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空间向量与立体几何学案2(陈学俊整理)


兴化市文正实验学校高二数学学案(选修 2-1)

第三章 空间向量与立体几何

2012/12/5

§ 3.1.3

空间向量基本定理

学习目标:1.掌握空间向量基本定理及其推论; 2.理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示; 3.在简单问题中,会选择适当的基底

来表示任一空间向量. 学习重点:空间向量基本定理. 学习难点:理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示 学习过程: 一、问题情境 平面向量基本定理表明,平面内任一向量可以用该平面的两个不共线向量来线性表示, 那么,空间任一向量能用三个不共线的向量来线性表示吗? 二、建构数学 1.复习平面向量基本定理的内容及其理解; 平面向量基本定理:

e2

a

e1

2.类比平面向量基本定理,得出空间向量基本定理. (1)空间向量的基本定理:

(2)若三向量 表示,我们把{
?? e1

?? e1



?? ? e2



?? e3



,那么空间的任一向量都可由 ,
?? e1

?? e1



?? ? e2



?? e3

线性 .



?? ? e2



?? e3

}叫做



?? ? e2



?? e3

叫做

(3)空间任意三个

的向量都可以构成空间的一个基底. ,那么这个基底叫做 时,称这个基底为 ,特别 ,通常

(4)如果空间一个基底的三个基向量 地,当一个正交基底的三个基向量都是 用 表示. 空间向量的基本定理的推论:

1

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第三章 空间向量与立体几何

2012/12/5

三、数学运用 例 1 如图,在正方体 OADB-CA?D?B?中,点 E 是 AB 与 OD 的交点,M 是 OD 与 CE 的交点,
??? ? ??? ? ???? ? ???? ? ???? O A , O B , O C 表示 O D ' 和 O M . 试分别用向量

B’ C ’ M B E O A A’

D ’

D

例 2 如图,已知空间四边形 OABC,其对角线 OB,AC,M,N,分别是对边 OA,BC 的中
??? ? ??? ? ???? ???? M G ? 2 G N ,用基底向量 O A , O B , O C 表示向量 O G . 点,点 G 在线段 MN 上,且

O

M C A B
四、课堂练习. (1)作业:课后练习

G N

P88
?

1,2

(2)设 x ? a ? b , y ? b ? c , z ? c ? a ,且 a , b , c 是空间的一个基底,给出下列向量组: ① a ,b , x 组是

?

?

?

?

② x, y, z

?

?

③ b, c, z

?

④ x , y , a ? b ? c 其中可以作为空间的基底的向量

?

?

2

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(3)如图,空间平移△ABC 到△A1B1C1,连接对应顶点,已知 且 M 是 BC1 的中点,N 在 AC1 上,
???? ???? ? A N= 2 N C1

???? ? A A1= a
? ?

??? ? ? ???? ? A B= b , A C = c , , ???? ?

,试用向量 a

, b , c 表示 M N .

五、课堂小结 1.空间向量基本定理及其推论; 2.空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示; 六、布置作业 课本 P89 3 ,4 ,5

3

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第三章 空间向量与立体几何

2012/12/5

§ 3.1.4

空间向量的坐标表示

学习目标:1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算; 2.会根据向量的坐标判断两个空间向量平行 学习重点:根据向量的坐标判断两个空间向量平行 学习难点:空间向量的坐标运算. 学习过程:

一、

问题情境

在“平面解析几何初步”一章中,我们已经学习过空间直角坐标系,并能用坐标表示空 间任意一点的位置.那么, 1. 如何用坐标表示空间向量? 2. 怎样进行空间向量的坐标运算?

二、学生活动
1.复习平面向量的坐标表示,2.类比思考得出空间向量的坐标表示. 设 a ? ( a 1 , a 2 ), b ? ( b1 , b 2 ), A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则
? ?

(1) a ? b ?
?a ?
?

?

?

,a ? b

?

?

?

(2) a // b ( b (3) A B
??? ?

?

? ?

? 0) ?



??? ? ??? ? ? OB ? OA ?

思考:你能由上述平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗?

三、建构数学
设 a ? ( a 1 , a 2 , a 3 ), b ? ( b1 , b 2 , b 3 ), A ( x1 , y 1 , z 1 ), B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则
? ?

(1) a ? b ?
?a ?
?

?

?

,a ? b

?

?

?

(2) a // b ( b (3) A B
??? ?

?

? ?

? 0) ?



??? ? ??? ? ? OB ? OA ?

4

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第三章 空间向量与立体几何

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例1

已知 a

? (1 , ? 3 , 8 ), b ? ( 3 ,10 , ? 4 ) ,求 a ? b , a ? b , 3 a



例 2 已知空间四点 A ( ? 2 , 3 ,1), 形.

B ( 2 , ? 5 , 3 ), C (10 , 0 ,10 )

和 D ( 8 , 4 , 9 ) ,求证:四边形 ABCD 是梯

例 3、设 a ? (1, 5 , ? 1), b ? ( ? 2 , 3, 5 ), 若 k a ? b ∥ a ? 3 b ,求 k

?

?

?

?

?

?

四、课堂练习:

(1) 91 练习 1-5
(2)与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是____________________ (3)若 a ? ( 2 x , 1, 3 ) , b ? (1, ? 2 y , 9 ) ,如果 a , b 为共线向量,则 x ?
? ?

P

?? ?

y ?

(4)已知 A(1,0,0) ,B(0,10,0) ,C(0,0,2) ,点 D 满足 DB∥AC,DC∥AB,求点 D 的坐标.

五、课堂小结 六、布置作业 课本 P91,6,7

5


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