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山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编9:圆锥曲线 Word版含答案


山东省 2014 届高三理科数学备考之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 9:圆锥曲线
一、选择题 1 . (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A. )已知双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐 a2 b2


近线的斜率为 2 ,且右焦点与抛物线 y 2 ? 4

3 x 的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 ( A. 2
【答案】B

B. 3

C.2

D.2 3

【解析】 抛物线的焦点为 ( 3, 0) ,即 c ?

3 .双曲线的渐近线方程为 y ?

b b x ,由 ? 2 ,即 b ? 2a , a a
B.

所以 b 2 ? 2a 2 ? c 2 ? a 2 ,所以 c 2 ? 3a 2 ,即 e 2 ? 3, e ? 3 ,即离心率为 3 ,选

x2 y 2 2 . ( 山 东 省 济 南 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 椭 圆 方 程 ? ?1 ,双曲线 4 3 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 a 2 b2
A. 2
【答案】C





B. 3

C.2

D.3

【 解 析 】 椭 圆 的焦 点 为 (1, 0) , 顶 点 为 (2, 0) , 即 双 曲 线 中 a ? 1, c ? 2 , 所 以 双 曲 线 的 离心 率 为

e?

c 2 ? ? 2 ,选 C . a 1
2

3 . (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 已知抛物线 y

? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,点 P 为
( )

抛物线上一点,且在第一象限, PA ? l ,垂足为 A , PF ? 4 ,则直线 AF 的倾斜角等于 A.

7? 12

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

5? 6

【答案】B

抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 F (1, 0) , 准 线 方 程 为 x ? ?1 . 由 题 意 PF ? PA ? 4 , 则

xP ? (?1) ? 4 ,即 xP ? 3 ,所以 yP 2 ? 4 ? 3 ,即 yP ? ?2 3 ,不妨取 P(?1, 2 3) ,则设直线 AF 的倾斜
角等于 ? ,则 tan ? ?

2 3 2? ? ? 3 ,所以 ? ? ?1 ? 1 3 ,选

B.

4 . (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题) 方程

xx y y ? ? ?1 的曲线即为函数 16 9

y ? f ( x) 的 图 像 , 对 于 函 数 y ? f ( x) , 有 如 下 结 论 :① f ( x) 在 R 上 单 调 递 减 ;② 函 数

F ( x) ? 4 f ( x) ? 3x 不存在零点;③函数 y ? f ( x) 的值域是 R;④若函数 g ( x) 和 f ( x) 的图像关于原点
对称 , 则函数 y ? g ( x ) 的图像就是方程

y y xx ? ? 1 确定的曲线 . 其中所有正确的命题序号是 16 9
( ) C.①③④ D.①②③

A.①②
【答案】D

B.②③

【解析】当 x ? 0, y ? 0 ,方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? ?1 ,此时方程不成立.当 x ? 0, y ? 0 ,方程为 ? ? 1, 16 9 16 9

此时 y ? ?3

x2 x2 x2 y 2 ? 1 .当 x ? 0, y ? 0 ,方程为 ? ? 1 .当 x ? 0, y ? 0 ,方程 ? ?1 ,即 y ? ?3 16 16 16 9

为?

x2 y 2 x2 ? 1 .做出函数的图象如图 ? ? ?1 , 即 y ? 3 16 16 9
3 x .因为双 4

由图象可知,函数在 R 上单调递减.所以①成立.②由 F ( x) ? 4 f ( x) ? 3 x ? 0 得 f ( x) ? ?

曲线

x2 y 2 x2 y 2 3 ? ? ?1 和 ? ? ? ?1 的渐近线为 y ? ? x ,所以 F ( x) ? 4 f ( x) ? 3x 没有零点,所以 16 9 16 9 4

②正确 . 由图象可函数的值域为 R, 所以③正确 . 若函数 g ( x) 和 f ( x) 的图像关于原点对称 , 则函数

y ? g ( x) 的图像就是方程

?x x ? y y xx y y ? ? ?1 ,即 ? ? 1 ,所以④错误,所以选 D. 16 9 16 9

5 . (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学) 抛物线

y 2 ? ?12 x 的准线与双曲线
( )

x2 y 2 ? ? 1 的两渐近线围成的三角形的面积为 9 3
A. 3
【答案】D

B. 2 3

C.2

D. 3 3

【解析】 抛物线 y ? ?12 x 的准线为 x ? 3 ,双曲线
2

x2 y 2 3 3 ? ? 1 的两渐近线为 y ? x和y?? x, 9 3 3 3

令 x ? 3 ,分别解得 y1 ? 面积为

3, y2 ? ? 3 ,所以三角形的低为 3 ? (? 3) ? 2 3 ,高为 3,所以三角形的
D.

1 ? 2 3 ? 3 ? 3 3 ,选 2

x2 y 2 6 . (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学 (理) 试题) 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a b
两条渐近线均与 C : x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 相切,则该双曲线离心率等于
2 2





A.

3 5 5

B.

6 2

C.

3 2

D.

5 5

【答案】A

【解析】圆的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 4 ,所以圆心坐标为 C (3, 0) ,半径 r ? 2 ,双曲线的渐近线为
2 2

y??

b b x , 不 妨 取 y ? x , 即 bx ? ay ? 0 , 因 为 渐 近 线 与 圆 相 切 , 所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 a a

d?

3b a 2 ? b2

? 2 , 即 9b 2 ? 4(a 2 ? b 2 ) , 所 以 5b 2 ? 4a 2 , b 2 ?

4 2 9 a ? c2 ? a2 , 即 a2 ? c2 , 所 以 5 5

9 3 5 ,选 A. e2 ? , e ? 5 5
7 . (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心且与双曲线的 6 3
( )

渐近线线相切的圆的方程是 A. x ? 3
2

?

?

2

? y2 ? 3
3

B. x ? 3
2

?

?

2

? y2 ? 3

C. ? x ? 3 ? ? y 2 ?
【答案】D

D. ? x ? 3 ? ? y 2 ? 3

【解析】双曲线的右焦点为 (3, 0) , 双曲线的渐近线为 y ? ?

2 2 x , 不妨取渐近线 y ? x ,即 2 2

2 x ? 2 y ? 0 , 所以圆心到直线的距离等于圆的半径 ,即 r ?
圆的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 3 ,选
2 2

3 2 ( 2) 2 ? 22

?

3 2 3 ? ? 3 ,所以 6 3

D.
2

8 . (2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学) 已知 F 是抛物线 y

? x 的焦点,A,B 为抛物线上的两点,
( )

且|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 A.

5 4

B.

7 4

C.

3 2

D.

3 4

1 .因为|AF|+|BF|=3,所以设 A 到准线的距离为 4 3 AC ,B 到准线的距离为 AD ,则 AC ? AD ? 3 ,则线段 AB 的中点 M 到准线的距离为 ,所以线段 2 3 1 5 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 ? ? ,选 A. 2 4 4
【答案】A 抛物线的焦点为 F ( , 0) ,准线方程为 x ? ? 9 . (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)已知双曲线

1 4

x2 y 2 ? ? 1 的实轴长为 2,焦距为 4, a 2 b2
( )

则该双曲线的渐近线方程是 A. y ? ?3 x B. y ? ?

