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2.3.1直线与平面垂直的判定

时间:2016-08-20


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
授课人:满妍颖
一、内容和内容解析 本节课的主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用.课 本(“人教 A 版”必修 2,下同)通过让学生观察旗杆与它在地面上影子的位置关系引出直线 与平面垂直的概念,并通过折纸试验让学生操作并确认直线与平面垂直的判定定理.定理把 定义中要求的与平面内“任意”一条(无限)直线垂直转化为与平面内“两条”(有限)相交直 线垂直,使直线与平面垂直的判定具有可操作性.课本中的例 1 给出了判定直线与平面的一 个间接方法:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况, 是空间中直线与直线垂直位置关 系的拓展,又是平面与平面垂直的基础,是空间中垂直位置关系间转化的重心,同时又是直 线和平面所成的角等内容的基础,因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之 一. 通过该内容的学习, 进一步培养和发展学生的几何直观能力、 合情推理与逻辑推理能力 以及运用图形语言进行交流的能力,体验和领悟转化的数学思想,即“空间问题转化平面问 题”“无限问题转化为有限问题”“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”等. 教学重点:抽象概括直线与平面垂直的定义,操作确认直线与平面垂直的判定定理. 教学难点:操作确认直线与平面垂直的判定定理及其初步应用. 二、目标和目标解析 目标:理解直线与平面垂直的定义,掌握直线与平面垂直的判定定理. 目标解析: 1.利用已有知识与生活经验,抽象概括出直线与平面垂直的定义; 2.通过概括、辨析与应用,正确理解直线与平面垂直的定义; 3.通过直观感知、操作确认,归纳出直线与平面垂直的判定定理; 4.能运用直线与平面垂直的判定定理,证明和直线与平面垂直有关的简单命题. 三、学生和学情分析 学生已经学习了两条直线(共面或异面)互相垂直的位置关系,学习了直线、平面平行 的判定及性质,有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会,有了一定的 几何直观能力、推理论证能力等,具备学习本节课所需的知识. 在探究直线与平面垂直的判定定理过程中, 学生对“为什么要且只要两条相交直线”的理 解有一定的困难,因为定义中的“任意一条直线”是指“所有直线”,这种用“有限”代替 “无限” 的过程会导致学生形成理解上的思维障碍.同时,在运用直线与平面垂直的判定定理时,有 些学生不知如何选择已知平面内的两条相交直线,从而导致证明过程中无从着手或发生错 误. 四、教学准备 为了有效实现教学目标, 教师准备:多媒体课件(以 PowerPoint 为平台) 、三角板、大三角形纸片等教具.

学生自备:三角形纸片(任意形状) 、笔(表直线) 、课本(表平面)等学具. 五、教学过程设计 教学 环节 教师教学活动设计 (一)直观感知直线与平面垂直的位置关系 在直线与平面的位置关系中,直线在平面内、 直线与平面平行我们已经系统研究过了,接下来要 研究直线与平面相交的情形. 新课 引入 问题 1 请大家观察图片,说出旗杆与地面,大桥梁 柱与水面是什么位置关系?你能举出一些类似的位 置关系吗? 师:根据学生举例的情况适当补充,如旗杆与地面、 跨栏的支架与地面的位置关系等.引导学生先研究直 线与平面垂直的情形. 问题 2 在已学的空间几何体的直观图中,说说你心 目中哪些直线与平面是垂直的? 学生举例, 如长方体的 侧棱与底 面,圆柱、 锥的轴与底 面的位置关 系等 动手尝试画 图. 学生举例, 通过比较, 有相交有垂 直的情况。 学生活动 设计意图 基于学生的客 观现实, 通过对 生活事例的观 察, 让学生直观 感知直线与平 面相交中的特 例 —— 直 线 与 平面垂直的形 象, 由此引出课 题.

基于学生的数 学现实, 在已学 的几何模型中 感知直线与平 面垂直的位置 关系. 给出直观图的 画法, 有利于揭 示问题的本质, 有利于进行几 何的抽象概括.

