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2018届高三数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明第四节直接证明和间接证明夯基提能作业本理

时间:2017-10-29


第四节

直接证明和间接证明
A 组 基础题组

1.(2016 广东广州调研)若 a,b,c 为实数,且 a<b<0,则下列命题正确的是(

)

A.ac <bc 2.若 P= A.P>Q ( )
3 3

2

2

B.a >ab>b +

2

2

C. < +

D. > (a≥0),则 P,Q 的大小关系是( )

,Q= C.P<Q
3

B.P=Q

D.由 a 的取值确定
3 3 *

3.用数学归纳法证明“n +(n+1) +(n+2) (n∈N )能被 9 整除”,利用归纳法假设证明 n=k+1 时,只需展开 A.(k+3) C.(k+1) B.(k+2)
3 3 3

D.(k+1) +(k+2)

4.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a +b >2;⑤ab>1. 其中能推出“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是( A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤ ) )
2 2

5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时, f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1)+ f(x2)的值( A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负

6.已知 a,b,x 均为正数,且 a>b,则 与

的大小关系是

.

7.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使 + ≥2 成立的条件的个数是

.

8.用数学归纳法证明不等式 左边增加的式子是

+

+?+ .

> (n∈N )的过程中,由“n=k”推导“n=k+1”时,不等式的

*

9.已知函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx- x + x ,函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切 线. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤g(x).

2

3

1

10.已知数列{an}满足 a1= ,且 an+1=

(n∈N ).

*

(1)证明:数列

是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(2)设 bn=anan+1(n∈N ),数列{bn}的前 n 项和记为 Tn,证明:Tn< .

*

B 组 提升题组 11.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 12.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为( ) )

A.n+1 13.如果 a

B.2n +b >a +b

C.

D.n +n+1 .
2

2

,则 a,b 应满足的条件是

14.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的自然数 n 都有(Sn-1) =anSn,通过计算 S1,S2,S3,猜想 Sn= . ,S3=9+3 .

15.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn;

(2)设 bn= (n∈N ),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

*

2

16.已知数列{an}满足 a1=a>2,an= (1)求证:对任意 n∈N ,an>2;
*

(n≥2,n∈N ).

*

(2)判断数列{an}的单调性,并说明你的理由;

(3)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,求证:当 a=3 时,Sn<2n+ .

3

答案全解全析 A 组 基础题组 1.B
2 2

a -ab=a(a-b),

2

∵a<b<0,∴a-b<0, ∴a -ab>0, ∴a >ab.① 同理,ab>b ,② 由①②得 a >ab>b . 2.A 假设 P>Q,要证 P>Q,只需证 P >Q ,只需证: 2a+13+2
2 2 2 2 2 2 2

>2a+13+2

,

只需证 a +13a+42>a +13a+40, 只需证 42>40, 因为 42>40 成立,所以 P>Q 成立. 3.A 假设 n=k 时, 原式能被 9 整除,即 k +(k+1) +(k+2) 能被 9 整除,当 n=k+1 时,原式 =(k+1) +(k+2) +(k+3) ,为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3) 展开,让其出现 k 即可.
3 3 3 3 3 3 3 3

4.C 若 a= ,b= ,则 a+b>1,但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,但不满足 a,b 中至少有一个大于 1,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a +b >2,但 a<1,b<1,故④推不出; 若 a=-2 ,b=-3,则 ab>1,但 a<1,b<1,故⑤推不出. 对于③,若 a+b>2,则“a,b 中至少有一个大于 1”成立. 证明(反证法):假设 a≤1 且 b≤1,则 a+b≤2,与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,故 a,b 中至少有一 个大于 1.故选 C. 5.A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时, f(x)单调递减,可知 f(x)是 R 上的单调递减函数,由 x1+x2>0,可知 x1>-x2, f(x1)< f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+f(x2)<0,故选 A.
2 2

6. 答案

>

解析 ∵ 7. 答案 3

-=

>0,∴

>.

解析 要使 + ≥2 成立,则 >0,即 a 与 b 同号,故①③④均能使 + ≥2 成立.

4

8. 答案

解析 不等式的左边增加的式子是

+

-

=

.

9. 解析 (1)f '(x)=

,g'(x)=b-x+x ,

2

由题意得

解得 a=0,b=1.

(2)证明:令 h(x)=f(x)-g(x)

=ln(x+1)- x + x -x(x>-1),

3

2

则 h'(x)=

-x +x-1=

2

.

h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. h(x)max=h(0)=0,h(x)≤0,即 f(x)≤g(x).

10. 解析 (1)由已知可得,当 n∈N 时,an+1=

*

,

两边取倒数得,

=

= +3,即

- =3,所以数列

是首项为 =2,公差为 3 的等差数列,

其通项公式为 =2+(n-1)×3=3n-1,

所以数列{an}的通项公式为 an=

.

(2)证明:由(1)知 an=

,

故 bn=anan+1=

·

=

=

,

故 Tn=b1+b2+?+bn

= ×



+?+ ×

5

=

=-·

.

因为

>0,所以 Tn< . B 组 提升题组

11.D 由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是 锐角三角形,假设△A2B2C2 是锐角三 角形, 由题意不妨令 cos A1=sin A2,cos B1=sin B2,cos C1=sin C2.



得 那么 A2+B2+C2=90°,这与“三角形内角和为 180°”相矛盾. 所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形,所以△A2B2C2 是钝角三角形. 12.C 1 条直线将平面分成 1+1=2 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区域;3 条直线最多可

将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域;??;n 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3+?+n)=1+ 域. 13. 答案 a≥0,b≥0 且 a≠b 解析 a +b >a +b , 即( )(
2

=

个区

+

)>0,需满足 a≥0,b≥0 且 a≠b.

14. 答案

解析 由(S1-1) = 得 S1= ;由(S2-1) =(S2-S1)S2 得 S2= ;由(S3-1 ) =(S3-S2)S3 得 S3= .猜想 Sn=

2

2

2

.

15. 解析 (1)由于 故 an=2n-1+ ,Sn=n(n+ ).

∴d=2,

(2)证明:由(1)得 bn= =n+

.

6

假设数列{bn}中存在三项 bp、 bq、 br(p、 q、 r 互不相等)成等比数列,则 ∴(q -pr)+(2q-p-r)
2

=bpbr,即(q+

) =(p+

2

)(r+

),

=0.

∵p,q,r∈N ,∴

*



=pr,(p-r) =0,∴p=r,与 p≠r 矛盾.

2

∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 16. 解析 (1)证明:用数学归纳法证明 an>2(n∈N ): ①当 n=1 时,a1=a>2,结论成立; ②假设 n=k(k≥1)时结论成立,即 ak>2,则 n=k+1 时,ak+1= 故由①②及数学归纳法知对任意 n∈N ,都有 an>2 成立. (2){an}是单调递减的数列.理由如下: 因为 所以 =an+2- =-(an-2)(an+1),又 an>2, <0,易知 an+1<an.这说明{an}是单调递减的数列. ,得
* * *

>

=2,所以 n=k+1 时,结论成立.

(3)证明:由 an+1= 根据(1)知 an>2(n∈N ),

=an+2,所以

-4=an-2.

所以

=

<,

所以 an+1-2< (an-2)<

(an-1-2)<?<

(a1-2).

所以,当 a=3 时,an+1-2<

,

即 an+1<

+2.

当 n=1 时,S1=3<2+ , 当 n≥2 时,

Sn=3+a2+a3+?+an<3+

+

+?+

7

=3+2(n-1)+

=2n+1+

<2n+ .

综上,当 a=3 时,Sn<2n+ (n∈N ).

*

8


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