3 x 3

C. y ? ? 3 x

D. y ? ?2 x

【答案】 C 由题意知 2a ? 2, 2c ? 4 ,所以 a ? 1, c ? 2 ,所以 b ?

c 2 ? a 2 ? 3 .又双曲线的渐近线方程

是y??

b x ,即 y ? ? 3 x ,选 a

C.

10 . (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学) 双曲线 C1 :

x2 m
2

?

y2 ? 1(m ? 0, b ? 0) 与椭圆 b2

y2 1 1 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 有相同的焦点,双曲线 C1 的离心率是 e1,椭圆 C2 的离心率是 e2,则 2 ? 2 b e1 e2 a
( A. )

x2

1 2

B.1
2 2 2

C. 2
2 2 2 2

D.2
2 2 2 2 2 2 2

【答案】 D 双曲线的 c ? m ? b ,椭圆的 c ? a ? b ,所以 c ? a ? b ? m ? b ,即 m ? a ? 2b ,

所以

1 1 a 2 ? 2b 2 a 2 2a 2 ? 2b 2 2(a 2 ? b 2 ) ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ,选 e12 e2 c2 c c2 c2

D.

11 . (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学) 双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 与抛物线 a 2 b2

y 2 ? 2 px( p>0) 相交于 A,B 两点 ,公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F, 则双曲线 C 的离心率为
( A. 2 B. 1 ? 2 C. 2 2 D. 2 ? 2 )

p p , 0) ,且 c ? ,所以 p ? 2c .根据对称性可知公共弦 AB ? x 轴,且 AB 2 2 p p p p 的 方 程 为 x? , 当 x? 时 , y A ? p , 所 以 A( , p ) . 所 以 F1 (? , 0) , 即 2 2 2 2
【答案】B 抛物线的焦点为 F (

AF1 ? (?

p p 2 ? ) ? p 2 ? 2 p, AF ? p , 所 以 2 2

2 p ? p ? 2a , 即 ( 2 ? 1) ? 2c ? 2a , 所 以

c 1 ? ? 2 ? 1 ,选 a 2 ?1

B.

x2 y2 12. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)过双曲线 2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的左 a b
焦点 F (?c,0)(c ? 0) 作圆 x ? y ? a 的切线,切点为 E,
2 2 2

延长 FE 交抛物线 y ? 4cx 于点 P, O 为坐标原点 , 若 OE ?
2

1 (OF ? OP) , 则双曲线的离心率为 2
( )

A.

3? 3 2

B.

1? 3 2

C.

5 2

D.

1? 5 2
1 (OF ? OP) , 2

【答案】D

【 解析】抛物线的焦点坐标为 F2 (c, 0) ,准线方程为 x ? ?c .圆的半径为 a ,因为 OE ?

所以 E 是 FP 的中点 , 又 E 是切点 , 所以 OE ? FP , 连结 PF2 , 则 PF2 ? FP , 且 PF2 ? 2a , 所以

PE ? b, PF ? 2b , 则 PF2 ? 2a , 过 P 做 准 线 的 垂 线 PM , 则 PM ? PF2 ? 2a , 所 以

MF ? PF 2 ? PM 2 ? (2b) 2 ? (2 a)2 ? 2 b2 ? a2 , 在直角三角形 FPF2 中 , PF ? PF2 ? FF2 ? MF ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 即 2c ? 2 b ? a ? 2b ? 2a , 所 以 c (b ? a ) ? a b , 即 c (c ? 2a ) ? a (c ? a ) , 整 理 得

2

2

c 4 ? 3a 2 c 2 ? a 4 ? 0 , 即 e 4 ? 3e 2 ? 1 ? 0 , 解 得 e 2 ?

3? 9 ? 4 3? 5 3? 5 , 所 以 e2 ? ,即 ? 2 2 2


e2 ?

3 ? 5 6 ? 2 5 ( 5 ? 1) 2 ? ? 2 4 4

,



e?

1? 5 2

,



D.
13. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)若点 P 是以 A ? 10 ,0 、 B

?

? ? 10 ,0?为焦点,实
( )

轴长为 2 2 的双曲线与圆 x +y =10 的一个交点,则|PA|+ |PB|的值为
2 2

A. 2 2 C. 4 3

B. 4 2 D. 6 2

【答案】 D 由题意知 2a ? 2 2, c ? 10 , 所以 a ?

2, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10 ? 2 ? 8 , 所以双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 . 不 妨 设 点 P 在 第 一 象 限 , 则 由 题 意 知 2 8
( PA ? PB ) 2 ? PA ? PB ? 2 PA PB
2 2 2 2

? ? PA ? PB ? 2a ? 2 2 ,所以 ? 2 2 2 PA ? PB ? (2 c ) ? 40 ? ?

,





2 PA PB ? 32

,

所 D.



( PA ? PB ) 2 ? PA ? PB ? 2 PA PB ? 72 ,所以 PA ? PB ? 72 ? 6 2 ,选
14. (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学 (理) 试题) 设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

的 左 、 右 焦 点 , 若 双 曲 线 右 支 上 存 在 一 点 P, 使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ,O 为 坐 标 原 点 , 且

| PF1 |? 3 | PF2 | ,则该双曲线的离心率为
A. 3 ? 1
【答案】A





B.

3 ?1 2

C. 6 ?

2

D.

6? 2 2

由 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 得 (OP ? OF2 ) ? (OP ? OF2 ) ? 0 , 即

OP ? OF2 ? 0 , 所 以

2

2

OP ? OF2 ? c , 所 以 △PF1F2 中 , 边 F1F2 上 的 中 线 等 于 |F1F2| 的 一 半 , 可 得 PF1 ? PF2 , 所 以
PF12 ? PF2 2 ? 4c 2 ,又 | PF1 |? 3 | PF2 | ,解得 PF1 ? 3c, PF2 ? c ,又 PF1 ? PF2 ? 3c ? c ? 2a ,所



c 2 ? ? 3 ? 1 ,所以双曲线的离心率为为 3 ? 1 ,选 A. a 3 ?1

15. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知三个数 2,m,

8 构成一个等比数列,则圆锥曲
( )

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 线 m 2
A.

2 2

B. 3

C.

2 或 3 2

D.

6 2 或 2 2

【答案】C

因为三个数 2,m, 8 构成一个等比数列,所以 m 2 ? 2 ? 8 ? 16 ,即 m ? ?4 .若 m ? 4 ,则圆

锥曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,此时为椭圆 ,其中 a 2 ? 4, b 2 ? 2, c 2 ? 4 ? 2 ? 2 ,所以 a ? 2, c ? 3 ,离心 4 2

y 2 x2 c 3 ? ?1 , 此 时 为 双 曲 线 , 其 中 率 为 e? ? . 若 m ? ?4 , 则 圆 锥 曲 线 方 程 为 2 4 a 2
a 2 ? 2, b 2 ? 4, c 2 ? 4 ? 2 ? 6 ,所以 a ? 2, c ? 6 ,离心率为 e ?
16. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知抛物线

c 6 ? ? 3 .所以选 C. a 2

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 与双曲
2 AF ,


x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准 4 5
则 A 点的横坐标为 A. 2 2
【答案】B
2

线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且 AK ? (

B.3 抛物线的焦点为 (

C. 2 3

D.4

p p p , 0) ,准线为 x ? ? .双曲线的右焦点为 (3, 0) ,所以 ? 3 ,即 p ? 6 , 2 2 2

即 y ? 6 x .过 F 做准线的垂线,垂足为 M,则 AK ? 则 y ? x ? 3 代入 y ? 6 x ,解得 x ? 3 .选 B.
2

2 AF ? 2 AM ,即 KM ? AM ,设 A( x, y ) ,

17. ( 【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左焦 a 2 b2

点 F(-c,0) 作圆 x ? y ? a 的切线 , 切点为 E, 延长 FE 交抛物线 y ? 4cx 于点 P,O 为原点 , 若
2 2 2 2

1 OE ? ( OF ? OP ) ,则双曲线的离心率为 2
A.





1? 5 2

B.

