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抛物线参数方程

时间:2014-03-26


高二数学学案
使用时间:2013 年 12 月 21 日 一、学习目标:

第二节圆锥曲线参数方程 ( 第三课时) 编印者:审定者:

2.写出抛物线的四种不同形式方程对应的参数方程? 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的参数方程___________________________ 抛物线 y 2 ? -2 px( p ? 0) 的参数方程___________________________ 抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) 的参数方程___________________________ 抛物线 x 2 ? -2 py( p ? 0) 的参数方程___________________________ 三、导学交流:

1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义; 2. 掌握椭圆的参数方程,并能解决一些简单的问题. 二、自主学习: 1.抛物线的参数方程的推导过程: 如图:设 M ( x, y) 为抛物线上除顶点外的任 一点, 以射线 OM 为终边的角记为 ? , 当? 在
(?

y M(x,y) O

意 并
x

K 【例 1】求下列抛物线的参数方程 (1 ) x 2 ? 4 y (2) y 2 ? ?4y (3) x 2 ? ?3y

? ?

, ) 内变化时,点 M 在抛物线上运动, 2 2

?

且对于 ? 的每一个值, 在抛物线上都有唯一 点与对应.因此,可以取 ? 为参数探求抛物 的参数方程.
y x

的M 线

【例 2】把下列参数方程化为普通方程 (1 ) ?
? x ? 2t 2 ? y ? 2t

根据三角函数的定义得, tan ? ? ,即 y ? x tan ? ,联立 y 2 ? 2 px ,得
2p ? x? ? ? tan 2 ? ( ? 为参数) ,这为抛物线的不含顶点的参数方程,但方程的 ? ?y ? 2p ? tan ? ?

(2 ) ?

? y ? 5t 2 ? x ? 5t

(3 ) ?

? x ? ?3t 2 ? y ? ?3t

形式不够简洁,
? x ? 2 pt 2 1 设t ? , t ? (??,0) ? (0, ??) ,则 ? ( t 为参数 ) , tan ? ? y ? 2 pt 当 t ? 0 时,由参数方程得,正好为顶点 O(0,0) ,因此当 t ? (??, ??) 时,上

四、随堂检测
? x ? 4t 2 (t为参数) 上,则 PF 等于 1. 若点 P(3, m ) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? ? y ? 4t



式为
y 2 ? 2 px 的参数方程.

) A. 2

B. 3

C. 4 (

D. 5 ) D. (?2,0)

2. 抛物线 ?

注意:参数 t 的几何意义为:表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的斜率的倒数.

? x ? 2m ( m 为参数)的焦点坐标是 2 ? y ? ?m

A. (?1,0)

B. (0, ?1)

C. (0, ?2)

2、设M为抛物线y 2 ? 2 x上的动点,给定点 M 0 (?1,0),点P为线段M 0 M的中点,求点 P的轨迹方程。

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