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高考文科立体几何证明专题


立体几何专题
1. 如图 4, 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D, E 分别是 AB, AC 边上的点,AD ? AE ,

F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥

A ? BCF ,其中 BC ?

2 . 2

r />(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
A

A

G

E

D

G

E

D F C

B

F 图 4

C
B 图 5

【解析】 (1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

?

AD AE ? ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中 DB EC
DE ? 平面 BCF ,

也成立,? DE / / BC ,

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①, BF ? CF ? 在三棱锥 A ? BCF 中, BC ?

1 . 2

2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ② 2

BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? ? 3 2 ? 3 324
【解析】这个题是入门级的题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平 面几何的内容.

1

2.如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB ? 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF=

1 AB,PH 为 ? PAD 中 AD 边上的高. 2

(1) 证明:PH ? 平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF ? 平面 PAB. 解:(1)

? PH为?P AD中的高 ? PH ? AD 又AB ? 面P AD, PH ? 平面P AD ? PH ? AB AB ? AD ? A 所以P H ? 平面ABCD

(2):过 B 点做 BG

BG ? CD,垂足为G ;

连接 HB,取 HB 中点 M,连接 EM,则 EM 是 ?BPH 的中位线

?由(1)知:PH ? 平面ABCD

? EM ? 平面ABCD ?EM ? 平面BCF 即 EM 为三棱锥 E - BCF 底面上的高

EM=

1 1 PH ? 2 2

S ?BCF ?

1 1 2 FC ? BG = ? 1 ? 2 ? 2 2 2

1 VE ? BCF ? ? S BCF ? EM 3 1 2 1 ? ? ? 3 2 2 2 ? 12

2

(3) :取 AB 中点 N,PA 中点 Q,连接 EN,FN,EQ,DQ
? AB // CD , CD ? 平面P AD ? AB ? 平面P AD , PA ? 平面P AD ? AB ? PA 又 ? EN是?P AB 的中位线 ? EN // PA ? AB ? EN 1 又 ? DF ? AB 2 ?四边形NADF是距形 ? AB ? FN EN ? FN ? N

? AB ? 平面NEF 又EF ? 平面NEF ? EF ? AB

3、如图,已知三棱锥 A—BPC 中,AP⊥ PC, AC⊥ BC, M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△PMB 为正三角形。 (Ⅰ)求证:DM∥ 平面 APC;

?四边形NADF是距形 (Ⅱ)求证:平面 ABC⊥ 平面 APC; ? AB ? NF (Ⅲ)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D—BCM 的体积. NF ? NE ? N ? AB ? 平面NEF

4、已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,其棱长为 2,O 是底 ABCD 对角线的交点。 求证: (1)C1O∥ 面 AB1D1; (2)A1C⊥ 面 AB1D1。
3

(3)若 M 是 CC1 的中点,求证:平面 AB1D1⊥ 平面 MB1D1

D1 A1 D O A B B1

C1

M

C

5.如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,AD=PA=2,CD=2 2,E、F 分别是 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求四面体 PEFC 的体积.

6.如图,已知在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AC=BC,M、N、P、Q 分别是 AA1、BB1、AB、B1C1 的中点. (1)求证:平面 PCC1⊥平面 MNQ;
4

(2)求证:PC1∥平面 MNQ.

7.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点.
(1)求证: EF //平面 ABC1 D1 ; (2)求证: EF ? B1C

8.右图为一简单集合体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD ,

EC // PD ,且 PD ? AD ? 2 EC =2 .
(1)画出该几何体的三视图; (2)求四棱锥 B-CEPD 的体积;

P

E

D

5
A B

C

(3)求证: BE // 平面 PDA .

9. 如 图 所 示 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 正 方 形 , PD ? 平 面 A B C D, PD ? AB ? 2 , E , F , G 分别为 PC 、 PD 、 BC 的中点. (1)求证: GC ? 面EFP ; (2)求证: ; PA // 面EFG ; (3)求三棱锥 P ? EFG 的体积.

3、解: (Ⅰ)由已知得, MD 是 ? ABP 的中位线

? MD ∥ AP

……………2 分

6

? MD ? 面APC, AP ? 面APC

? MD ∥ 面APC ? MD ? PB , ? AP ? PB
? BC ? 面PBC

……………4 分

(Ⅱ)? ?PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, …………………5 分 …………………6 分 ……………………7 分

又? AP ? PC, PB ? PC ? P ? AP ? 面PBC

? AP ? BC
………………9 分 ………………10 分

又? BC ? AC, AC ? AP ? A ? BC ? 面APC

? BC ? 面ABC ? 平面 ABC⊥ 平面 APC

(Ⅲ)∵ MD ? 面PBC ,? MD 是三棱锥 M—DBC 的高,且 MD= 5 3 …11 分 又在直角三角形 PCB 中,由 PB=10,BC=4,可得 PC= 2 21 于是 S ?BCD ? ………12 分

1 S ?BCP = 2 21 , ………………………………………………13 分 2 1 ? VD? BCM = VM ? DBC ? Sh ? 10 7 …………………………14 分 3

4、证明: (1)连结 AC 1 1 ,设 AC 1 1 连结 AO1 ,

B1D1 ? O1

ABCD ? A1B1C1D1 是正方体

? A1 ACC1 是平行四边形 ? AC AC 且 AC 1 1 1 1 ? AC
又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,?O1C1

AO 且 O1C1 ? AO

? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1

? C1O 面 AB1D1
(2) 又

……………………………………… 5 分

CC1 ? 面 A1B1C1D1

?C C 1 ? B 1 D !