3? 3 3

C.

5 2

D.

1? 3 2

【答案】A

【解析】因为 OE ?

1 ( OF ? OP ) ,所以 E 是 F , P 的中点.设右焦点为 F1 ,则 F1 也是抛物线的焦点.连 2

接 PF1 , 则 PF1 ? 2a , 且 PF ? PF1 , 所 以 PF ?

4c 2 ? 4a 2 ? 2b , 设 P( x, y ) , 则 x ? c ? 2a , 则

x ? 2a ? c, 过点 F 作 x 轴的垂线 , 点 P 到该垂线的距离为 2a , 由勾股定理得 y 2 ? 4a 2 ? 4b 2 , 即

4c(2a ? c) ? 4a 2 ? 4(c 2 ? a 2 ) ,解得 e ?

5 ?1 ,选 A. 2

18. (山东省滨州市 2013 届高三第一次 (3 月) 模拟考试数学 (理) 试题) 圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,

若曲线 C 上存在点 P 满足 PF1 ∶ F1 F2 ∶ PF2 =4∶3∶2,则曲线 C 的离心率为





2 3 或 3 2 1 C. 或 2 2
A.
【答案】D 因为

2 或2 3 1 3 D. 或 2 2
B.

PF1 ∶ F1 F2 ∶ PF2 =4∶3∶2,所以设 PF1 ? 4 x, F1 F2 ? 3x , PF2 ? 2 x, x ? 0 .若曲

线 为 椭 圆 , 则 有 PF1 ? PF2 ? 4 x ? 2 x ? 6 x ? 2a, F1 F2 ? 3 x ? 2c , 所 以 椭 圆 的 离 心 率 为

2c 3 x 1 ? ? .若曲线为双曲线,则有 PF1 ? PF2 ? 4 x ? 2 x ? 2 x ? 2a, F1 F2 ? 3x ? 2c ,所以椭圆的 2a 6 x 2 2c 3 x 3 离心率为 D. ? ? .所以选 2a 2 x 2
19. (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理) )双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦 a 2 b2

点分别为 F1,F2,渐近线分别为 l1 , l2 ,点 P 在第一象限内且在 l1 上,若 l2 ⊥PF1, l2 //PF2,则双曲线的离心率 是 A. 5
【答案】B

( B.2 C. 3 D. 2



【解析】双曲线的左焦点 F1 (?c, 0) ,右焦点 F2 (c, 0) ,渐近线 l1 : y ?

b b x , l2 : y ? ? x ,因为点 P 在第 a a

一 象 限 内 且 在 l1 上 , 所 以 设 P ( x0 , y0 ), x0 ? 0 , 因 为 l2 ⊥PF1, l2 //PF2, 所 以 PF1 ? PF2 , 即

1 b b F1 F2 ? c ,即 x0 2 ? y0 2 ? c 2 ,又 y0 ? x0 ,代入得 x0 2 ? ( x0 ) 2 ? c 2 ,解得 x0 ? a, y0 ? b ,即 2 a a b b b ? ? ( ? ) ? ?1 b l a , l2 的 斜 率 为 a , 因 为 2 ⊥PF1, 所 以 a ? c ,即 P(a, b) . 所 以 k PF1 ? a?c OP ?

b 2 ? a (a ? c) ? a 2 ? ac ? c 2 ? a 2 , 所以 c 2 ? ac ? 2a 2 ? 0 , 所以 e 2 ? e ? 2 ? 0 , 解得 e ? 2 , 所以双曲

线的离心率 e ? 2 ,所以选
二、填空题

B.
2

20. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)设 F 是抛物线 C1: y

? 4 x 的焦点,点 A 是

x2 y 2 抛物线与双曲线 C2: 2 ? 2 ? 1(a>0, b>0) 的一条渐近线的一个公共点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离 a b
心率为
【答案】

5

【解析】抛物线的焦点为 F (1, 0) .双曲线的渐近线为 y ? ?

b b x ,不妨取 y ? x ,因为 AF ? x ,所以 a a b b x A ? 1 ,所以 y A ? ?2 ,不妨取 A(1, 2) ,又因为点 A(1, 2) 也在 y ? x 上,所以 ? 2 ,即 b ? 2a ,所以 a a

b 2 ? 4a 2 ? c 2 ? a 2 ,即 c 2 ? 5a 2 ,所以 e 2 ? 5 ,即 e ? 5 ,所以双曲线的离心率为 5 .
21. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

的左、右焦点分别为 F1,F2,线段 F1F2 被抛物线 y ? 2bx 的焦点分成 5:3 两段,则此双曲线的离心率为
2

______.

【答案】

2 3 3

b ? ( ?c ) 5 b 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 ( , 0) , 由 题 意 知 2 ? , c ? 2b , 所 以 b 3 2 c? 2

c 2 ? 4b 2 ? 4(c 2 ? a 2 ) ,即 4a 2 ? 3c 2 ,所以 2a ? 3c ,所以 e ?

c 2 2 3 . ? ? a 3 3

22. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2, m n

且一个焦点与抛物线 x ? 8 y 的焦点相同,则此双曲线的方程为______.
2

x2 【答案】 y ? ?1 3
2

抛物线的焦点坐标为 (0, 2) ,所以双曲线的焦点在 y 轴上且 c ? 2 ,所以双曲线的方程为

y 2 x2 ? ?1, n ?m

即 a ? n ? 0, b ? ? m ? 0 , 所 以 a ?
2 2

n , 又 e?

c 2 ? ? 2 , 解 得 n ?1 , 所 以 a n x2 ? 1. 3

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 4 ?1 ? 3 ,即 ?m ? 3, m ? ?3 ,所以双曲线的方程为 y 2 ?

23. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近 a 2 b2

线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则
【答案】

双曲线的离心率等于______________.

