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导数的应用三


导数的应用(三)

知识点一:利用导数法求函数最值;
第一步:求函数的定义域;

第二步:分析函数的单调性;
第三步:分析和比较极值与端点值的大小;

例1、(2011北京卷)已知函数 f ( x) ? ( x ? k )e 求函数 f ( x)在区间 [0,1] 上的最小值;

/>x

例2、已知函数

f ( x) ? ax ? ln x; x ? (0, e]

是否存在实数a使得 f ( x) 的最小值为3?若 存在,求出a的值,若不存在,说明理由;

例3、已知函数 f ( x) ? x e ,其中 a ? 0 ;
2 ax

求函数 f ( x) 在区间 [0,1]上的最大值;

例4、若不等式 2 x ln x ? 2mx ? 1在 x ? [1, e]
2

恒成立,求实数m的取值范围?

(变式)已知

(1)若 x

? 3 是 f ( x) 的极值点,求

1 2 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? a ln x ? 1 2
f ( x)

的极大值; (2)若 f ( x) ? 1 恒成立,求a的范围;

a ( x ? 1) 例5、已知函数 f ( x) ? ln x ? ; x ?1
(1)若 f ( x) 在定义域上为单调函数,求
实数a的取值范围;

m?n m?n ? (2)若 m ? n ? 0 ,证明: ln m ? ln n 2

例6、已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? a) 的最小
值为0,其中 a ? 0 ; (1)求a的值; (2)若对任意的 x ? [0, ??) 有 f ( x) ? kx 2

成立,求实数k的最小值;

(2010高考)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1
2 ? (1)若 xf ( x) ? x ? ax ? 1 ;求a的取值范围;

( x ? 1) f ( x) ? 0 ; (2)证明:

(2010新课标) f ( x) ? e ?1 ? x ? ax ;
x 2

(1)若 a ? 0,求 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ? 0时 f ( x) ? 0 ,求a的取值范围;

(2012高考)已知函数 f ( x) 满足:
f ( x) ? f ?(1)e
x ?1

1 2 ? f (0) x ? x 2

(1)求 f ( x ) 的解析式和单调区间;

1 2 (2)若 f ( x) ? x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 2
的最大值;

(2013高考)设函数 f ( x) ? x ? ax ? b ; g ( x) ? ex (cx ? d ) 若曲线 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 都过点 P(0, 2) ,且在点P处有相同的切线: y ? 4x ? 2 ; (1)求 a, b, c, d 的值; (2)若 x ? ?2 时,f ( x) ? kg ( x) ,求k的取 值范围;
2

be (2014高考)函数 f ( x) ? ae ln x ? x
x

x ?1

曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程

为 y ? e( x ? 1) ? 2 ;
(1)求 a, b; (2)证明:f ( x) ? 1

be 知识点二:三次函数的特征;x (2014高考)函数 f ( x) ? ae ln x ?

x ?1

1、三次函数的图像特征; 曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程 为 y ? e( x ? 1) ? 2 ; 2、三次函数的对称中心;
(1)求 a, b; (2)证明:f ( x) ? 1

x

例1、已知函数 f ( x) ? ? x

3

? ax ? b;
2

(1)若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上增函数,求 实数a的取值范围;

(2)设 x1 , x2 , x3 为方程 f ( x) ? 0 的三个 x1 ? (?1,0), x2 ? (0,1), x3 ? (??, ?1) ? (1, ??) 根, 求a的取值范围;

知识点三:其他函数图像特征;

ax ? b ;(a ? 0) 1、函数 f ( x) ? x e ln x ;(a ? 0) 2、函数 f ( x) ? ax ? b



见!


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