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11-12学年高中数学 2.4.1 函数的零点课件 新人教B版必修1

时间:2013-03-22


复习回顾: (1)一元二次方程是否有实根的判定方法. (2)二次函数的顶点坐标,对称轴方程。 一:利用一元二次方程根的判别式

? ? b ? 4ac
2

(1)△>0,二次方程有两个不同的实数根
(2)△=0,二次方程有两个相同的实数根 (3)△<0,二次方程没有实数根 二:二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)
b 顶点坐标为( ? 2a

4ac ? b 2 ) 对称轴为 x ? ? b , 2a 4a

观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的 二次函数的图象:
一元二次方程 方程的根 二次函数 图象与x轴的交点

x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0

x= 3或 x=-1 x=1 无实数 根

y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3

(-1,0) (3,0) (1,0) 无交点

一般一元二次方程与相应二次函数的关系 △=b2-4ac ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象与x轴的交点 的根
△>0

x1,x2
△=0

(x1,0),(x2,0)

x1=x2
△<0

(x1,0)
无交点

无实根

函数零点的定义:

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。 注意:
零点指的是一个实数;

零点是一个点吗?

方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点

函数y=f(x)有零点

二次函数零点的个数
△=b2-4ac

ax2+bx+c=0 的根
两个不相 等的实根 两个相等 的实根
无实根

y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象与x轴的交点 两个零点 二重零点 无零点

△>0

△=0

△<0

探究
观 察 二 次 函 数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的 图 象,如右图,我们发现函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3在 区间 ? ?2,1? 上有零点。计算 f (?2) 和 f (1) 的乘 积,你能发现这个乘积有什么特点?在区间
y 5 4 3 2 1

? 2,4?上是否也具有这种特点呢?

-2 -1 0 -1 -2 -3 -4

1 2

3 4 5 x

(1)当函数的图像通过零点且穿过x轴时,函数值变 号。 (2)两个零点把x轴分为三个区间。 可以推广到任意函数,只要它的图像是连续的,上述 性质同样成立。

例1:判断函数零点的个数

(1 f ( x) ? x 2 ? x ? 6 ) 1 ( 2) f ( x ) ? x ? x
2

答案(1)两个

(2)一个

(1)可直接解方程(2)可解方程也可数形结合

互动探究
例2:求函数的零点 4 (2) f ( x) ? ?3x 2 ? 7 x ? 6 (1) y ? x ? 1
答案(1)1和-1

2 (2)-3和 3

变式训练:
(1)求函数的零点f ( x) ? ( x 2 ? x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 8)

(2)讨论y ? (ax ? 1)( x ? 2)的零点。

思考与讨论 :如何求函数的点?
规律方法:由于函数的零点是对应方 程的根,所以求函数的零点就是解与 函数相对应的方程,一元二次方程可 用求根公式,简单的高次方程可用因 式分解去求。

例3、求函数y=x3-2x2-x+2的零点,并画出它 的图像。
y

解:因为 x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2) =(x-2)(x2-1) =(x-2)(x-1)(x+1) 所以已知函数的零点为-1, 1,2. 3个零点把x轴分成4个区间: (-∞,-1)(-1,1)(1, 2)(2,+ ∞ )

2

-2

0

2 x

当堂检测

课本练习A

本堂小结: 一:函数零点的概念 二:函数零点与方程根的关系 三:求函数的零点及判断零点的 个数


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