5

双曲线的渐近线为 y ? ?

b 1 b x .直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的斜率为 y ? ? .因为 y ? x 与直 a 2 a

线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,所以

b 1 ? (? ) ? ?1 ,即 b ? 2a .所以 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 5a 2 ,即 e 2 ? 5, e ? 5 . a 2

24 . (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学) 已知抛物线

y 2 ? 4 x 的焦点 F 恰好是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的 右 顶 点 , 且 渐 近 线 方 程 为 y ? ? 3x , 则 双 曲 线 方 程 为 a 2 b2
___________________.

y2 【答案】 x ? ?1 3
2

抛物线的焦点坐标为 (1, 0) ,即 a ? 1 .双曲线的渐近线方程为 y ? ?

b x ? ? 3x ,即 b ? 3 ,所以双曲 a

y2 线的方程为 x ? ?1 3 .
2

25. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)已知点 P 是抛物线 y

2

? 4 x 上的动点,

点 P 在 y 轴 上 的 射 影 是 M, 点 A 的 坐 标 是 (4,a), 则 当 | a |? 4 时 , | PA | ? | PM | 的 最 小 值 是 ____________.
【答案】

a2 ? 9 ?1

2 【解析】 当 x ? 4 时, y ? 4 ? 4 ? 16 ,所以 y ? ?4 ,即 y ? 4 ,因为 | a |? 4 ,所以点 A 在抛物线的外侧,

延 长

PM

交 直 线 x ? ?1 ,

由 抛 物 线 的 定 义 可 知

PN ? PM ? 1 ? PF , 当,三点 A, P, F 共线时 , | PA | ? | PF | 最小 ,此时为 | PA | ? | PF |? AF , 又

焦点坐标为 F (1, 0) ,所以 AF ?
2

(4 ? 1) 2 ? a 2 ? 9 ? a 2 ,即 PM ? 1 ? PA 的最小值为 a 2 ? 9 ,所

以 PM ? PA 的最小值为 a ? 9 ? 1 .
26. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)已知 F 是抛物线 y

? x 2 的焦点,M、N 是该抛物线上

的两点, MF ? NF ? 3 ,则线段 MN 的中点到 x 轴的距离为__________.
【答案】

5 4 1 4 1 ., 过 M,N 分 别 作 准 线 的 垂 线 , 则 4

【 解 析 】 抛 物 线 的 焦 点 为 (0, ) , 准 线 为 y ? ?

MM ' ? MF , NN ' ? NF
PP ' ?

, 所 以

MM ' ? NN ' ? MF ? NF ? 3 , 所 以 中 位 线

MM ' ? NN ' 3 1 3 1 5 ? ,所以中点到 x 轴的距离为 PP ' ? ? ? ? . 2 2 4 2 4 4

27. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)若圆 C 以抛物线 y

2

? 4 x 的焦点为圆心,截此抛物

线的准线所得弦长为 6,则该圆 的标准方程是________________;
【答案】 ( x ? 1)
2

? y 2 ? 13

【 解析】抛物线的焦点为 (1, 0) , 准线方程为 x ? ?1 , 则圆心到准线的距离为 2, 则圆的半径为

6 22 ? ( ) 2 ? 13 ,所以圆的标准方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 13 . 2
28. (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点 a 2 b2

为 F1 , F2 ,上顶点为 A,离心率为

1 ,点 P 为第一象限内椭圆上的一点,若 S ?PF1 A : S ?PF1F2 ? 2 :1 ,则直线 2

PF1 的斜率为______________.

【答案】

3 1 c 1 因为椭圆的离心率为 ,所以 e ? ? ,即 a ? 2c .设直线 PF1 的斜率为 k , ( k ? 0) ,则 5 2 a 2

直 线 PF1 的 方 程 为 y ? k ( x ? c ) , 因 为 S ?PF1 A : S ? PF1 F2 ? 2 :1 , 即 S ?PF1 A ? 2 S ?PF1F2 , 即

kc ? b 2kc 1 1 , 所以 kc ? b ? 4 kc , 解得 b ? ?3kc ,( 舍去 ) 或 b ? 5kc , 又 ? PF1 ? ? 2 ? ? PF1 ? 2 2 k 2 ?1 k 2 ?1
a 2 ? b 2 ? c 2 ,即 a 2 ? 25k 2 c 2 ? c 2 ,所以 4c 2 ? 25k 2 c 2 ? c 2 ,解得 k 2 ?
三、解答题 29. (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)已知定点 A(

3 3 ,所以 k ? . 5 25

p , 0) (p 为常数,p>O),B 为 z 轴负半 2

轴七的一个动点,动点 M 使得 AM ? AB ,且线段 BM 的中点在 y 轴上 (I)求动点脚的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 EF 为曲线 C 的一条动弦(EF 不垂直于 x 轴),其垂直平分线与 x 轴交于点 求 EF 的最大值.
【答案】

T(4,0),当 p=2 时,

30. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知圆的方程为 x

2

? y 2 ? 4 ,过点 M (2, 4) 作圆

的两条切线,切点分别为 A1 、 A2 ,直线 A1 A2 恰好经过椭圆 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 AB 是 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点. a 2 b2

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 垂 直 于 x 轴 的 一 条 弦 , AB 所 在 直 线 的 方 程 为 a2 b2 a2 m

x ? m(| m |? a 且 m ? 0), P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点,直线 AP 、 BP 分别交定直线 l : x ?
于两点 Q 、 R ,求证 OQ ? OR ? 4 .

R

y

A
P Q O

x

B

【答案】

解:(Ⅰ) 观察知, x ? 2 是圆的一条切线,切点为 A1 (2, 0) , 设 O 为圆心,根据圆的切线性质, MO ? A1 A2 , 所以 k A1 A2 ? ?

1 kMO

??

1 , 2
1 ( x ? 2) 2

所以直线 A1 A2 的方程为 y ? ?

线 A1 A2 与 y 轴相交于 (0,1) ,依题意 a ? 2, b ? 1 , 所求椭圆的方程为 (Ⅱ) 椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 4

x2 ? y 2 ? 1 ,设 P ( x 0 , y 0 ), A(m, n), B (m,? n), 4

2 2 则有 x0 ? 4 y0 ? 4 ? 0 , m 2 ? 4n 2 ? 4 ? 0

在直线 AP 的方程 y ? n ?

n ? y0 4 ( x ? m) 中,令 x ? ,整理得 m ? x0 m


(m 2 ? 4) y0 ? (4 ? mx0 )n yQ ? . m(m ? x0 )
同理, yR ?

(m 2 ? 4) y0 ? (4 ? mx0 )n . m(m ? x0 )



2 ① ? ②,并将 y0 ? 1?

1 2 2 1 x0 , n ? 1 ? m 2 代入得 4 4

yQ ? y R ?

2 (m 2 ? 4) 2 y0 ? (4 ? mx0 ) 2 n 2 m 2 (m ? x0 ) 2

1 2 1 (m 2 ? 4) 2 ? (1 ? x0 ) ? (4 ? mx0 ) 2 ? ( m 2 ? 1) (m 2 ? 4)(m ? x ) 2 (m 2 ? 4) 0 4 4 = = = . m 2 (m ? x0 ) 2 m 2 (m ? x0 ) 2 m2

而 OQ ? OR ? ?

m 2 ? 12 12 ?4 ? ?4 ? 16 =1+ 2 , yQ ? ? ? , yR ? ? 2 ? yQ ? yR = 2 m m ?m ? ?m ? m
12 ?3 m2

∵ | m |? 2 且 m ? 0 ,∴ 0 ? m 2 ? 4, ∴ OQ ? OR ? 4

31. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A) )已知两定点 E

??

2, 0 , F

? ?

2, 0 ,动点 P 满足

?

PE ? PF ? 0 ,由点 P 向 x 轴作垂线 PQ,垂足为 Q,点 M 满足 PM ?
(I)求曲线 C 的方程;

?

2 ? 1 MQ ,点 M 的轨迹为 C.

?

