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5.1数列的概念及简单表示法

时间:2015-06-19


第一节数列的概念与简单表示法

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解数列的概念和几种简单的 表示方法(列表、图象、通项公 式). 2.了解数列是自变量为正整数的 一类函数.

怎 么 考 数列的概念在高考试题中常与其他知识综合进行考查, 主要有: (1)以考查通项公式为主, 同时考查 Sn 与 an 的关系, 如

2012 年江西 T16 等. (2)以递推关系为载体,考查数列的各项的求法,如 2012 年新课标全国 T16 等.

[归纳· 知识整合] 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列, 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 排在第 一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项). 2.数列的分类 分类原则 项数 项与项间 的大小关 系 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 an+1>an an+1<an an+1=an 其中 n∈N* 满足条件 项数有限 项数无限

摆动数列

从第 2 项起有些项大于它的前一项, 有些项小于 它的前一项.

3.数列的表示法 数列的表示方法有列表法、图象法、公式法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做 这个数列的通项公式. [探究] 1.数列的通项公式唯一吗?是否每个数列都有通项公式? 提 示 : 不 唯 一 , 如 数 列 - 1,1 , - 1,1 , ? 的 通 项 公 式 可 以 为 an = ( - 1)n 或 an =
? ?-1,n为奇数, ? 有的数列没有通项公式. ?1,n为偶数. ?

5.数列的递推公式 若一个数列{an}的首项 a1 确定, 其余各项用 an 与 an-1 的关系式表示(如 an=2an-1+1, n >1),则这个关系式就称为数列的递推公式. [探究] 2.通项公式和递推公式有何异同点? 提示: 不同点 通项公式法 可根据某项的序号,直接用代入法 求出该项 可根据第 1 项或前几项的值,通过 递推公式法 一次或多次赋值,逐项求出数列的 项,直至求出所需的项 都可确定一个数列,都 可求出数列的任何一项 相同点

[自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0,?,则下列各式不可以作为 数列{an}的通项公式的一项是( A.an=1+(-1)n
+1

) nπ B.an=2sin 2
? ?2,n为奇数, D.a=? ?0,n为偶数 ?

C.an=1-cos nπ 解析: 选 B 若 an=2sin 2π=0.

nπ π 3π , 则 a1=2sin =2, a2=2sin π=0, a3=2sin =-2, a4=2sin 2 2 2

2.已知数列的通项公式为 an=n2-8n+15,则 3(

)

A.不是数列{an}中的项 B.只是数列{an}中的第 2 项 C.只是数列{an}中的第 6 项 D.是数列{an}中的第 2 项或第 6 项 解析:选 D 令 an=3,即 n2-8n+15=3,解得 n=2 或 6,故 3 是数列{an}中的第 2 项或第 6 项. 1 3.(教材习题改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+ (n≥2),则 a5=( an-1 3 A. 2 7 C. 4 5 B. 3 8 D. 5 )

3 5 8 解析:选 D 由题意知,a1=1,a2=2,a3= ,a4= ,a5= . 2 3 5 4.(教材改编题)已知数列 2, 5,2 2,?,根据数列的规律,2 5应该是该数列的 第________项. 解析:由于 2=3×1-1,5=3×2-1,8=3×3-1,? 故可知该数列的通项公式为 an= 3n-1 由 2 5= 3n-1,得 n=7. 答案:7 5.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-10n(n=1,2,3,?),则此数列的通项公式为 an= ________;数列{nan}中数值最小的项是第________项. 解析:∵当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(n2-10n)-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11; 当 n=1 时,a1=S1=-9 也满足 an=2n-11, ∴an=2n-11. 11 ? ?? 11?2 121? 2 ∴nan=2n2-11n=2? ?n - 2 n?=2??n- 4 ? - 16 ? 11?2 121 =2? ?n- 4 ? - 8 . 又∵n∈N*,∴当 n=3 时,nan 取最小值. 答案:2n-11 3

