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江苏省高邮市界首中学2015届高三高考模拟数学试题(3)

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2015 年高考模拟试卷(3)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1.已知集合 M ? x | x2 ? 2x ? 0 , N ? ? x | x ? 1? ,
开始

?

?

则 ( ?R M) N =

.

a

1, b

1 N

2.如果 a ? 1 ? bi 与 -b ? i 互为共轭复数( a, b ? R, i 为虚数单位) , 则 | a ? bi | = . .
b

a< 4 Y 2b + a

输出 b

结束

3.如右图,该程序运行后输出的结果为

a

a +1

1 4.在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点, AC ? 1 .若 sinB= , 3 则 AM =________. 5.某单位有 A, B, C 三部门,其人数比例为 3∶4∶5,现欲用分层抽样方法抽调 n 名志愿者支 援西部大开发 .若在 A 部门恰好选出了 6 名志愿者,那么 n=________. 6.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?)(? ? 0, 且 | ? |?
f (0) 的值为

?
2

) 的部分图像如图所示,则

.

7.连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是 a,b,则函数
f ( x) ? ax2 ? bx 在 x ? 1 处取得最值的概率是

.

8. 在等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 中, 已知 a1 ? ?8, a2 ? ?2, b1 ? 1, b2 ? 2 , 那么满足 an ? bn 的 n 的所有取值构成的集合是 .
E

9.已知如图所示的多面体 EF ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形,四 边形 BDEF 是矩形,ED⊥平面 ABCD,∠BAD=

? .若 BF=BD 3
A

D F

C

=2,则多面体的体积
10.如果关于 x 的方程 x ?



B

a ? 3 有两个实数解,那么实数 a 的值是 x2



?? x ? a ?2 , x? 0, ? 11.设 f ? x ? ? ? 若 f ? 0 ? 是 f ? x ? 的最小值,则实数 a 的取值范围为 1 x ? ? a, x ? 0. ? ? x

.

12.已知椭圆

a2 x2 y 2 O , F , G , x ? 的中心、右焦点、右顶点依次为 直线 与x ? ? 1( a ? 3) a2 3 a2 ? 3

轴 交于 H 点,则
FG OH

取得最大值时 a 的值为

.

13.在四边形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? BC ,

BA BA

?

BC BC

?

3 BD BD

,则四边形 ABCD 的面积





?log 1 ( x ? 1), x ? ?0,1? ? 14. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 2 ,则关于 x 的函 ? 1 ? x ? 3 , x ? 1, ?? ? ? ?
数 F ( x) ? f ( x) ? a(?1 ? a ? 0) 的所有零点之和为 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.
?AOB ? ?( 0 ? ? ? ? ) 15. (本小题满分 14 分) 如图, 在 xoy 平面上, 点 A(1,0) , 点 B 在单位圆上,

(用 a 表示)

3 4 ? (1)若点 B(? , ) ,求 tan(? ? ) 的值; 5 5 4
(2)若 OA ? OB ? OC , OB ? OC ?

y B
O C

18 ? ,求 cos( ? ? ) . 13 3

A

x

第 15 题图

16 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平面PAC ? 平 面
ABCD , ?ABC 是边长为 4 的正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 ?ADC ? 120 ,点

N 在线段 PB 上,且

PN 1 ? . NB 3
N

P

(1)求证: PA ? BD ; (2)求证: MN / / 平面 PDC .

A D M B C

17. (本小题满分 14 分) 2014 年 8 月以“分享青春, 共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行, 为此某商店经销一种青奥会纪念徽章,每枚徽章的成本为 30 元,并且每卖出一枚徽章需 向相关部门上缴 a 元( a 为常数, 2 ? a ? 5 ) ,设每枚徽章的售价为 x 元(35 ? x ? 41 ).根 据市场调查,日销售量与 e x ( e 为自然对数的底数)成反比例.已知当每枚徽章的售价为 40

元时,日销售量为 10 枚. (1)求该商店的日利润 L( x) 与每枚徽章的售价 x 的函数关系式; (2)当每枚徽章的售价为多少元时,该商店的日利润 L( x) 最大?并求出 L( x) 的最大值.

18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 a 2 b2

?

2,1 ,离心率为

?

2 . 2

(1)若 A 是椭圆 E 的上顶点, F1 , F2 分别是左右焦点,直线 AF1 , AF2 分别交椭圆于 B, C , 直线 BO 交 AC 于 D,求证 S?ABD : S?ABC ? 3: 5 ; (2) 若 A1 , A2 分别是椭圆 E 的左右顶点, 动点 M 满足 MA2 ? A1 A2 , 且 MA1 交椭圆 E 于点 P . 求证: OP ? OM 为定值.

1 19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln x , g ( x) ? ?bx ,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2
(1)若 f ( x) 在 x ?
2 处取得极值,且 f ?(1) ? g (?1) ? 2 ,求函数 h(x)的单调区间; 2

(2)若 a ? 0 时函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2. ①求 b 的取值范围;②求证:

x1 x2 ? 1. e2

20.(本小题满分 16 分)若数列 ?Cn ? 满足① cn cn? 2 ? cn?1 ,②存在常数 M ( M 与 n 无关) ,使
cn ? M .则称数列 ?cn ? 是“和谐数列”.

(1)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a4 ? 2, S4 ? 30 ,求证:数列 ?Sn ? 是“和谐数列” ; (2)设 ?an ? 是各项为正数,公比为 q 的等比数列,Sn 是 ?an ? 的前 n 项和,求证:数列 ?Sn ? 是“和谐数列”的充要条件为 0 ? q ? 1 .

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区 ................ 域内作答 . .... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 C.若 AB = 2 BC , 求证: ?A ? ?C .
A O D

B

C

?2 a ? B. (选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵 M ? ? ? ,其中 a , b 均为实数,若点 A(3, ?1) 在矩 ?b 1 ?

阵 M 的变换作用下得到点 B(3,5) ,求矩阵 M 的特征值.

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极
3 ? x ?2? t ? ? 5 轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线 C1 : ? ( t 为参数) ?y ? 4 t ? 5 ?

和曲线 C2 : ? sin 2 ? ? 2cos? 相交于 A、 B 两点,求 AB 中点的直角坐标.

a 2 ? 2b2 ? 3c 2 ? 6d 2 ? 5 , D. (选修4-5: 不等式选讲) 已知实数 a, b, c, d 满足 a ? b ? c ? d ? 3 ,

求 a 的取值范围.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游,甲提议去古都西安,乙 提议去海上花园厦门,丙表示随意.最终,三人商定以抛硬币的方式决定结果.规则是: 由丙抛掷硬币若干次,若正面朝上,则甲得一分、乙得零分;若反面朝上,则乙得一分、 甲得零分,先得 4 分者获胜.三人均执行胜者的提议.若记所需抛掷硬币的次数为 X. (1)求 X ? 6 的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望.

23. (本小题满分 10 分) 在数学上, 常用符号来表示算式, 如记 ? ai = a0 ? a1 ? a2 ? a3 ?
i ?0

n

? an ,

其中 i ? N , n ? N ? .
i (1)若 a 0 , a1 , a 2 ,…, a n 成等差数列,且 a0 ? 0 ,求证: ? ? ai Cn ? ? an ? 2n?1 ; i ?0 n

(2)若 ? (1 ? x) k ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ?
k ?1

2n

i ] ,且不等 a2 n x 2 n , bn ? ? a2i ,记 d n ? 1 ? ? [( ?1) i bi Cn i ?0 i ?1

n

n

式 t ? (dn ? 1) ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围.


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