(II)若线段 AB 是曲线 C 的一条动弦,且 AB ? 2 ,求坐标原点 O 到动弦 AB 距离的最大值.
【答案】

32. (2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率与等轴双 a 2 b2

曲线的离心率互为倒数关系,直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与以原点为圆心,以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 相切. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 M 是椭圆的上顶点,过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,设两直线的斜率分别为 k1,k2,

且 k1+k2=4,证明:直线 AB 过定点( ?
【答案】

1 ,-l). 2

33( .山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 , a 2 b2

离心率为

2 ,其右焦点为 F ,过点 B (0, b) 作直线交椭圆于另一点 A . 2

(Ⅰ)若 AB ? BF ? ?6 ,求 ?ABF 外接圆的方程;

x2 y 2 1 (Ⅱ)若过点 M (2, 0) 的直线与椭圆 N : 2 ? 2 ? 相交于两点 G 、 H , 设 P 为 N 上一点 , 且满足 a b 3

OG ? OH ? tOP ( O 为坐标原点),当 PG ? PH ?

2 5 时,求实数 t 的取值范围. 3

【答案】解:(Ⅰ)由题意知: c ?

3,e ?

c 2 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 , ? a 2

x2 y 2 解得: a ? 6, b ? 3 ? 椭圆 C 的方程为: ? ?1 6 3
可得: B (0, 3) , F ( 3, 0) ,设 A( x0 , y0 ) ,则 AB ? (? x0 , 3 ? y0 ) , BF ? ( 3, ? 3) ,

AB ? BF ? ?6 ,?? 3x0 ? 3( 3 ? y0 ) ? ?6 ,即 y0 ? x0 ? 3
? 4 3 ? x0 2 y0 2 x0 ? ? x ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? 0 3 由? 6 ,或 ? 3 ?? ? ?y ? x ? 3 ? y0 ? ? 3 ?y ? 3 0 ? 0 0 ? 3 ?
即 A(0, ? 3) ,或 A(

4 3 3 , ) 3 3

①当 A 的坐标为 (0, ? 3) 时, OA ? OB ? OF ? 3 ,? ?ABF 外接圆是以 O 为圆心, 3 为半径的 圆,即 x ? y ? 3
2 2

②当 A 的坐标为 (

4 3 3 , ) 时 , k AF ? 1 , k BF ? ?1 , 所以 ?ABF 为直角三角形 , 其外接圆是以线段 3 3 2 3 2 3 1 15 , , ) ,半径为 AB ? 3 3 2 3 2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3
2 2

AB 为直径的圆,圆心坐标为 (

??ABF 外接圆的方程为 ( x ?

综上可知: ?ABF 外接圆方程是 x ? y ? 3 ,或 ( x ? (Ⅱ)由题意可知直线 GH 的斜率存在.

2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3

设 GH : y ? k ( x ? 2) , G ( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) , P ( x, y )

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得: (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ? 2
由 ? ? 64k ? 4(2k ? 1)(8k ? 2) ? 0 得: k 2 ?
4 2 2

1 (? ) 2

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 5 2 5 2 5 ,? HG ? 即 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 3 3 3

PG ? PH ?

? (1 ? k 2 )[
?k2 ?

64k 4 8k 2 ? 2 20 ? 4 ? ]? (1 ? 2k 2 ) 2 1 ? 2k 2 9

1 1 1 ,结合( ? )得: ? k 2 ? 4 4 2

OG ? OH ? tOP ,? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y )
x1 ? x2 8k 2 y ? y2 1 ?4k ? 从而 x ? ,y? 1 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? 2 t t (1 ? 2k ) t t t (1 ? 2k 2 )
点 P 在椭圆上,?[

8k 2 ?4k ]2 ? 2[ ]2 ? 2 ,整理得: 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k )

即 t2 ? 8 ?

2 6 2 6 8 ,??2 ? t ? ? ,或 ?t ?2 2 3 3 1 ? 2k

34. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 ? 0,1? ,其长 a 2 b2

轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q 、 P ,与椭圆分 别交于点 M 、 N ,各点均不重合且满足 PM ? ?1 MQ, PN ? ?2 NQ (1)求椭圆的标准方程; (2)若 ?1 ? ?2 ? ?3 ,试证明:直线 l 过定点并求此定点.

【答案】解:(1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,焦距为 2c, a2 b2

2 2 2 由题意知 b=1,且 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 (2a) ? (2b) ?( 2 2c)

得 a2 ? 3

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

(2) 由题意设 P (0, m), Q ( x 0 ,0), M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,设 l 方程为 x ? t ( y ? m) , 由 PM ? ?1 MQ 知 ( x1 , y1 ? m) ? ?1 ( x 0 ? x1 ,? y1 ) ∴ y1 ? m ? ? y1?1 ,由题意 ?1 ? 0 ,∴ ?1 ?

m ?1 y1

同理由 PN ? ?2 NQ 知 ?2 ?

m ?1 y2
(*)

∵ ?1 ? ? 2 ? ?3 ,∴ y1 y 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? 0 联立 ?

?x 2 ? 3 y 2 ? 3 2 2 2 2 2 得 (t ? 3) y ? 2mt y ? t m ? 3 ? 0 ? x ? t ( y ? m)
2 4 2 2 2

∴需 ? ? 4m t ? 4(t ? 3)(t m ? 3) ? 0 且有 y1 ? y 2 ?

(**)

2mt 2 t 2m2 ? 3 , y y ? 1 2 t2 ? 3 t2 ? 3
2

(***)

(***)代入(*)得 t 2 m 2 ? 3 ? m ? 2mt 2 ? 0 ,∴ (mt ) ? 1 , 由题意 mt ? 0 ,∴ mt ? ?1 (满足(**)), 得 l 方程为 x ? ty ? 1 ,过定点(1,0),即 P 为定点

35. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 a 2 b2

3 , F1 、 F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点, ?F1 AB 的周长为 4 3 . 3
(I)求椭圆 C 的方程; (II)若椭圆 C 上存在点 P,使得四边形 OAPB 为平行四边形,求此时直线 l 的方程.
【答案】

36. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知椭圆 C 方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,过右焦 a2

点斜率为 1 的直线到原点的距离为

2 . 2

(1)求椭圆方程. (2)已知 A,B 方程为椭圆的左右两个顶点,T 为椭圆在第一象限内的一点, l 为点 B 且垂直 x 轴的直线, 点 S 为直线 AT 与直线 l 的交点,点 M 为以 SB 为直径的圆与直线 TB 的另一个交点,求证:O,M,S 三点共线.

【答案】解:(1)设右焦点为(c,0),则过右焦点斜率为 1 的直线方程为:y=x-c

则原点到直线的距离 d ?

c 2

?

2 2

? c ? 1, a ? 2

? 方程为

x2 ? y2 ? 1 2
2 )(k ? 0)设点T坐标为(x1 , y1)

(2)设直线 AT 方程为: y ? k ( x ?

? x2 2 ? ? y ?1 得:( 1 ? 2k 2)x 2 ? 4 2k 2 ? 4k 2 ? 2 ? 0 ?2 ? y ? k(x ? 2) ?

? x1 x2 ?