已知数列的前几项求通项公式

[例 1] 根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,?. 2 4 8 16 32 64 [自主解答] (1)各数都是偶数,且最小为 4,所以通项 an=2(n+1)(n∈N*). (2)注意到分母分别是 21,22,23,24,25,?,而分子比分母少 1, 2n-1 所以其通项 an= n (n∈N*). 2 (3)分母规律明显,而第 2,3,4 项的绝对值的分子比分母少 3,因此可考虑把第 1 项变为 2-3 21-3 22-3 23-3 24-3 25-3 26-3 - ,这样原数列可化为- 1 , 2 ,- 3 , 4 ,- 5 , 6 ,? 2 2 2 2 2 2 2 所以其通项 an=(-1)n ————— 2n-3 (n∈N*). 2n —————————————— 用观察法求数列的通项公式的技巧 用观察归纳法求数列的通项公式, 关键是找出各项的共同规律及项与项数 n 的关系. 当 项与项之间的关系不明显时,可采用适当变形或分解,以凸显规律,便于归纳.当各项是分 数时,可分别考虑分子、分母的变化规律及联系,正负相间出现时,可用 (-1)n 或(-1)n 调节.
+1

1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: 2 4 6 8 10 (1) , , , , ,?; 3 15 35 63 99 1 9 17 33 (2)-1, ,- , ,- ,?; 3 35 63 99 (3)9,99,999,9 999,?. 解:(1)分子是连续的偶数,且第 1 个数是 2,所以用 2n 表示;分母是 22-1,42-1,62- 2n 2n 1,82-1,102-1,所以用(2n)2-1 表示.所以 an= = (n∈N*). ?2n?2-1 4n2-1 (2)正负交替出现,且奇数项为负,偶数项为正,所以用(-1)n 表示; 1, ? 1 , 3 ? 9 , 35 ? 17 , 63 ? 33 ,? 99 ?

3 5 , , 1×3 3×5

9 , 5×7

17 , 7×9

33 ,? 9×11

分母是连续奇数相乘的形式,观察和项数 n 的关系,用(2n-1)(2n+1)表示; 分子是 21+1,22+1,23+1,24+1,用 2n+1 表示.所以
n 2n+1 n 2 +1 an=(-1) · =(-1) · 2 (n∈N*). ?2n-1??2n+1? 4n -1 n

(3)

9, ?

99, ?

999, ?

9 999,? ? 104-1,?

101-1, 102-1, 103-1, 所以 an=10n-1(n∈N*).

由 an 与 Sn 的关系求通项公式 [例 2] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n-1,求它的通项公式 an. [自主解答] 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n 1-1)=2×3n 1;当 n=1 时,a1=
- -

S1=2 也满足 an=2×3n 1.


故数列{an}的通项公式为 an=2×3n 1.


若将“Sn=3n-1”改为“Sn=n2-n+1”,如何求解? 解:∵a1=S1=12-1+1=1, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(n2-n+1)-[(n-1)2-(n-1)+1] =2n-2.
?1?n=1?, ? ∴an=? ?2n-2?n≥2?. ?

—————

—————————————— 已知 Sn 求 an 时应注意的问题

?S1,n=1, ? 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=? 当 n=1 时,a1 若适合 Sn ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则用分 段函数的形式表示.

2.已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和满足 Sn>1,且 6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*.

求数列{an}的通项公式. 1 解:由 a1=S1= (a1+1)(a1+2), 6 解得 a1=1 或 a1=2.由已知 a1=S1>1,因此 a1=2. 又由 an+1=Sn+1-Sn 1 1 = (an+1+1)(an+1+2)- (an+1)(an+2), 6 6 得 an+1-an-3=0 或 an+1=-an. 因为 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去. 因此 an+1-an-3=0,即 an+1-an=3, 从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列,故{an}的通项公式为 an=3n-1.

由递推关系式求数列的通项公式

[例 3] 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; n-1 (2)a1=1,an= a (n≥2); n n-1 (3)a1=2,an+1=an+3n+2. [自主解答] (1)∵an+1=3an+2, an+1+1 ∴an+1+1=3(an+1),即 =3. an+1 ∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3. 又 a1+1=2,∴an+1=2×3n 1.


