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幂的运算,对数式的运算,幂函数,指数函数,对数函数的图像及性质

时间:2012-11-01


1:幂的运算: 曹更良:电话:13240996625 邮箱:a123caogengliang@163.com. qq:1481116844
阅读下列材料,解答有关问题. 初中我们已经学习了幂的运算:知道 2×2×2=23,按照这个运算法则,我们可以得到: 23×22=2×2×2×2×2=25. 所以:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。am?an=am+n. 25÷22=

(2×2×2×2×2)÷(2×2)=2×2×2=23, 所以:同底数幂相除,底数不变,指数相减。am÷an=am-n. 根据上述运算法则: 22÷25=(2×2)÷(2×2×2×2×2)= 所以有:a-p=
1 a
p

1 8

=

1 2
3

=2-3.

(a ? 0)

23÷23=(2×2×2)÷(2×2×2)=1=20. 根据上述法则得到: a0=1(a?0) 根据上述法则 (23)2=(23)×(23)=26. 所以有:(an)m=amn.(a>0)
3 3

( 2 2 )2=23,再根据根式的运算得: 2 2 = 2 3 .
m
m n 根据上述可知: a n = a (a>0,m,n?N*,n>1)

所以: a

?

m n

=
n

1 a
m

(a>0,m,n?N*,n>1).

24?34=2×2×2×2×3×3×3×3=(2×3)4 an?bn=(ab)n an÷bn=(
2 =2
2

a b

)n

( ? 2 ) =2
2

a
3

2

=

2 =2

3

3

( ? 2 ) = -2
3

n

a

n

=
n

? a?
n

=

计算下列各式的值:
? 1? ⑴ (2 ) +2 ? ? 2 ? 5 ? 4?

3

?

1 2

0

-2

- ? 0 . 01 ? 2 ,
4 3 1

1

⑵ ? 0 . 064 ?
? 1 2

?

1 3

-(-

1 8

) + [( ? 2 ) ]
0
3

?

+16

-0.75

+ | ? 0 . 01 | 2 .

?1? ⑶? ? ?4?

? 1 ? +? ? ? 27 ?

?

1 3

-6250.25=?

⑷ 5?2 6 + 7?4 3 - 6?4 2 .
1

⑸: ? 0 . 09 ?

?

1 2

? 7 ?2 -(- ) + ? 2 ? -( 7 ? 9?

1

-2

2 ?1)

0

2:在直角坐标系中分别画出下列幂函数的图像,思考函数的性质.
1

⑴ y=x ,⑵y=x ⑶ y=x ,⑷ y=x ,⑸
1

0

2

3

y= x 2 ,⑹ y=x-1. )

3:已知 a 2 ? a A

?

1 2

? 3 ,则 a+a-1 的值为(

7 B 9 C

6 D

3

4:已知 f(x)=(a-3)x(a+1)(a-2),当 a 为何值时,f(x)为:⑴常数;⑵幂函数;⑶正比例函数;⑷反比例函 数;⑸二次函数. 5:已知幂函数 y= x 出它的图像. 指数函数,对数函数的图像和性质. 一:指数函数 1:在同一直角坐标系内画出下列函数的图像,明确这四个函数图像中⑴与⑵ ⑶与⑷关于 ---------------轴对称。 ⑴ y=2x ⑵ y=(
1 2
m ?2 m ?3
2

(m?Z)的图像与 x,y 轴都无公共点,且关于 y 轴对称,求 m 的值,且画

)x ⑶

y=3x



y=(

1 3

)x

2:观察函数图像,指出指数函数的基本性质。 函 数 性 y=ax( a>1) 定义域 值域 过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1。 y=ax(0<a<1)



在(-?,+?)上是-----------函数

在(-?,+?)上是-------------函数

2:思考下列问题: ⑴ 函数 y=ax-1-1(a>0,a ? 1)图像过定点-----------------.
x ⑵ 解不等式 2
2

?2 x?2

>1。

⑶求函数 y= 3 ⑷设 a=4 ,b=8 A
0.9

x ?2

2

? 9 的定义域。
? 1 .5

0.48

?1? ,c= ? ? ?2?



(

) a>c>b ) D 不是奇函数也不

c>a>b B b>a>c C a>b>c D
2 2 ?1
x

⑸F(x)=(1+

)?f(x)(x ? 0)是偶函数,且 f(x)不恒等于 0 ,则 f(x)( 是偶函数 C 可能是奇函数也可能是偶函数

A 是奇函数 是偶函数。
x

B

?1? ⑹函数 y=2 的图像与 y= ? ? 的图像关于 ( ?2?

x

) 直线 x=1 对称.