问题 3 你觉得画怎样的直观图最能反映你心目中的 直线与平面垂直的情形? 师:引导学生画图,师生共同分析画法. 画法:如图 1,通常把直线 l 画成与表示平面 α 的平 行四边形的一边垂直

讲授 新知

(二)抽象概括直线与平面垂直的定义 作为一种常见的特殊位置关系,我们首先要给 它下定义,如何定义一条直线与一个平面垂直呢? 从构成要素的角度看容易想到已研究的直线与平面 平行的位置关系. 问题 4 (1)你能回忆一下直线与平面平行的研究思 路吗? (2)类似的我们又如何研究一条直线与一个平面垂 直呢? 师: 适时给出“旗杆与变动的影子的关系”的情景来启 发学生.

学生回忆直 线与平面平 行的研究思 路,考察该 直线与平面 内直线的位 置关系(图 2)

引导学生用“ 降 维 ” 的思想来思 考问题, 通过考 察直线与平面 内直线的位置 关系来研究直 线与平面垂直 的情形.

讲解 新知

问题 5 如图 3,在阳光下观察直立于地面的旗杆 AB 及它在地面的影子 BC (1)它们的位置关系是怎样的? (2)随着太阳的移动,它们的位置关系会发生改变 吗? (3) AB 与地面上任意一条不是影子 (不过旗杆底部 B)的直线 B′C′的位置关系又是什么?由此得到什么 结论?

学生思考、 分析与说 理.

A
?
BC

图3

B

a

a

师:利用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子的移 动过程.得出结论后引导学生思考:能否用一条直线 垂直于一个平面内的任意一条直线,来定义直线与 平面垂直. 定义: 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直,记作: l⊥α.

第(1) (2)问 旨在让学生发 现旗杆 AB 所在 直线始终与地 面上任意一条 过点 B 的直线 垂直,第(3) 问旨在引导学 生根据异面直 线所成角的概 念得出旗杆 AB 所在直线始终 与地面上任意 一条不过点 B 的直线也垂直, 从中概括出: 一 条直线与一个 平面垂直, 那么 该直线与此平 面内的任意一 条直线都垂直.

讲解

通过观察、 思考 与讨论, 让学生

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直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂 面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点 P 叫做 垂足. 辨析 1:命题“如果一条直线垂直于一个平面内的无 数条直线,那么这条直线与这个平面垂直 ” 是否正 确?为什么? 师:引导学生用笔表示直线,用书本表示平面来举 出反例,教师可结合图 5 说明.

感悟: 一条直线 与一个平面内 的任意一条直 线都垂直, 这条 直线就与该平 面垂直. 并让 学生归纳、 概括 出直线与平面 垂直的定义. 使学生明确平 面中直线的“ 任 意性”.

(三)操作确认直线与平面垂直的判定定理 通常定义可以作为判定的依据. 问题 6 如图 6,标准的跨栏,其支架必须竖直立于地 面(即支架所在直线与地面所在平面垂直) ,如何进 行检验? 引发学生认知 冲突, 激发探索 判定定理的需 要, 将平面内直 线条数从无限 条转化为有限 条.

师:先让学生思考用定义判断不方便的原因,再讨 论平面内直线减少到多少条才合适,排除一条和两 条平行的情形,针对两条相交情形,引导学生进行 折纸活动. 实验:请你拿出准备好的三角形的纸片,我们一起 来做一个试验: 如图 7, 过△ABC 的顶点 A 翻折纸片, 得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上, (BD、DC 与桌面接触)

问题 7 (1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使 AD 与桌面所在平面 α 垂直?
A

B

D

C

A
C
D

通过折纸活动 让学生发现, 当 且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高 时,AD 所在直 线与桌面所在 的平面 α 垂直 (如图 8).

?
图8

B

师生活动:让学生沿 A 点进行各种翻折,并充分观 察、思考与讨论,教师参与活动. 问题 8 当折痕 AD 与 BC 不垂直时,绕 AD 无论怎样 翻折, 翻折后 AD 始终与桌面所在平面 α 不垂直吗? 为什么?

回归定义分析, 明确判定一条 直线与一个平 面不垂直, 只要 该直线与平面 内的一条直线 不垂直.

问题 9 当折痕 AD⊥BC 时,绕 AD 无论怎样翻折, (1)翻折之后 AD 始终与桌面所在平面 α 垂直吗? (2)翻折之后的垂直关系即 AD⊥BD,AD⊥CD 是否 发生变化?由此得到什么结论? 师:引导学生继续操作观察,进行合情推理并获得 结论.