4k 2 ? 2 1 ? 2k 2

又 ? A点坐标为( ? 2, 0) ? x1 ? 2 ? 2 2k 2 2 2k , y1 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
? 4 2k 2 2 2k , ) 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

又? B点的坐标为( 2, 0), ? BT ? ( 由圆的性质得: BT ? SM,

所以,要证明 O, M , S 只要证明 BT ? SO,即可

又? S点的横坐标为 2

? S点的坐标为( 2, 2 2k)

? SO ? ( ? 2, ? 2 2k)
? SO.BT ? 8k 2 ? 8k 2 ?0 1 ? 2k 2

即 BT ? SO,又 ? BT ? SM

? O, M , S三点共线
37. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)已知抛物线 y
2

? 4 x 的焦点为 F2,

点 F1 与 F2 关于坐标原点对称 , 直线 m 垂直于 x 轴 ( 垂足为 T), 与抛物线交于不同的两点 P,Q 且

F1 P ? F2Q ? ?5 .
(I)求点 T 的横坐标 x0 ; (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ? 1, ①求椭圆 C 的标准方程; ②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 F2 A ? ? F2 B ,若 ? ? ? ?2, ?1? , 求 TA ? TB 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由题意得 F2 (1,0) , F1 (?1,0) ,设 P ( x0 , y0 ) , Q ( x0 ,? y0 ) ,

? ? ?

2? ?. 2 ? ?

则 F1P ? ( x0 ? 1, y0 ) , F2Q ? ( x0 ? 1,? y0 ) . 由 F1P ? F2Q ? ?5 ,得 x0 ? 1 ? y0 ? ?5 即 x0 ? y0 ? ?4 ,① 又 P( x0 , y0 ) 在抛物线上,则 y0 ? 4 x0 ,② 联立①、②易得 x0 ? 2 (Ⅱ)(ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 , 设椭圆 C 的标准方程为
2 2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

1 1 ?1 则 2 ? 2 a b2
a 2 ? b2 ? 1

③ ④

将④代入③,解得 b 2 ? 1 或 b 2 ? ? 所以 a 2 ? b 2 ? 1 ? 2

1 (舍去) 2

x2 故椭圆 C 的标准方程为 ? y2 ? 1 2
(ⅱ)方法一: 容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1

将直线 l 的方程代入

x2 ? y 2 ? 1 中得: (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 0 2

设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 可得: y1 ? y2 ? ?

2k k ?2
2

⑤ ⑥

y1 y2 ? ?

1 k ?2
2

因为 F2 A ? ? F2 B ,所以

y1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2

将⑤式平方除以⑥式,得:

y1 y2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y1 k ?2 ? k ?2
由 ? ? ? ?2, ?1? ? ? 所以

1 4k 2 5 1 1 1 ? ? ? ? ?0 ? ? + ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 2 k2 ? 2 2 ? 2 ?

0 ? k2 ?

2 7

因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 又 y1 ? y2 ? ?

4(k 2 ? 1) 2k , 所以 , x ? x ? 4 ? k ( y ? y ) ? 2 ? ? 1 2 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2
2 2

故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ?
2

16(k 2 ? 1) 2 4k 2 ? (k 2 ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2

?

16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 28 8 ? 16 ? 2 ? 2 , 2 2 (k ? 2) k ? 2 (k ? 2) 2
1 2 ,所以 0 ? k 2 ? k ?2 7
2

7 1 1 7 1 ? 2 ? ,即 t ? [ , ] , 16 k ? 2 2 16 2 7 17 所以 | TA ? TB |2 ? f (t ) ? 8t 2 ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) 2 ? . 4 2
令t ? 所以

而 t ?[

7 1 169 , ] ,所以 f (t ) ? [4, ]. 16 2 32

所以 | TA ? TB |? [2, 方法二:

13 2 ] 8

【D】1.)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ?1 时, A(1,

2 2 ) , B(1,? ), 2 2

又 T (2,0) ,所以 TA ? TB ? ( ?1,

2 2 ) ? ( ?1, ? ) ?2 2 2

【D】2.)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

? y ? kx ? k ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,显然 y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 可得: x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x ? x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
? 2k 1 ? 2k 2


y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ?
2

? k2 y1 ? y2 ? k ( x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1) ? 1 ? 2k 2
因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 将⑤式平方除以⑥式得:



y1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2

??

1

?

?2?

?4 1 ? 2k 2

由 ? ? ?? 2,?1? 得 ? ? 故?

1 ? 5 ? ? 1 ? ? ?? ,?2 ? 即 ? ? ? 2 ? ?? ,0 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 1

1 ?4 7 ? ? 0 ,解得 k 2 ? 2 2 1 ? 2k 2

因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) , 所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 又 x1 ? x2 ? 4 ?

? 4(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2

故 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ?
2 2

2

16(1 ? k 2 ) 2 4k 2 ? (1 ? 2k 2 ) 2 (1 ? 2k 2 ) 2

4(1 ? 2k 2 ) 2 ? 10(1 ? 2k 2 ) ? 2 10 2 ? ? 4? ? 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k (1 ? 2k 2 ) 2
令t ?

1 7 ,因为 k 2 ? 2 1 ? 2k 2
2

所以 0 ?

1 1 ? 1? ? ,即 t ? ? 0, ? , 2 1 ? 2k 8 ? 8? 5 2 17 ? 169 ? ? ? 4, ?. 2 ? 32 ?

所以 TA ? TB ? 2t 2 ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) 2 ?

所以 TA ? TB ? ? 2,

? 13 2 ? ? ? 8 ? ?
13 2 ] 8

综上所述: | TA ? TB |? [2,

38. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)若椭圆 E1 :

x2 y 2 ? ? 1 和椭圆 E2 : a12 b12

x2 y 2 a b ? 2 ? 1 满足 2 ? 2 ? m(m ? 0) ,则称这两个椭圆相似, m 是相似比. 2 a2 b2 a1 b1

x2 y 2 (Ⅰ)求过( 2, 6) 且与椭圆 ? ? 1 相似的椭圆的方程; 4 2
(Ⅱ)设过原点的一条射线 l 分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于 A 、 B 点(点 A 在线段 OB 上). ①若 P 是线段 AB 上的一点,若 OA , OP , OB 成等比数列,求 P 点的轨迹方程; ②求 OA OB 的最大值和最小值.

【答案】解:(Ⅰ)设与

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 相似的椭圆的方程 2 ? 2 ? 1 . a b 4 2

?2 2 ? ? ?a b 则有 ? ? 4 ? 6 ?1 ? ? a 2 b2
解得 a ? 16, b ? 8 .
2 2

所求方程是

x2 y 2 ? ?1 16 8

(Ⅱ) ① 当射线 l 的斜率不存在时 A(0, ? 2), B(0, ?2 2) ,
2 设点 P 坐标 P(0, y0 ) ,则 y0 ? 4 , y0 ? ?2 .即 P(0, ?2 )

当射线 l 的斜率存在时,设其方程 y ? kx ,P( x, y ) 由 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 则

? y1 ? kx1 ? 2 ? x1 y12 ?1 ? ? ?4 2

4 ? 2 x1 ? ? ? 1 ? 2k 2 得? 2 ? y 2 ? 4k 1 ? 1 ? 2k 2 ?
同理 | OB |?

?| OA |?