A x 轴对称 B y 轴对称 C 原点对称 D
?1? ⑺ 函数 y= ? ? ?3?
x ? 2 x ?1
2

的值域为______________________.
1 4 ?1
x

⑻ 若函数 f(x)=a+
4
x x

是奇函数,则 a=_________________.

3:设 f(x)=

4 ?2

⑴求:f(x)+f(1-x)=?; ⑵求和式 f(
1 2013

)+f(

2 2013

)+f(

3 2013

)+?+f(

2012 2013

).

4:画出函数 y=|3x-1|的图像. 5:已知 f(x)=a2x+b 的图像过点(
1 2

,3)和点(0,2) 。

⑴求 f(x)的解析式; ⑵画出 f(x)函数的图像; ⑶指出图像可由哪个指数函数通过怎样的变换得到。 6:已知函数 f(x)=
2 ?1
x

2 ?1
x

⑴判断函数 f(x)的奇偶性; ⑵证明 f(x)在区间(-?,+?)上是增函数。 7:已知函数 f(x)=(
1 2 ?1
x

?

1 2

)x

⑴求函数 f(x)的定义域; ⑵判断的奇偶性; ⑶求证:f(x)>0。
?2? 8:求函数 y= ? ? ?5?
? x ?4x
2

的单调区间。

9:设 a>0,函数 f(x)=

e

x

?

a e
x

是 R 上的偶函数。

a

⑴求 a 的值; ⑵ 证明:f(x)在(0,+?)上是增函数。 10:求函数 y=9x+2×3x-2 的值域。 二:对数函数 1:在同一直角坐标系内画出下列函数的图像,明确这四个函数图像中⑴ 与⑵,⑶与 ⑷关于 ---------------轴对称。 ⑴ y= log 2 x ⑵ y= log 1 x ⑶
2

y= log 3 x



y= log 1 x
3

2:观察函数图像,指出指数函数的基本性质。 函 数 性 y= lo g a x ( a>1) 定义域 值域 过定点(1,0) ,即 x=1 时,y=0。 质 在(0,+?)上是-----------函数 在(0,+?)上是-------------函数 y= lo g a x (0<a<1)

2:思考下列问题: ⑴ 函数 y= log a ( x ? 1) ? 1 (a>0,a ? 1)图像过定点-----------------. ⑵ 解不等式
l o g x( ? 1
2 2
2

x2?

? ) 。0 2

⑶求函数 y= log 2 ( x ? 2 x ? 1) ?1 的定义域。 ⑷求函数 y= log 2 ( x ? 2 x ? 3 ) 的定义域和值域及单调区间。
2

⑸求函数 y= log 2 ( x ? 2 x ? 3 ) 的定义域和值域及单调区间。
2

⑹ 已 知 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 ( -? , 0] 上 是 增 函 数 , 设 a=f(ln b=f( log 4 3 ),c=f(0.41.2),则 a,b,c 的大小关系是-------------。

1 3

),

⑺已知定义域为 R 的函数 f(x)为奇函数,且满足 f(x+2)=-f(x),当 x?[0,1]时,f(x)=2x-1, 求 f( log
1 2

24 )。

⑻已知-3≤ log

1 2

x ≤?

3 2

,求函数 f(x)= log

x
2

? log

x
2

的最大值与最小值。

2

4

2:阅读下面材料,并解答下列问题: 在形如 ab=N 的式子中,我们已经研究过两种情况:①已知 a 和 b, 求 N 的值,这是乘方运算;②已知 b 和 N,求 a,这是开方运算,现 在我们研究第三种情况:已知 a 和 N,求 b,我们把这种运算叫作对 数运算。 定义:如果 ab=N(a>0,a ? 1,N>0) ,则 b 叫作以 a 为底的 N 的对数, 记作 logaN=b。 例如:因为 23=8,所以 log28=3;因为 2-3= ,所以 log2 1 =-3。
8
8

1

⑴根据定义计算: ①
log 3 81

=--------;②

l o3g 3

=---------;③
a
log
a

l o31 g

=-----------;④ 如 果

logx16=4,那么 x=----------。明确:

M

?

____________.

⑵设 ax=M,ay=N 则 logaM=x,logaN=y(a>0,a ? 1,M,N 均为正数) 。 用 logaM,logaN 的代数式分别表示 logaMN 及 loga M ,并说明理由。(泰
N

州市中考题) ⑶求证: log
⑷求证: log ⑸求证: log ⑹求证: log
1 a
n

b

c

=

log log

a a

c b
M

(b>0,b?1,a>0,a?1)

1
a

= - log

M

a

M ? ? log
n m

a

M

a

m

b =

log

a

b.

