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第二讲 整式与因式分解(台儿庄--鹿守太)

时间:2015-04-16


课题:第二讲 整式与因式分解 姓名: 鹿守太 电话:15664510016

课型:复习课 单位:枣庄市第三十九中学

年级:九年级

邮箱:370823@163.com

能否提供录像课:不能

学习目标:
1. 了解单项式、多项式、整式的概念,弄清它们与代数式之间的联

系和区别. 2. 理解同类项的概念,掌握合并同类项的法则和去、添括号的法则. 3. 掌握幂的运算、整式的乘除、平方差公式和完全平方公式. 4.能准确地进行整式的加、减、乘、除、乘方混合运算. 5.会根据多项式的结构特征,灵活选择合适的方法进行因式分解. 6. 能利用因式分解的方法进行整式的化简和求值.

教学重点与难点:
重点:能够掌握整式的运算法则和因式分解. 难点:概念的理解及其运用乘法公式与因式分解知识解决实际问题.

教法与学法指导:
本节课主要采用“知识回顾——题组练习——例题讲解——归纳总结——升华应用”的 教学模式,层层推进,来巩固本章的主要内容,达到巩固基础、提升能力的目的. 学生通过 自主学习、小组合作,展开互动性学习,让学生体会到学习数学的成就感.

课前准备:
教师准备:多媒体课件、导学稿. 学生准备:提前完成导学案的“基础知识梳理”.

教学过程: 一、基础知识之自我回顾
课前请同学们翻阅课本浏览了七年级下册课本第2—49页及八年级下册课本第43 —58页的内容,让大家熟记了概念、运算性质法则及公式等知识点,完成了知识梳理.下 面我们比一比,看谁做得最好.(导学稿提前下发,学生在导学稿中填空.) 设计意图:提前告知学生本节课要求,让学生早作准备。让学生“有备而来”,有利于 提高学生的复习效果。 让学生以比赛选手身份展示自己复习成果, 利于提高本节课的复效果。 有效地表明其身份— —你是本课的主人,一定要参与其中,为提高课堂效率打下基础.

【知识梳理】
考点一 代数式 单项式 1. 代数式 无理式 2.代数式的值 一般地,用 代替代数式里的 有理式 分式

,按照代数式指明的运算计算出的结果,叫做代
1

数式的值. 考点二 整式的有关概念 1.单项式: 由数和字母的 组成的代数式叫做单项式。 单独一个数或 也是单项 式.单项式中的 叫做这个单项式的系数; 单项式中所有字母的 叫做这个单项式 的次数. 2.多项式:几个 的和,叫做多项式._ _ 叫做常数项.多项式中 _的次 数,就是这个多项式的次数. 3. 和 统称整式. 考点三 整式的运算 1.整式的加减 (1)同类项与合并同类项 多项式中,所含的 相同,并且 也分别相同的项叫做同类项.把多项式 中的同类项合并成一项叫做合并同类项. 合并的法则是 相加,所得的结果作为合并后的系数, 不变. (2)去括号与添括号 ① a ? (b ? c) = , a ? (b ? c) = . ②a ? b ? c =a? ,a ?b ? c=a - (3)整式加减的实质是合并同类项. 2.幂的运算 .

am ? an ?

( m、n 都是整数). ( n 为整数).

(ab) n ?
3.整式的乘法

( m、n 都是整数). ( am )n ? m n a ?a ? ( a ? 0 , m、n 都为整数). . . . . . .

1 ? 3xy 2 ? (? x 3 ym ) ? 6 单项式与多项式相乘: m(a ? b ? c) ? 多项式与多项式相乘: (m ? n)(a ? b) ?
单项式与单项式相乘: 4.整式的除法 单项式除以单项式: (?4a b c) ? 6ab ? 多项式除以单项式: (am ? bm ? cm) ? m ? 5.乘法公式 (1)平方差公式: (a ? b)(a ? b) ?
2 3 2

(2)完全平方公式: (a ? b) ? . 考点四 因式分解 1.因式分解的定义及与整式乘法的关系 (1)把一个 化为 的形式,就是因式分解. (2)因式分解与 是互逆变形. 2.因式分解的常用方法 (1)提公因式法 用公式可表示为 am ? bm ? cm ? . 公因式的确定:公因式为各项系数的 与相同因式的 (2)运用公式法

的乘积.