∴an=2×3n 1-1.


n-1 (2)∵an= a (n≥2), n n-1 n-2 1 ∴an-1= a - ,?,a2= a1. 2 n-1 n 2 以上(n-1)个式子相乘得 n-1 a1 1 1 2 an=a1× × ×?× = = . 2 3 n n n (3)∵an+1-an=3n+2, ∴an-an-1=3n-1(n≥2), n?3n+1? ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1= (n≥2). 2

1 当 n=1 时,a1= ×(3×1+1)=2 符合公式, 2 3 n ∴an= n2+ . 2 2 ————— —————————————— 由递推公式求通项公式的常用方法 已知数列的递推关系,求数列的通项公式时,通常用累加、累乘、构造法求解. 当出现 an=an-1+m 时,构造等差数列;当出现 an=xan-1+y 时,构造等比数列;当出 现 an=an-1+f?n?时,用累加法求解;当出现 an 时,用累乘法求解. an-1

n+2 3.(2012· 大纲全国卷)已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= a. 3 n (1)求 a2,a3; (2)求数列{an}的通项公式. 4 解:(1)由 S2= a2 得 3(a1+a2)=4a2,解得 a2=3a1=3; 3 5 3 由 S3= a3 得 3(a1+a2+a3)=5a3,解得 a3= (a1+a2)=6. 3 2 (2)由题设知 a1=1. n+2 n+1 当 n>1 时有 an=Sn-Sn-1= a- a , 3 n 3 n-1 n+1 整理得 an= a-. n-1 n 1 3 4 于是 a1=1,a2= a1,a3= a2, 1 2 ? n+1 n an-1= an-2,an= a-, n-2 n-1 n 1 n?n+1? 将以上 n 个等式两端分别相乘,整理得 an= . 2 n?n+1? 综上可知,数列{an}的通项公式 an= . 2 数列函数性质的应用

[例 4] 已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数?

②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N*,都有 an+1>an 成立.求实数 k 的取值范围. [自主解答] (1)①由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4. ∵n∈N*,∴n=2,3. ∴数列中有两项是负数,即为 a2,a3. 5 9 5 n- ?2- 的对称轴方程为 n= . ②∵an=n2-5n+4=? 2 ? ? 4 2 又 n∈N*,∴n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2. (2)由 an+1>an,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n2+kn+4,可以看作是 k 3 关于 n 的二次函数,考虑到 n∈N*,所以- < ,即得 k>-3. 2 2 ————— —————————————— 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用函数的知识,函数的思想方法来解决. (2)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均 可借助数列的单调性来解决, 判断单调性时常用: ①作差; ②作商; ③结合函数图象等方法.

2?n? ? ? 4.若数列?n?n+4?? ?3? 中的最大项是第 k 项,则 k=________.
? ?

解析:法一:由题意知,

? ? ? ?k?k+4?? ?3? ≥?k-1??k+3??3? ? 2? ?2? ?k?k+4?? ?3? ≥?k+1??k+5??3?
k k

2

2

k-1

, ,

k+1

解得 10≤k≤1+ 10. ∵k∈N*,∴k=4. 2?n 法二:设 an=n(n+4)? ?3? ,则 2?n+1 ?2?n an+1-an=(n+1)(n+5)? ?3? -n(n+4)?3? 2?n?2 ? =? ?3? ?3?n+1??n+5?-n?n+4?? 2?n10-n2 =? ?3? 3 . 当 n≤3 时,an+1-an>0,即 an+1>an, 当 n≥4 时,an+1-an<0,即 an+1<an, 故 a1<a2<a3<a4,且 a4>a5>a6>?.

