点 P 自 A→F→B→A 停止,点 Q 自 C→D→E→C 停止.在运 动过程中, ①已知点 P 的速度为每秒 5cm,点 Q 的速度为每秒 4cm,运动时间为 t 秒,当 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,则 t= . ②若点 P、Q 的运动路程分别为 a、b(单位:cm,ab≠0) ,已知 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,则 a 与 b 满足的数量关系式为 .

5 / 15

附加题(每题 4 分,共 20 分) 26.若 2,m,4 为三角形三边,化简:

? m ? 2?

2

?

? m ? 6?

2





27.如图,将两张长为 8,宽为 2 的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易 知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值 8 ,那么菱形周长的最大值 是 .

28.设 m ? n ? 0 ,若

? m ? n?
mn

2

m2 ? n2 = ? 2 ,则 mn

. .

29.关于x的方程 x2 ? ? k ? 8? x ? 8k ?1 ? 0 有两个整数根,则整数k=

30.如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,∠ABC=30° ,将△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转, 旋转角为 θ(0° <θ<180° ),得到△A′B′C.设 AC 中点为 E,A′B′中点为 P, AC=2,连接 EP,当 θ= ° 时,EP 长度最大,最大值为 .

6 / 15

初二第二学期期末试卷数学答题纸
一、 选择题: (每题 3 分,共 24 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题: (每题 3 分,共 24 分) 题号 答案 题号 答案 13 14 15 16 9 10 11 12

三、解答题: (17~20,23 题每题 5 分,21,22 每题 6 分,24 题 7 分,25 题 8 分, 共 52 分,如无 特别说明,解答题中的填空均直接写答案 ) .. .................. 17.

18.

19.

7 / 15

20.

21.

22.

8 / 15

23. (1)

(2)平行四边形 MNPQ 的面积为

24. (1)

A
(2)

D

E

N M B C

(3)正方形的边长为



9 / 15

25. (1)

(2) ①t= .②a 与 b 满足的数量关系式为 .

附加题(每题 4 分,共 20 分)

题号 答案

26

27

28

29

30

10 / 15

初二第二学期期末试卷数学参考答案 一、 选择题: (每题 3 分,共 24 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 D 6 B 7 A 8 C

二、填空题: (每题 3 分,共 24 分) 题号 答案 题号 答案 9 x≥3 13 50° 10 11 1 15 1或5 (7,8) 12 ± 6 16 (2n-1-1,2n-1)

5 2
14 (7,3)

三、解答题: (17~20,23 题每题 5 分,21,22 每题 6 分,24 题 7 分,25 题 8 分, 共 52 分,如无特别说明,解答题中的填空均直接写答案 ) .................... 17.解: ? x ? 5?? x ?1? ? 0 ……3 分 ……5 分
2 ?1 2

x1 ? 5

x2 ? ?1

18.解:原式= 2 ? 1 ? 2 2 ? 6

……4 分 ……5 分
2

= 2 ? 1 ? 2 2 ? 3 2 ?1 ? 0 19.∵a =

3 ? 1 ,∴ a ? 1 ? 3 ,∴ ? a ? 1? ? 3 ,
∴ a2 ? 2a ? 2 ,

……2 分 ……4 分 ……5 分

∴ a 2 ? 2a ? 1 ? 3

∴ a 2 ? 2a ? 2013 ? 2 ? 2013 ? 2015

11 / 15

20.当 a=0 时,原方程为-x-1=0,x=-1,此时方程有实根; ……1 分 当 a≠0 时,原方程为一元二次方程,
2 2 ??? ? ? ?1 ? 3a ?? ? ? 4a ? 2a ? 1? ? 9a ? 6a ? 1 ? 8a ? 4a 2

? a 2 ? 2a ? 1 ? ? a ? 1? ? 0 ,原方程有实根,
2

……4 分 ……5 分

综上所述,a 取任何实数时,原方程总有实数根. 21.解: (1)如图 ∵平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O, 1 1 ∴OA=2AC,OB=2BD …………… 1 分 ∵AC︰BD=2︰3,∴OA︰OB=2︰3 . 设 OA=2x (x >0),则 OB=3x. ∵AC⊥AB, ∴∠BAC =90° . 在 Rt△OAB 中,OA2+AB2=OB2.…… 2 分 ∵AB=2,∴(2x)2+22=(3x)2 . 2 5 解得 x=± 5 (舍负). ∴AC=2OA= 8 5 5 . ………………………………… 4 分