, a 2 ? 2ab ? b 2 ? . 3.因式分解的一般步骤 (1)一提:如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; (2)二用:如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式法来分解; (3)三查:因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 处理方式: 让学生自己独立完成, 然后教师进行提问, 对学生掌握不好的地方加以强调,
2

a2 ? b2 =

回答完成后在给学生留出 2-3 分钟时间进行记忆,以便更好地掌握知识点. 设计意图:把本章知识点以填空题形式出现,便于学生梳理本章的知识点,检查其对知 识点掌握情况,避免遗漏;同时也便于学生把握知识点间的联系,为学生归纳本章的知识网 络奠定基础. 【构建网络】 通过前面知识梳理, 相信同学们对整式与因式分解的知识结构已胸有成竹, 现在请同学 来详细说明. (教师留给学生 3 分钟时间,让学生明白本节知识及知识间的联系.) 处理方式:学生举手回答,畅所欲言,其他同学互相讨论补充.在学生充分交流后教师 出示【知识树】 (多媒体投影展示)

探究三:过三点作圆. 问题 1:经过同一直线上的 A、B、C 三点能作圆吗? 问题 2:作圆,使它经过已知点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直线上).你是如何

设计意图: 在学生充分思考、 交流的基础上出示本章知识网络图, 让学生再次梳理知识, 明确各知识点间的联系, 将零散、 孤立的知识形成网络,帮助学生更系统地掌握知识的同时, 增强合作意识,以及与别人交流的能力,让学生在数学学习活动中完成整式与因式分解的知 识要点复习.

二、基础知识之基础演练
1. (2014?日照)下列运算正确的是( ) 3 2 6 2 3 6 A. 3a ?2a =6a B. (a ) =a C. a8÷a2=a4 D. x3+x3=2x6 2. (2014?张家界)若﹣5x2ym 与 xny 是同类项,则 m+n 的值为( ) A . 1 B. 2 C. 3 D . 4 3. (2014?湘西州)下列运算正确的是( ) 2 2 2 3 2 5 A. (m+n) =m +n B. (x ) =x C.5x﹣2x=3 D. (a+b) (a﹣b)=a2﹣b2 4. (2014?湖州)计算 2x(3x2+1) ,正确的结果是( A.5x3+2x B.6x3+1 C.6x3+ 2x
3

) D.6x2+2x

5.(2014?毕节)下列因式分解正确的是( ) 2 2 2 2 2 2 A.2x ﹣2=2(x+1)(x﹣1)B.x +2x﹣1=(x﹣1) C.x +1=(x+1) D.x ﹣x+2=x (x﹣1)+2 6. (2014?枣庄)如图,在边长为 2a 的正方形中央剪去一边长为(a+2)的小正方形(a >2) ,将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形,则该平行四边形的面积为( )

A. a2+4 B. 2a2+4a

C. 3a2﹣4a﹣4

D. 4a2﹣a﹣2 . .

7.(2014? 抚州)因式分解:a3-4a ? 8. (2014? 连云港)计算 ?2x ? 1??x ? 3? =

9. (2014? 衡阳) 先化简, 再求值:? a ? b ?? a ? b ? ? b ? a ? 2b ? ? b 2 , 其中 a ? 1 、b ? ?2 . 处理方式: 这些都是基础知识和基本技能的再现, 所以处理的方式都是让学生自行完成, 要求学生 10 分钟内完成,其中第 6、7、8、9 题要求学生板演,10 分钟后师生共同评价反 馈矫正. 第 9 题教师规范书写过程. 设计意图:几道简单题拉开复习的序幕,试题覆盖本章最基础的知识难度很小,正确率 可以大大提升,让学生自信地复习下去.

三、难点突破之聚焦中考
(投影试题,学生分析、教师补充,学生完成解题过程,教师批阅,其他同学模仿.)
2 例 1(2012●河北中考)已知 y ? x ? 1 ,则 ( x ? y) ? ( y ? x) ? 1 的值为



思路分析:由已知 y ? x ? 1 ,可得 y ? x ? ?1,再代入到代数式中,即可求出它的值. 解:由 y ? x ? 1 得 y ? x ? ?1, 所以 ( x ? y) 2 ? ( y ? x) ? 1 ? ( y ? x) 2 ? ( y ? x) ? 1 ? (?1) 2 ? (?1) ? 1 ? 1. 答案:1 方法总结:代数式求值大体可分为三种:一是直接代入求值.二是间接代入求值,就是 根据已知条件,求未知数的值,再代入求值.三是整体代入. 设计意图:我们知道“整体代入求值”的方法就是将一个整式(的值)作为一个整体代 入到所求的整式中,从而求出整式的值的方法.解答此类问题时,要从整体上分析已知整式 与所求整式之间结构的异同,从整体上把握解题思路,寻求解决问题的方法. 例 2(2014? 日照)若 3

x

? 4 , 9 y ? 7 ,则 3x ? 2 y 的值为(
C. ?3 D. 7



A.

4 7

B.