所以数列中最大项是第 4 项. 答案:4

? 1 个关系——数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数, 即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数, 当自变 量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要注意 函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性. ? 3 类问题——数列通项公式的求法及最大(小)项问题 (1)由递推关系求数列的通项公式常用的方法有: ①求出数列的前几项,再归纳出数列的一个通项公式; ②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用叠加法、累乘法、迭代法. (2)由 Sn 与 an 的递推关系求 an 的常用思路有: ①利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为 an 的递推关系,再求其通项公式; ②转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 的关系,再求 an. (3)数列{an}的最大(小)项的求法
?an-1≤an, ?an-1≥an, ? ? 可以利用不等式组? 找到数列的最大项;利用不等式组? 找到数 ?an≥an+1, ? ? ?an≤an+1,

列的最小项.

创新交汇——数列与函数的交汇问题

1.数列的概念常与函数、方程、解析几何、不等式等相结合命题. 2.正确理解、掌握函数的性质(如单调性、周期性等)是解决此类问题的关键. [典例] (2012· 上海高考)已知 f(x)= 1 .各项均为正数的数列{an}满足 a1=1,an+2= 1+x

f(an).若 a2 010=a2 012,则 a20+a11 的值是________. [解析] ∵an+2= 1 1 ,又 a2 010=a2 012= , 1+an 1+a2 010

∴a2 2 010+a2 010=1. 又 an>0,∴a2 010= 5-1 . 2

5-1 1 又 a2 010= = , 2 1+a2 008

∴a2 008=

5-1 5-1 ,同理可得 a2 006=?=a20= . 2 2

1 1 2 1 3 又 a1=1,∴a3= ,a5= = ,a7= = , 2 1+a3 3 1+a5 5 1 5 1 8 a9= = ,a11= = . 1+a7 8 1+a9 13 ∴a20+a11= [答案] 5-1 8 13 5+3 + = . 2 13 26

13 5+3 26

[名师点评] 1.本题具有以下创新点 (1)数列{an}的递推关系式,以函数 f(x)= 1 为载体间接给出; 1+x

(2)给出的递推关系式不是相邻两项,即 an 与 an-1(n≥2)之间的关系,而是给出 an 与 an
+2

之间的关系式,即奇数项与奇数项、偶数项与偶数项之间的递推关系. 2.解决本题的关键有以下两点 (1)正确求出数列{an}的递推关系式; (2)正确利用递推公式 an+2= [变式训练] an 1.已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为( n 17 A. 2 C.10 21 B. 2 D.21 ) 1 ,分别从首项 a1 推出 a11 和从 a2 010 推出 a20. 1+an

解析:选 B 由已知条件可知:当 n≥2 时, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) =33+2+4+?+2(n-1) =n2-n+33,又 n=1 时,a1=33 适合, 故 an=n2-n+33. an 33 又 =n+ -1, n n 33 令 f(n)=n+ -1,f(n)在[1,5]上为减函数, n 53 21 f(n)在[6,+∞)上为增函数,又 f(5)= ,f(6)= , 5 2 an 21 所以 f(5)>f(6).故 f(n)= 的最小值为 . n 2

x ? ?2 -1?x≤0?, 2. 已知函数 f(x)=? 把函数 g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的顺序排 ?f?x-1?+1?x>0?, ?

成一个数列,则该数列的通项公式为( n?n-1? A.an= (n∈N*) 2 C.an=n-1(n∈N*)

) B.an=n(n-1)(n∈N*) D.an=2n-2(n∈N*)
x

解析:选 C

2 -1?x≤0?, ? ?2 ?0<x≤1?, 据已知函数关系式可得 f(x)=? 2 +1?1<x≤2?, ? ??,
x-1 x -2

此时易知函数 g(x)=

f(x)-x 的前几个零点依次为 0,1,2,?,代入验证只有 C 符合.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 2 3 4 5 1.数列 1, , , , ,?的一个通项公式 an 是( 3 5 7 9 n A. 2n+1 n C. 2n-3 n B. 2n-1 n D. 2n+3 )

1 2 3 n 解析:选 B 由已知得,数列可写成 , , ,?,故通项为 . 1 3 5 2n-1 2.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-2λn(n∈N*),则“λ<1”是“数列{an}为递增数 列”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