(2)∵平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O, ∴OB=OD. 1 1 4 5 4 5 ∴S△AOD= S△AOB= 2 AO· AB = 2× 5 × 2= 5 . 22.解:设 AB=xm,则 BC=(50﹣2x)m. 根据题意可得,x(50﹣2x)=300, 解得:x1=10,x2=15, 当 x=10,BC=50﹣10﹣10=30>25, 故 x1=10(不合题意舍去) , 答: AB 的长为 15 米. ………… 5 分 ………… 6 分 ………… 6 分

………… 1 分 ………… 3 分 ………… 4 分

12 / 15

23.(1)如图 2 所示:拼接成的四边形是平行四边形;

; (2)正确画出图形(如图 3)

…………………… 2 分

…………………… 4 分 故平行四边形 MNPQ 的面积为:
1 …………5 分 5

24.解: (1)∵△ABE 是等边三角形,∴BA=BE,∠ABE=60° . ∵∠MBN=60° ,∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN,即∠BMA=∠NBE. 又∵MB=NB,∴△AMB≌△ENB(SAS). ………………3 分 (2)如图,连接 CE,当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时, AM+BM+CM 的值最小. ………………4 分 理由如下:连接 MN,由(1)知, △AMB≌△ENB,∴AM=EN. ∵∠MBN=60° ,MB=NB, ∴△BMN 是等边三角形,∴BM=MN. ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM 根据“两点之间线段最短”,得 EN+MN+CM=EC 最短 ∴当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时,AM+BM+CM 的值最小, 即等于 EC 的长 ……………….……6 分 ……………….……7 分
F B C E N M A D

(3)正方形的边长为 2

13 / 15

过 E 点作 EF⊥BC 交 CB 的延长线于 F,∴∠EBF=90° -60° =30° . 设正方形的边长为 x,则 BF=
x 3 x,EF= . 2 2
2

2 ? ? x? ? 3 在 Rt△EFC 中,∵EF +FC =EC ,∴ ? ? ? ? x ? x ? ? ? ?2? ? ? 2 ?

2

2

2

?

3 ?1

?

2

解得,x= 2 (舍去负值).∴正方形的边长为 2 25.(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ AD ∥ BC ∴ ?CAD ? ?ACB , ?AEF ? ?CFE ∴ ?AOE ≌ ?COF
B F A E D

∵ EF 垂直平分 AC ,垂足为 O ∴ OA ? OC ∴ OE ? OF

O C

∴四边形 AFCE 为平行四边形 又∵ EF ? AC (2)① t ? 4 秒
3

∴四边形 AFCE 为菱形….……4 分 ……….……6 分
A E
Q

D

显然当 P 点在 AF 上时, Q 点在 CD 上, 此时 A 、 C 、 P 、 Q 四点不可能构成平行四边形;
B P F

C

同理 P 点在 AB 上时, Q 点在 DE 或 CE 上,也不能构成平行四边形. 因此只有当 P 点在 BF 上、 Q 点在 ED 上时,才能构成平行四边形 ∴以 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时, PC ? QA ∵点 P 的速度为每秒 5 cm ,点 Q 的速度为每秒 4 cm ,运动时间为 t 秒 ∴ PC ? 5t , QA ? 12 ? 4t ∴ 5t ? 12 ? 4t ,解得 t ? 4
3 3

∴以 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时, t ? 4 秒. ② a 与 b 满足的数量关系式是 a ? b ? 12 ……….……8 分

14 / 15

由题意得,以 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时, 点 P 、 Q 在互相平行的对应边上,分三种情况: i)如图 1,当 P 点在 AF 上、 Q 点在 CE 上时, AP ? CQ ,即 a ? 12 ? b ,得 a ? b ? 12 ii)如图 2,当 P 点在 BF 上、 Q 点在 DE 上时, AQ ? CP , 即 12 ? b ? a ,得 a ? b ? 12 iii)如图 3,当 P 点在 AB 上、 Q 点在 CD 上时, AP ? CQ ,即 12 ? a ? b ,得 a ? b ? 12 综上所述, a 与 b 满足的数量关系式是 a ? b ? 12 (ab ? 0)
A P B F
图1

E
Q

D

A

E

Q

D

A P

E

D
Q

C

B

P

F
图2

C

B

F
图3

C

附加题(每题 4 分,共 20 分)

题号 答案

26 4

27 17

28

29 8 120

30 3

2 3

15 / 15


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