设 a= log A

1
1 3

,b= log

2
1 3

,c= log

4
3

,则 a,b,c 的大小关系是( b<c<a

)

2

3

3

a<b<c B c<b<a C b<a<c D

计算: ⑴ 2( lg ⑵ 2?lg5+
2

2 ) +lg

2

2 ?lg5+

(lg

2 ) ? lg 2 ? 1 .
2

2 3

lg8+lg5?lg20+lg22
1
2

⑶ 27 3 - 2 ⑷

log

2

3

? log

+2 lg(

3?

5 ?

3?

5)

8

lg 20 ? log

100

25 ? --------------------------.

⑸: log 2 25 ? log 3 8 ? log 5 9 ? __________ 设 4a=5b=100,求 已知 log 已知 log
2
a

.

1 a

?

2 b

的值.

? 1 ,试确定 a 的范围.
5 ? b ,则 log
45 =-------------.

3
9 =a, log
18
36

18

已知 log 6 3 ? 0 . 6131 , log 6 x ? 0 . 3869 ,则 x=-------------. 对于任意实数 x,符号[x]表示 x 的整数部分,即[x]“是不超过 x 的最大整数”。从[x]的定义 可得下列性质:x-1<[x]≤x<[x+1],与[x]有关的另一函数是{x},它的定义是{x}=x-[x]称为 x 的“小数部分”这也是一个最常用的函数 问题: ⑴根据上文可知:{x}的取值范围是___________,[-5.2]=____, {-5.2}=________,[4.3]=_____,{4.3}=______ ⑵求 [ log 2 1 ]+[ log 2 2 ]+[ log 2 3 ]+[ log 2 4 ]+……[ log 2 1024 ]的值. (2012 年成都模拟题)设函数 f(x),g(x)的定义域分别为 F,G 且 F ? G,若对任意的 x?F,都有
?

?1? g(x)=f(x),则称 g(x)为 f(x)在 G 上的一个延拓函数.已知函数 f(x)= ? ? ( x ? 0 ) ,若 g(x)为 ?2?

x

f(x)在 R 上的一个延拓函数,且 g(x)是偶函数,则函数 g(x)的解析式为( A g(x)= 2
x
|x|

)

B g(x)= log 2 | x |

C g(x)= ?

?1? ? ?2?

|x|

D

g(x)= log

1 2

|x|

若曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是----------------------当 x?(0,+ ? )时,幂函数为 y=(m2-m-1)x-5m-3 减函数,则实数 m 的值为( ) A m=2 B m= -1 C m=-1 或 m=2 D m?
1? 2 5

给出下列函数:

⑴ y=

1 x
3

;⑵ y=3x-2



y=x4+x2 ⑷

2 3 y= x

其中是幂函数的有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

① x1f(x1)>x2f(x2)

② x1f(x1)<x2f(x2) ③

f ( x1 ) x1

?

f ( x2 ) x2



f ( x1 ) x1

?

f ( x2 ) x2

其中正确结论的序号是( ) A ①② B ①③ C ②④
?i

D ②④

如图所示为幂函数 y= x ( i ? 1, 2 , 3 , 4 ) 在第一象限内的图像,则按从小到大的顺序排列为 -------------.

2

-10

-5

5

-2

下列命题中,正确命题的序号是----------①当 ? =0 时,函数 y= x 的图像是一条直线;② 幂函数的图像都经过点(0,0)和点(1,1) ③ 若幂 函数 y= x 是奇函数,则 y= x 是定义域上的增函数 ④ 幂函数的图像不可能出现在第四象 限. (2012 年上海模拟题) 已知 ( 0 . 7
2 3
1 .3

?

?

?

)

m

? (1 . 3

0 .7

) ,求 m 的取值范围.

m

已知 x 3 ? x 5 ,求 x 的取值范围. 已知幂函数 y= x
m ?2 m ?3
2

(m?N*)的图像关于 y 轴对称,且在(0,+ ? )上是减函数,求满足

? a ? 1 ?? 3

m

? (3 ? 2 a )

?

m 3

的 a 的取值范围.
1

给出幂函数 fi(x)(i=1,2,3,4),其中 f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)= x 2 ,f4(x)=x-1,令 gi(x)=fi(x)+2x(i=1,2,3,4)

则在函数 gi(x)(i=1,2,3,4)中,具有两个零点的函数一共有( A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

)

已知 f(x)=4x log 2 3 +233,则 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)的值等于------------------.
lg 3 ? lg 9 ? 1 ? (lg
2

计算:

27 ? lg 8 ? lg

1000 )

lg 0 . 3 ? lg 1 . 2

=?


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