解析:选 A 若数列{an}为递增数列,则有 an+1-an>0,即 2n+1>2λ 对任意的 n∈N* 3 3 3 都成立, 于是有 3>2λ, 即 λ< .由 λ<1 可得 λ< , 但反过来, 由 λ< 不能得到 λ<1, 因此“λ<1” 2 2 2 是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件. n 3.数列{an}的通项 an= 2 ,则数列{an}中的最大值是( n +90 A.3 10 1 C. 19 B.19 D. 10 60 )

1 解析:选 C 因为 an= ,运用基本不等式得 90 n+ n 1 90 n+ n ≤ 1 1 ,由于 n∈N*,不难发现当 n=9 或 10 时,an= 最大. 19 2 90

1 4.(2013· 银川模拟)设数列{an}满足:a1=2,an+1=1- ,记数列{an}的前 n 项之积为 an Tr,则 T2 013 的值为( 1 A.- 2 1 C. 2 ) B.-1 D.2

1 解析:选 B 由 a2= ,a3=-1,a4=2 可知,数列{an}是周期为 3 的周期数列,从而 2 T2 013=(-1)671=-1. 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k=( A.9 C.7 B.8 D.6 )

? ? ?Sn?n=1? ?-8?n=1?, 解析:选 B 由 an=? =? 得 an=2n-10. ?Sn-Sn-1?n≥2? ?2n-10?n≥2?, ? ?

由 5<2k-10<8 得 7.5<k<9,由于 k∈N*,所以 k=8. 6.(2012· 福建高考)数列{an}的通项公式 an=ncos ( ) A.1 006 C.503 B.2 012 D.0 nπ ,其前 n 项和为 Sn,则 S2 2
012 等于

解析:选 A 由题意知,a1+a2+a3+a4=2,a5+a6+a7+a8=2,?,a4k+1+a4k+2+a4k
+3

+a4k+4=2,k∈N,故 S2 012=503×2=1 006. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.根据下图 5 个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第 n 个图中有________个点.

解析:观察图中 5 个图形点的个数分别为 1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第 n 个图中点的个数为 (n-1)×n+1=n2-n+1. 答案:n2-n+1

8.数列{an}满足 an+1

? ?2a ? ?0≤a <2?, =? 1 ? ?2a -1? ?2≤a <1?,
n n n n

1

6 若 a1= ,则 a2 013=________. 7

6 1 ? ,1 , 解析:因为 a1= ∈? 7 ?2 ? 6 5 所以 a2=2a1-1=2× -1= . 7 7 5 1 ? ,1 , 因为 a2= ∈? 7 ?2 ? 5 3 所以 a3=2a2-1=2× -1= . 7 7 1 3 3 6 0, ?,所以 a4=2a3=2× = . 因为 a3= ∈? 7 ? 2? 7 7 显然 a4=a1,根据递推关系,逐步代入,得 a5=a2,a6=a3,? 6 5 故该数列的项呈周期性出现, 其周期为 3, 根据上述求解结果, 可得 a3k+1= , a = , 7 3k+2 7 3 a3k+3= (k∈N). 7 3 所以 a2 013=a3×671=a3= . 7 3 答案: 7 9.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点, 则 b10=________. 解析:∵an+an+1=bn,an· an+1=2n, ∴an+1· an+2=2n 1,


∴an+2=2an. 又∵a1=1,a1· a2=2,∴a2=2, ∴a2n=2n,a2n-1=2n 1(n∈N*),


∴b10=a10+a11=64. 答案:64 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.数列{an}中,a1=1,对于所有的 n≥2,n∈N*都有 a1· a2· a3?· an=n2,求 a3+a5 的 值. 解:∵a1· a2· a3· ?· an=n2, 9 ∴a1a2=4,a1a2a3=9,解得 a3= . 4

25 61 同理 a5= .∴a3+a5= . 16 16 11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,分别求它们的通项公式 an. (1)Sn=2n2+3n; (2)Sn=2n+1. 解:(1)由题可知,当 n=1 时,a1=S1=2×12+3×1=5, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1. 当 n=1 时,4×1+1=5=a1,故 an=4n+1. (2)当 n=1 时,a1=S1=2+1=3, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(2n+1)-(2n 1+1)=2n 1.
- -

当 n=1 时,21 1=1≠a1,


? ?3?n=1?, 故 an=? n-1 ?2 ?n≥2?. ?