2 1? k 2 1 ? 2k 2

4 1? k 2 1 ? 2k 2

y2 8(1 ? 2 ) 2 2 8(1 ? k 2 ) y 2 2 x ? 8( x ? y ) , ? 又点 P 在 l 上,则 k ? ,且由 x ? y ? y2 1 ? 2k 2 x2 ? 2 y 2 x 1? 2 2 x
即所求方程是 又

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

(0, ?2 )适合方程,

x2 y 2 故所求椭圆的方程是 ? ?1 8 4
② 由 ① 可 知 , 当 l 的 斜 率 不 存 在 时 , | OA | | OB |? 时, | OA | | OB |?

2 2 2 ?4 , 当 l 的 斜 率 存 在

8(1 ? k 2 ) 4 , ? 4? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

? 4 ?| OA | | OB |? 8 ,
综上, | OA | | OB | 的最大值是 8,最小值是 4
39 .( 山 东 省 枣 庄 市 2013 届 高 三 3 月 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 椭 圆

C:

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,⊙ O : x 2 ? y 2 ? b 2 ,点 A,F 分别是椭圆 C 的左顶点和左焦点,点 P 是 ⊙O 2 a b

上的动点. (1)若 P (?1, 3) ,PA 是⊙O 的切线,求椭圆 C 的方程; (2)是否存在这样的椭圆 C,使得

| PA | 恒为常数?如果存在,求出这个数及 C 的离心率 e;如果不存在, | PF |

说明理由.

【答案】

40. (山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)已知椭圆 C 的离心率 e ?

3 ,长轴 2

的左、右端点分别为 A1 (?2, 0), A2 (2, 0) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 R , Q 两点,直线 A1 R 与 A2Q 交于点 S .试问:当 m 变化时,点 S 是 否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
【答案】

41. ( 【解析】 山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 ) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,

离心率为

1 ,短轴长为 4 3 . 2 1 . 2

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)直线 x=2 与椭圆 C 交于 P、 Q 两点,A、 B 是椭圆 O 上位于直线 PQ 两侧的动点,且直线 AB 的斜率为 ①求四边形 APBQ 面积的最大值; ②设直线 PA 的斜率为 k1 ,直线 PB 的斜率为 k2 ,判断 k1 + k2 的值是否为常数,并说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

由已知 b= 2 3

离心率 e ?

c 1 2 ? , a ? b 2 ? c 2 ,得 a ? 4 a 2

所以,椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 16 12

(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点 P、Q 的坐标为 P (2,3) , Q(2,?3) ,则 | PQ |? 6 , 设 A ? x1 , y1 ?, B( x 2 , y 2 ),直线 AB 的方程为 y ? 得: x 2 ? tx ? t 2 ? 12 ? 0 . 由△>0,解得 ? 4 ? t ? 4 ,由根与系数的关系得 ? 四边形 APBQ 的面积 s ? 故当 t ? 0, S max ? 12 3

x2 y2 1 ? ?1 x ? t ,代人 16 12 2

? x1 ? x 2 ? ?t 2 ? x1 x 2 ? t ? 12

1 ? 6 ? x1 ? x2 ? 3 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 3 48 ? 3t 2 2
②由题意知,直线 PA 的斜率 k1 ?

y1 ? 3 y ?3 ,直线 PB 的斜率 k 2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

1 1 x1 ? t ? 3 x2 ? t ? 3 y1 ? 3 y2 ? 3 2 2 则 k1 ? k 2 ? ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 1 1 ( x1 ? 2) ? t ? 2 ( x2 ? 2) ? t ? 2 t?2 t?2 =2 ?2 ?1? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
=1 ?

? x1 ? x 2 ? ?t (t ? 2)( x1 ? x2 ? 4) ,由①知 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? x1 x 2 ? t ? 12
(t ? 2)(?t ? 4) ? t 2 ? 2t ? 8 ? 1 ? ? 1?1 ? 0 t 2 ? 12 ? 2t ? 4 t 2 ? 2t ? 8

可得 k1 ? k2 ? 1 ?

所以 k1 ? k 2 的值为常数 0
42. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) 的两焦点 a 2 b2
2

与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线 x ? y ? b ? 0 是抛物线 y ? 4 x 的一条切线. (1)求椭圆的方程; (2)过点 S (0, ? ) 的动直线 L 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径圆恒过点 T?若存在求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】

1 3

43 . ( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 3 月 诊 断 性 测 试 数 学 理 试 题 ) 设 A(x1, y1),b(x2, y2) 是 椭 圆

C:

? x 2 y2 ? y2 x2 3 ? x1 y1 ? ? m ? , , n ? , ? ? ? 1 (a>b>0) 上两点 , 已知 ,若 m·n=0 且椭圆的离心率 e= , ? ? 2 2 ? ? b a 2 a b ?b a? ? ?

短轴长为 2,O 为坐标原点. (1)求椭圆的方程; (2)试问△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
【答案】

44 . ( 山 东 省 临 沂 市 2013 届 高 三 5 月 高 考 模 拟 理 科 数 学 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆

C:

x2 y 2 3 ,且椭圆 C 上一点 N 到点 Q(0,3)的距离最大值为 4,过点 M(3,0) ? 2 ? 1(a>b≥1) 的离心率为 e ? 2 a b 2

的直线交椭圆 C 于点 A、B. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? tOP (O 为坐标原点),当 AB < 3 时,求实数 t 的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)∵ e

2

?

c2 a 2 ? b2 3 ? ? , ∴ a 2 ? 4b 2 , a2 a2 4

则椭圆方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1, 即 x 2 ? 4 y 2 ? 4b 2 . 2 4b b

设 N ( x, y ), 则

NQ ? ( x ? 0) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4b 2 ? 4 y 2 ? ( y ? 3) 2
? ?3 y 2 ? 6 y ? 4b 2 ? 9 ? ?3( y ? 1) 2 ? 4b 2 ? 12
当 y ? ?1 时, NQ 有最大值为 4b 2 ? 12 ? 4, 解得 b 2 ? 1, ∴ a 2 ? 4 ,椭圆方程是

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), P ( x, y ), AB 方程为 y ? k ( x ? 3),

? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 2 ? ? y ? 1, ?4
整理得 (1 ? 4k ) x ? 24k x ? 36k ? 4 ? 0 .
2 2 2 2

由 ? ? 24k k ? 16(9k ? 1)(1 ? 4k )>0 ,得 k 2< .
2 4 2 2

1 5

x1 ? x2 ?

24k 2 36k 2 ? 4 , x ? x ? . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

∴ OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y ), 则 x ? ( x1 ? x2 ) ?

1 t

24k 2 , t (1 ? 4k 2 )

1 1 ?6k y ? ( y1 ? y2 ) ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 6k ? ? . t t t (1 ? 4k 2 )

(24k 2 ) 2 144k 2 ? ? 4, 由点 P 在椭圆上,得 2 t (1 ? 4k 2 ) 2 t 2 (1 ? 4k 2 ) 2
化简得 36k ? t (1 ? 4k ) ①
2 2 2

又由 AB ? 1 ? k

2

x1 ? x2 < 3,

2 即 (1 ? k 2 ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? <3, 将 x1 ? x2 , x1 x2 代入得

? 242 k 4 4(36k 2 ? 4) ? (1 ? k ) ? ? <3, 2 2 1 ? 4k 2 ? ? (1 ? 4k ) ?
2

化简,得 (8k ? 1)(16k ? 13)>0,
2 2

则 8k 2 ? 1>0, k 2> , ∴ <k 2< ②

1 8

1 8

1 5

36k 2 9 由①,得 t ? ? 9? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2

联立②,解得 3<t 2<4, ∴ ?2<t< ? 3 或 3<t<2.
45. (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)

已知 F1,F2 分别为椭圆 C1 :

x2 a
2

?

