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人教a版高考数学(理)一轮课件:2.3函数的奇偶性及周期性


第 3 讲 函数的奇偶性及周期性 考纲展示 考纲解读 1. 函数的奇偶性是高考考查的热点. 2.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问 题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题 是重点, 也是难点. 3. 题型以选择题和填空题为主,还可与函数单调性等其他知 识点交汇命题. 结合具体函数 ,了 解 函 数 奇 偶性 的 含义. 1.函数的奇偶性 奇

偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)是奇函数 图象特点 关于 y 轴对称 奇函数 关于原点对称 判断函数的奇偶性主要根据定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定 义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x)〔或 f(-x)=-f(x)〕,那么函数 f(x)就叫做偶 函数(或奇函数),其中包含两个必备条件: ①定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以 首先考虑定义域有利于准确简洁地解决问题. ②判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转 化为判断奇偶性的等价关系式〔f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函 数)〕是否成立. 2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点 对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”). (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数; ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数; ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. 3.判断函数奇偶性的步骤 (1)考察函数的定义域是否关于原点对称(原点是否在定义域内不影响 函数的奇偶性). (2)若定义域关于原点对称,再判断 f(-x)与 f(x)的关系: ①若 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数; ②若 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数; ③若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数; ④若存在 x 是定义域内的一个数,使得 f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x),则 f(x) 为非奇非偶函数. 4.函数的周期性 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一 个值时, f(x+T)=f(x)都成立,那么 f(x)是周期函数,T 是它的一个周期.若 T 是 函数的一个周期,则 nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期. 常见结论: (1)f(x+a)=-f(x)? 函数 f(x)的最小正周期为 2|a|. (2)f(x+a)= 1 ? 函数 f(x) f(x)的最小正周期为 2|a|. (3)f(x+a)=f(x+b)? 函数 f(x)的最小正周期为|a-b|. 特别注意:若函数 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)不具有周期性,但函 数 f(x)的图象关于 x= a+b 对称. 2 (4)y=f(x)的图象关于直线 x=a 及 x=b 对称,则 y=f(x)的周期为 2|a-b|. (5)y=f(x)的图象关于直线 x=a 及点(b,0)对称,则 y=f(x)的周期为 4|a-b|. (6)y=f(x)的图象关于点(a,0)及点(b,0)对称,则 y=f(x)

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