AC 1 1 ?B 1D 1 , ?B 1D 1? 面 A 1 C1 C

即AC ? B1D1 1
同理可证 AC ? AB1 , 1
7

又 D1B1

AB1 ? B1
……………………………………… 9 分

? 面 AB1D1 ? AC 1

(3)设 B1D1 的中点为 N,则 AN⊥ B1D1,MN⊥ B1D1,则

MN ? 3,AN ? 6,AM ? 3 ? AN 2 ? MN 2 ? AM 2, ??AMN是RT ?, ? AN ? MN ,? AN ? 面MB1D1, ?面AB1D1 ? 面MB1D1 , (也可以通过定义证明二面角是直二面角) ……… 14 分
5、.解:(1)证明:设 G 为 PC 的中点,连结 FG,EG, ∵F 为 PD 的中点,E 为 AB 的中点, ∴FG ∴FG 1 CD,AE 2 1 CD 2

AE,∴AF∥GE

∵GE?平面 PEC, ∴AF∥平面 PCE; (2)证明:∵PA=AD=2,∴AF⊥PD 又∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴PA⊥CD,∵AD⊥CD,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD, ∵AF?平面 PAD,∴AF⊥CD. ∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面 PCD, ∴GE⊥平面 PCD, ∵GE?平面 PEC, ∴平面 PCE⊥平面 PCD; (3)由(2)知,GE⊥平面 PCD, 所以 EG 为四面体 PEFC 的高, 又 GF∥CD,所以 GF⊥PD, 1 EG=AF= 2,GF= CD= 2, 2 1 S△PCF= PD· GF=2. 2 1 2 2 得四面体 PEFC 的体积 V= S△PCF· EG= . 3 3
8

6、证明:(1)∵AC=BC,P 为 AB 的中点,∴AB⊥PC, 又 CC1∥AA1, AA1⊥平面 ABC, ∴CC1⊥平面 ABC, ∴CC1⊥AB, 又∵CC1∩PC=C, ∴AB⊥平面 PCC1, 由题意知 MN∥AB,故 MN⊥平面 PCC1, MN 在平面 MNQ 内, ∴平面 PCC1⊥平面 MNQ. (2)连接 AC1、BC1,∵BC1∥NQ,AB∥MN, 又 BC1∩AB=B, ∴平面 ABC1∥平面 MNQ, ∵PC1 在平面 ABC1 内, ∴PC1∥平面 MNQ. 解:(1)证明:连接 AF,则 AF=2 2,DF=2 2, 又 AD=4,∴DF2+AF2=AD2, ∴DF⊥AF.又 PA⊥平面 ABCD, ∴DF⊥PA,又 PA∩AF=A,

? DF ? 平面PAF ? ? ? DF ? PF . PF ? 平面PAF ?
1 (2)过点 E 作 EH∥FD 交 AD 于点 H,则 EH∥平面 PFD 且 AH= AD. 4 1 再过点 H 作 HG∥DP 交 PA 于点 G,则 HG∥平面 PFD 且 AG= AP, 4 ∴平面 EHG∥平面 PFD. ∴EG∥平面 PFD. 1 从而满足 AG= AP 的点 G 为所求. 4 7、证明: (1)连接 BD1

E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点,则 EF // BD1 ,
又 BD1 ? 平面 ABC1 D1 , EF ? 平面 ABC1 D1 ,

9

∴ EF //平面 ABC1 D1 (2)正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 平面 BCC1 B1 ,则 AB ? B1C 正方形 BCC1 B1 中, B1C ? BC1 ,又 AB ? BC1 =B,AB、 BC1? 平面 ABC1 D1 , 则 B1C ? 平面 ABC1 D1 ,

BD1 ? 平面 ABC1 D1 ,所以 B1C ? BD1
又 EF // BD1 ,所以 B1C ? EF. 8、解: (1)该组合体的主视图和侧视图如右图示:-----3 分 (2)∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 平面 PDCE ∴平面 PDCE ? 平面 ABCD ∵ BC ? CD ∴BC ? 平面 PDCE ----------5 分 ∵ S梯形PDCE ?

1 1 ( PD ? EC ) ? DC ? ? 3 ? 2 ? 3 --6 分 2 2

∴四棱锥 B-CEPD 的体积

正视图

侧视图

1 1 VB ?CEPD ? S梯形PDCE ? BC ? ? 3 ? 2 ? 2 .----8 分 3 3 (3) 证明:∵ EC // PD , PD ? 平面 PDA , EC ? 平面 PDA 俯视图 ∴EC//平面 PDA ,------------------------------------10 分 同理可得 BC//平面 PDA ----------------------------11 分 ∵EC ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 EC BC ? C ∴平面 BEC //平面 PDA -----------------------------13 分 又∵BE ? 平面 EBC ∴BE//平面 PDA------------------------------------------14 分

10

面 PCD ∴三棱锥以 GC 为高,三角形 PEF 为底………10 分

1 1 PD ? 1 , EF ? CD ? 1 , 2 2 1 1 ∴ S ?PEF ? EF ? PF ? . ………12 分 2 2 1 ∵ GC ? BC ? 1 , 2 1 1 1 1 ∴ VP ? EFG ? VG ? PEF ? S ?PEF ? GC ? ? ? 1 ? ………14 分 3 3 2 6
∵ PF ?

11


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