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的上下焦点,其 F1 是抛物线 C2 : x 2 ? 4 y 的焦点,点 M b2
3 . 5

是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且|MF2|=

(1)试求椭圆 C1 的方程; (2)与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 相切的直线 l : y ? k ( x ? t )(t ? 0) 交椭圆于 A,B 两点,若椭圆上一点 P 满足
2 2

OA ? OB ? ? OP ,求实数 ? 的取值范围.
【答案】

x2 y 2 46. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的 a b
离心率为

3 ,短轴一个端到右焦点的距离为 3 . 3

(1)求椭圆 C 的方程: (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为
【答案】

6 ,求△AOB 面积的最大值. 2

47. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)如图,已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0,2),与 x 轴正

x2 y 2 半轴相交于两点 M,N(点 M 必在点 N 的右侧),且 MN ? 3 椭圆 D: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距等于 a b

2 ON ,且过点 ( 2,

6 ) 2

( I ) 求圆 C 和椭圆 D 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 D 与 x 轴负半轴的交点为 P,若过点 M 的动直线 l 与椭圆 D 交于 A、B 两点, ?ANM ? ?BNP 是否恒成立?给出你的判断并说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)设圆 C 的半径为 r ,由题意,圆心为 ( r , 2) ,

骣 3÷ 25 因为 | MN |= 3, 所以r = ? + 22 = , ÷ ? ÷ ? 桫 2 4
2

2

故圆 C 的方程为 ( x -

5 2 25 .① ) + ( y - 2) 2 = 2 4

0), M (4, 0), 在①中,令 y = 0得x = 1或x = 4, 所以N (1,
即 2c = 1, c = 1

2 3 + 2 = 1, 消去a得2b4 - 5b2 - 3 = 0, 2 a 2b 1 2 解得 b 2 = 3或b 2 = - (舍去),则 a = 4, 2
又 故椭圆 D 的方程为 (Ⅱ)恒有 ? ANM

x2 y2 + = 1. 4 3

BNP 成立,

Q 点 M 在椭圆的外部, \ 直线 l 可设为 y = k ( x - 4) .
ì ? x2 y2 ? + =1 * 由? 得(3 + 4k 2 ) x 2 - 32k 2 x + 64k 2 - 12 = 0, ○ í 4 3 ? ? ? ? y = k ( x - 4)
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 则 x1 + x2 =

32k 2 64k 2 - 12 , x x = 1 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2

因为 k AN + k BN =

y1 y2 k ( x1 - 4) k ( x2 - 4) + = + x1 - 1 x2 - 1 x1 - 1 x2 - 1

= k

( x1 - 4)( x2 - 1) + ( x2 - 4)( x1 - 1) ( x1 - 1)( x2 - 1) 5( x1 + x2 ) + 8]

=

k ?[2 x1 x2 ( x1 - 1)( x2 - 1)

=

轾 k 2(64k 2 - 12) ?犏 2 ( x1 - 1)( x2 - 1) 犏 臌 3 + 4k

160k 2 +8 = 0 3 + 4k 2

所以 k AM = - k BN , 即? ANM 当 x1 = 1或x2 = 1 时, k =

BNP

1 * , D = 0 ,不合题意. , 此时,对方程○ 2 综上,过点 M 的动直线 l 与椭圆 D 交于 A, B 两点, ? ANM BNP 恒成立

y 2 x2 48. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)已知椭圆 C1 : ? ? 1 ,椭圆 C2 以 16 4
C1 的短轴为长轴,且与 C1 有相同的离心率. (I)求椭圆 C2 的方程; (II)设直线 l 与椭圆 C2 相交于不同的两点 A、 B,已知 A 点的坐标为 ? ?2, 0 ? ,点 Q ? 0, y0 ? 在线段 AB 的垂 直平分线上,且 QA ? QB ? 4 ,求直线 l 的方程.
【答案】

49. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)已知椭圆

x2 y2 2 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

(2,2) 且过点 .
(1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 k AC ? k BD ? ? (i) 求 OA ? OB 的最值.

b2 , a2

(ii) 求证:四边形 ABCD 的面积为定值;

y
C B O D A

x

第 22 题图
【答案】解:(1)由题意 e ?

c 2 4 2 , 2 ? 2 ? 1 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 , ? a 2 a b

解得 a ? 8, b ? 4 ,椭圆的标准方程为
2 2

x2 y2 ? ?1 8 4

(2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 联立 ?

? y ? kx ? m 2 2 2 ,得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 2 2 x ? 2 y ? 8 ?
----------①

2 ?? (4km) ? 4(1 ? 2k 2 )(2m 2 ? 8) ? 8 ?8k 2 ? m 2 ? 4 ? ? 0

? 4km ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 ? 2 8 ? x1 x2 ? 2m ? 2 1 ? 2k ?
? kOA ? kOB ? ? b2 1 ?? 2 a 2
? y1 y2 1 ?? x1 x2 2

1 1 2m 2 ? 8 m2 ? 4 ? y1 y2 ? ? x1 x2 ? ? ? ? ? ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

y1 y 2 ? (kx1 ? m)(kx 2 ? m) ? k 2 x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m 2
2m 2 ? 8 ? 4km m 2 ? 8k 2 2 ? km ?m ? =k 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

??

m 2 ? 4 m 2 ? 8k 2 ? ? ?(m 2 ? 4) ? m 2 ? 8k 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

? 4k 2 ? 2 ? m 2
(i) OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2

?

2m 2 ? 8 m 2 ? 4 m 2 ? 4 4k 2 ? 2 ? 4 4 ? ? ? ? 2? 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2

??2 ? 2 ? 4 ? OA ? OB ? 2
当 k=0(此时 m 2 ? 2 满足①式),即直线 AB 平行于 x 轴时, OA ? OB 的最小值为-2. 又直线 AB 的斜率不存在时 OA ? OB ? 2 ,所以 OA ? OB 的最大值为 2 (ii)设原点到直线 AB 的距离为 d,则

S ?AOB ?

1 1 |m| | AB | ?d ? 1 ? k 2 ? | x2 ? x1 | ? 2 2 1? k 2
2

|m| | m | ? ? 4km ? 2m 2 ? 8 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? ? ?4 2 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 | m | 64k 2 16(m 2 ? 4) ? ? ? 2 4k 2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 2 2 2 m m

? S四边形ABCD ? 4 S ?AOB ? 8 2 .
即,四边形 ABCD 的面积为定值
50. (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理) )(本小题满努 13 分)

已知椭圆 C 的中心为原点,点 F(l,0)是它的一个焦点,直线 l 过点 F 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且当直线 l 垂直于 x 轴时 OA · OB =(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 在直线 x=3 上,是否存在斜率为 k 的直线 l ,使得△ABP 为正三角形,若存在,求出直线 l 的方 程;若不存在,说明理由.
【答案】

1 3


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