7 4

2

4

思路分析:欲求 3 观察 3
x ?2 y

x ?2 y

的值,若采用先求出 x , y 的值,再代入的方法显然是不可的,
x ?2 y

的指数是差的形式,可考虑逆用同底数幂的除法法则得到 3
x ?2 y

? 3x ? 32 y ,然

后再逆用幂的乘方法则得到 3 出其值。 解:

x ? 3x ? 32 y ? 3x ? 9 y ,再将 9 y ? 7 , 3 ? 4 代入即可求

3 x ? 2 y ? 3 x ? 32 y ? 3 x ? 9 y ? 4 ? 7 ?

4 7

设计意图:本题考查了积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方等法则的逆运用,对于我 们来说,理清指数的变化规律是解决此类问题的关键。 例 3(2014?毕节)若﹣2amb4 与 5an+2b2m+n 可以合并成一项,则 mn 的值是( ) A. 2 B. 0 C. ﹣1 D. 1

思路分析: 根据同类项的定义可知, 相同字母的次数相同, 据此列出方程组即可求出 m 、 n 的值. 解析:∵ 单项式 ? 2a b 与 5a
m 4 n?2

b 2 m? n 可以合并成一项,

∴ ?

?m ? n ? 2 , ?2m ? n ? 4
n 0

解得 ?

?m ? 2 , ?n ? 0

则 m ? 2 ? 1.

故答案为:D.

方法总结:本题考查了同类项的定义,要注意定义中的两个“相同” :即(1)所含字母 相同; (2)相同字母的指数相同,是易混点,因此成了中考的常考点.解题时注意运用二元 一次方程组求字母的值. 例 4(2014?娄底)如图是一组有规律的图案,第 1 个图案由 4 个▲组成,第 2 个图案 由 7 个▲组成,第 3 个图案由 10 个▲组成,第 4 个图案由 13 个▲组成,…,则第 n(n 为 正整数)个图案由 3n+1 个▲组成.

思路分析: 根据每一个图形都是外围一个大三角形和中心的一个小三角形形构成, 得到外围一个大 三角形的▲的个数和中间的一个▲的和即可. 解析:观察发现: 第一个图形有 3×2﹣3+1=4 个三角形; 第二个图形有 3×3﹣3+1=7 个三角形; 第一个图形有 3×4﹣3+1=10 个三角形; … 第 n 个图形有 3(n+1)﹣3+1=3n+1 个三角形; 故答案为:3n+1.
5

方法总结:对于图形的变化类问题,解题的关键是仔细观察图形并找到相应的规律. 例 5(2013?娄底)先化简,再求值: ( x ? y)(x ? y) ? (4x 3 y ? 8xy3 ) ? 2xy , 其中 x ? ?1 , y ?

3 . 3

思路分析:原式第一项利用平方差公式化简,第二项利用多项式除单项式法则计算,去 括号合并得到最简结果,将 x 与 y 的值代入计算即可求出值. 解析: ( x ? y)(x ? y) ? (4x 3 y ? 8xy3 ) ? 2xy

? x 2 ? y 2 ? 2x 2 ? 4 y 2 ? ?x 2 ? 3y 2
当 x ? ?1 , y ?

3 .时,原式 ? ?1 ? 1 ? 0 . 3

方法总结:求代数式的值的思路有两个: (1)先化简代数式,再代入相应字母的值,最 后求出代数式的值; (2)题目中并未给出各个字母的取值,而是给出几个式子的值.这时可 以把这几个式子看作一个整体,把多项式化为含有这几个式子的代数式,并代人求值.运用 整体代换思想,往往可使问题简化. 例 6(2014? 呼和浩特)把多项式 6 xy 2 ? 9 x 2 y ? y 3 因式分解,最后结果 为 答案. 解析: 6xy 2 ? 9x 2 y ? y 3 ? ? y(9x 2 ? 6xy ? y 2 ) ? ? y(3x ? y) 2 . 故答案为: ? y(3x ? y) 2 . 方法总结:因式分解的步骤可总结为: “一提、二套、三查” . 一提是指一个多项式有 公因式首先提取公因式; 二套是指若各项没有公因式或提取公因式后再尝试用公式法进行因 式分解;三查是指检查因式分解要彻底. . 思路分析:先提取公因式 ? y ,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得

四、中考考点之灵活运用 1 2 3 1.(2014? 随州)计算 ( ? xy ) ,结果正确的是( ) 2 1 2 4 1 3 6 1 3 6 1 3 5 A. x y B. ? x y C. x y D. ? x y 2 8 8 8 2 2. 二次三项式 x ? kx ? 9 是一个完全平方式,则 k 的值是
3. (2014?六盘水)下列运算正确的是( A. (?2mn) ? 4m n
2 2 2 2 2