问题(1)旨在 让学生继续操 作并确认 AD 始 终与桌面所在 学生继续观 平面 α 垂直的 察并说理, 事实,问题(2) 当 AD 与 BC 意 在 引 导 学 生 不垂直时, 发现:当 AD 垂 翻 折 后 AD 直于平面 α 内 始终与桌面 过 D 的任意两 内 的 直 线 条相交直线时, BD(或 DC) AD 就垂直于平 不垂直. 面 α. 建立了定义与

问题 10AD⊥BD,AD⊥CD,就有 AD⊥α.它与直线与

平面垂直的定义相符合吗? 学生继续操 师:解释说明,如图 10,当 AD⊥BC 时,固定 BD, 作观察 保持 DC 紧贴桌面, 让折纸的 CAD 部分挠着 AD 旋转, 旋转过程中发现 AD 始终与平面 α 垂直 (直观感知) , 同时 AD 与平面 α 内任意一条过点 D 的直线都垂直, 因此 AD 与平面 α 内任意一条直线都垂直.

判定之间的联 系, 有助于学生 发现判定的本 质, 也有助于深 化学生对定义 的理解.

问题 11 根据上面的试验,结合两条相交直线确定一 个平面的事实,你能给出直线与平面垂直的判定方 法吗? 教师追问:上述平面中两条相交直线与平面外的这 条直线是否一定要有公共点?以明确平面内两相交 直线的任意性,接着指出前面的验证过程并非定理 的严格证明,在后续学习中将借助空间向量的方法 来证明,再引导学生给出文字、图形、符号这三种 语言表示,明确定理中的五个条件. 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直,则该直线与此平面垂直.(如图 11)

让学生归纳出 直线与平面垂 直的判定定理.

学生推测叙 述判定定理 符号语言:

辨析 2:命题“如果一条直线与一个梯形的两条边垂 直,那么这条直线垂直于梯形所在的平面 ” 是否正 确?为什么? 师:强调“相交”条件. 接着让学生给出检验跨栏的支 架是否竖直立于地面的办法:只要与地面上两相交 横杆垂直.

强化平面中两 条“相交”直线 的条件.

(四)初步应用 例 1: 如图 12, 在正方体 AC′中, 下列结论是否正确, 为什么? ① AD⊥面 D C C′D′②BD⊥面 D C C′D′③AD⊥C D′ 师:对学生的回答做出评论。

学生思考作 答

例 2:如图 13,已知 a∥b,a⊥α,求证:b⊥α. 师:师生共同评析,接着引导学生阅读课本,注意 证明题书写的规范性,并用文字语言叙述:两条平 行直线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直 线也垂直于这个平面.

利用所学知识 解决直线与平 面垂直的有关 问题, 体会转化 思想在解决问 题中的作用 . 其 中 ① 是判定定 理的应用, ② 是定义的应用, ③ 是判定定理 与定义的综合 应用. 能分别用判定 定理与定义解 决问题, 会用证 明问题的一般 思维策略: 由已 知想可知(性 质) ,由未知想 需知(判定) , 合理选择辅助 线.

学生思考作 答

练习:如图 14,在三棱锥 V-ABC 中,VA=VC,AB=BC, 求证:VB⊥AC. (课本 P67 练习 1)

分析思路并 口述证明过 程

进一步领会问 题解决的一般 思维策略, 合理 选择辅助平面, 体会转化思想 在解决问题中 的作用.

(五)总结反思 (1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直线与 平面垂直的方法? (2)上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数 学思想? (3)你还有什么收获与感想? 1.如图 14, 点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, O 是对角线 AC 与 BD 的交点,且 PA=PC,PB=PD.求 证:PO⊥平面 ABCD.

培养学生反思 的习惯, 鼓励学 生对研究的问 题进行质疑和 概括.

作业 布置

通过课后训练, 巩固本课所学 知识, 检测运用 所学知识解决 问题的能力 . 其 中第 1 题主要 运用直线与平 面垂直的判定 定理.

六、板书设计 直线、平面垂直的判定 1. 线面垂直的定义 2. 判定定理 3. a Pb, a ? b? ? b ? ? 七、教学反思


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