2 12.已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= ,且前 n 项和为 Tn, an+1 设 cn=T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性. 解:(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),

?n?n≥2?, 故 b =? 2 ?3?n=1?.
n

1

(2)∵cn=bn+1+bn+2+?+b2n+1 = 1 1 1 + +?+ , n+1 n+2 2n+1 1 1 1 + - 2n+2 2n+3 n+1

∴cn+1-cn= =

-n-1 <0. ?2n+2??2n+3??n+1?

∴{cn}是递减数列.

1.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,?; (1)0.8,0.88,0.888,?;

3 7 9 (3) ,1, , ,?; 2 10 17 (4)0,1,0,1,?. 解:(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n
+1

表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的

数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5). 8 8 8 (2)将数列变形为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),? 9 9 9 1 8 1- n?. 故 an= ? 9? 10 ? 3 5 7 9 (3)将数列统一为 , , , ,?,对于分子 3,5,7,9,?,是序号的 2 倍加 1,可得 2 5 10 17 分子的通项公式为 bn=2n+1,对于分母 2,5,10,17,?,联想到数列 1,4,9,16,?,即数列 {n2},可得分母的通项公式为 cn=n2+1, 2n+1 故可得它的一个通项公式为 an= 2 . n +1
?0 ?n为奇数?, ? (4)an=? 或 ?1 ?n为偶数? ?

1+?-1?n 1+cos nπ an= 或 an= . 2 2 10?n * 2.已知数列{an}的通项公式 an=(n+1)? ?11? (n∈N ),试问数列{an}有没有最大项?若 有,求最大项和最小项的项数;若没有,说明理由. 10?n+1 ?10?n=?10?n· 9-n , 解:∵an+1-an=(n+2)? - ( n + 1) ?11? ?11? ?11? 11 当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an; 故 a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>? ∴数列中有最大项,最大项为第 9、10 项, 1010 即 a9=a10= 9 . 11 Sn? * 3.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点? ?n, n ?(n∈N )均在函数 y=3x-2 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 m (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 对所有 n∈N*都成立的最小 20 anan+1 正整数 m. Sn 解:(1)依题意得, =3n-2,即 Sn=3n2-2n. n

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5; 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5. 所以 an=6n-5(n∈N*). 3 (2)由(1)得 bn= anan+1 = 1 ? 3 1 1 - = ? , ?6n-5?[6?n+1?-5] 2?6n-5 6n+1?
n

故 Tn= ?bi
i=1

1 1 ?? 1 1 1 1 - 1- ?+? - ?+?+? = ?? 7? ?7 13? 2?? ?6n-5 6n+1?? 1 1 = ?1-6n+1?. 2? ? 1 1 m 1 m 因此,使得 ?1-6n+1?< (n∈N*)成立的 m 必须且仅需满足 ≤ ,即 m≥10,故满足 2? 2 20 ? 20 要求的最小正整数 m 为 10. 4.(2012· 浙江高考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满 足 an=4log2bn+3,n∈N*. (1)求 an,bn; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)由 Sn=2n2+n,得当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1,易知当 n=1 时也满足通式 an=4n-1, 所以 an=4n-1,n∈N*. 由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2n 1,n∈N*.


(2)由(1)知 an· bn=(4n-1)· 2n 1,n∈N*,


所以 Tn=3+7×2+11×22+?+(4n-1)· 2n 1,


2Tn=3×2+7×22+?+(4n-5)· 2n 1+(4n-1)· 2n,


2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n 1)]=(4n-5)2n+5.


故 Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.


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