4 2

B. y ? y ? 2 y
2

C. (a ? b) ? a ? b
2 2

2

D. a b ? ab ? ab(b ? a) ) C. 3 2
2

4. (2014? 遵义)若 a ? b ? 2 2 , ab ? 2 ,则 a 2 ? b 2 的值为( A.6 B.4 D. 2 3 5. (2014? 盐城)已知 x( x ? 3) ? 1 ,则代数式 2 x ? 6 x ? 5 的值为



6

6. (2014? 巴中)分解因式: 3a b ? 27 ab ?
3



7.(2014? 淄博)当 x=1 时,代数式 ax3﹣3bx+4 的值是 7,则当 x=﹣1 时,这个代数式 的值是( A.7 ) B.3 C.1 D.﹣7

8. (2014?十堰)根据如图中箭头的指向规律,从 2013 到 2014 再到 2015,箭头的方向 是以下图示中的( )

第 2 题图

五、课堂小结之反思提高
同学们,竹子每生长一步,必做小结,所以它是世界上长的最快的植物,数学的学习也 是如此.通过这节课的学习,你有哪些收获?有何感想?学会了哪些方法?先想一想,再分 享给大家. 学生畅谈自己的收获! 我懂得了? 我收获了? 我的疑惑是? 活动目的:让学生回顾本节课的学习内容,学会归纳,善于总结,做一个有心人;促进 学生巩固所学知识,锻炼整理归纳知识体系的能力,培养学生的合作意识和语言表达能力. 注意事项:充分发挥学生的主体作用,锻炼学生归纳、整理、表达的能力. 处理方式:学生自主总结交流本节课的收获与感受;虽然学生的程度不同,但不同程度 的学生都能够有所收获.学生回答不完整的, 再由老师补充小结. 师生共同完成如下的问题: 设计意图:复习课大多是学生自主探究、交流、提高的过程,教师只做点拨.因此,小 结的过程不妨大胆交给学生,听听学生的感悟、体会,以便教师更好的了解学生学习经验的 获得情况. 由学生发言,为他们提供一个互相交流的平台,让学生养成反思与总结的习惯, 培养学生的语言概括能力.

六、查缺补漏之达标检测
师:通过本节课的学习,同学们的收获真多!收获的质量如何呢?请完成导学案中的达 标检测题. (同时多媒体出示) 1. (2014?鄂州)下列运算正确的是( ) 2 3 6 2 2 A. (﹣2x ) =﹣6x B. (3a﹣b) =9a ﹣b2 C. x2?x3=x5 D. x2+x3=x5 2. (2014? 海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
7

A. a 2 ? 4a ? 21 ? a(a ? 4) ? 21 C. (a ? 3)(a ? 7) ? a 2 ? 4a ? 21
2

B. a 2 ? 4a ? 21 ? (a ? 3)(a ? 7) D. a 2 ? 4a ? 21 ? (a ? 2) 2 ? 25 . .

3. (2014? 梅州)已知 a+b=4,a-b=3,则 a2-b2= 4. (2014?大连)当 a=9 时,代数式 a +2a+1 的值为

5.(2014?威海)已知 x2﹣2=y,则 x(x﹣3y)+y(3x﹣1)﹣2 的值是( ) A. ﹣2 B. 0 C. 2
2

D. 4
2

6. (2014?包头)计算: (x+1) ﹣(x+2) (x﹣2)=
2



7. (2013?北京)已知 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,求代数式 (2 x ? 3) ? ( x ? y )( x ? y ) ? y 2 的值. 处理方式:学生做完后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况.学生根 据答案进行纠错. 设计意图:通过达标检测题进一步让学生理解本节知识的重点、难点及进一步巩固中 考考点,达到熟练应用知识的目的.同时也可以使养学生快速准确解答问题的习惯,提高时 间观念为中考打好基础.

七、课后巩固之布置作业
1.巩固作业: A 组(必做题) :用 30 分钟独立完成《新课程初中复习指导丛书》第 9 页第 1 题至 10 页第 15 题. B 组(选做题) : 《新课程初中复习指导丛书》第 10 页第 16 题至第 11 页第 18 题. 2.预习作业:预习第三讲分式的知识梳理. 设计意图: 必做题给定学生时间完成巩固作业,训练学生的解题技巧和解题能力.选做题 留给学有余力的学生,分层提高预习作业使学生为下节课的学习做好准备. 结束语:同学们,本节课的学习你们给我留下了深刻的印象,同时也给了我太多的感动 与惊喜,谢谢大家!祝愿同学们:信心百倍,走好九年级的每一步,成就不凡的自己.

板书设计 §第一单元 数与式
知识梳理 考点解析

第二讲 整式与因式分解
典例剖析 检测讲解 投 影 区











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