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2013年四川卷高考理科数学试题


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学(理工类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x ? 4 ? 0} ,则 A ? B ?
2

A. {?2} C. {?

2 , 2}

B. {2} D. ?

2.如图,在复平面内,点 A 表示复数 z ,则图中表示 z 的共轭复数的点是

x

A B
A. A C. C

C O
y

D
B. B D. D

3、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是

A.

B.

C.

D.

4.设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p : ?x ? A , 2 x ? B ,则 A. ?p : ?x ? A , 2 x ? B C. ?p : ?x ? A , 2 x ? B 5.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0 , ? 值分别是 B. ?p : ?x ? A , 2 x ? B D. ?p : ?x ? A , 2 x ? B

?
2

?? ?

?
2

0 的部分图象如图所示,则 ? 、? 的

2
π 3

y

O -2

5π 12

x

A. 2 , ?

?
3

B. 2 , ?

?
6

C. 4 , ?

?
6
2

D. 4 ,

?
3

6.抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的渐近线的距离是 3
B.

A.

1 2

3 2

C. 1 7.函数 y ?

D. 3

x3 的图象大致是 3x ? 1

A.

B.

C.

D.

8.从 1 , 3 , 5 , 7 , 9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a , b ,共可得到

lg a ? lg b 的不同值的个数是
A. 9 B. 10 C. 18 D. 20

9.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮.那么这两 串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

7 8

10.设函数 f ( x) ?

e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).若曲线 y ? sin x 上存

在点 ( x0 , y0 ) 使 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是 A. [1 , e] B. [ ? 1 , 1]

1 e

C. [1 , e ? 1]

D. [ ? 1 , e ? 1]

1 e

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.二项式 ( x ? y ) 的展开式中,含 x y 的项的系数是____________.(用数字作答)
5 2 3

12. 在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O , AB ? AD ? ? AO ,则

??? ? ????

????

? ? ___________.
13.设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是____________.
2

14. 已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x . 那么,不等式

f ( x ? 2) ? 5 的解集是____________.
15.设 P n 为平面 ? 内的 n 个点.在平面 ? 内的所有点中,若点 P 到点 P 1,P 2 ,..., P 1,

P2 ,..., Pn 的距离之和最小,则称点 P 为点 P n 的一个“中位点”.例 1, P 2 ,..., P
如,线段 AB 上的任意点都是端点 A 、 B 的中位点.现有下列命题: ①若三个点 A 、 B 、 C 共线, C 在线段 AB 上,则 C 是 A 、 B 、 C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点 A 、 B 、 C 、 D 共线,则它们的中位点存在且唯一;

④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是_______.(写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,求数列 {an } 的首项、公 差及前 n 项和. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 ⑴求 cos A 的值; ? ??? ? ??? ⑵若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.
且 2 cos
2

18.(本小题满分 12 分) 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1 , 2 , 3 ,..., 24 这 24 个整数中 等可能随机产生.

⑴分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi (i ? 1 , 2 , 3) ; ⑵甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录 了输出 y 的值为 i (i ? 1 , 2 , 3) 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分)

乙的频数统计表(部分)

当 n ? 2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i (i ? 1 , ,并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可 2 , 3) 的频率(用分数表示) 能性较大; ⑶将按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求输出 y 的值为 2 的次数 ? 的分布列及数学 期望. 19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C 中 , 侧 棱 AA1 ? 底 面 ABC , AB ? AC ? 2 AA1 ,

?BAC ? 120? , D 、 D1 分别是线段 BC 、 B1C1 的中点, P 是线段 AD 的中点.

C A C1 A1

P

D B D1 B1

⑴在平面 ABC 内, 试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l , 说明理由, 并证明直线 l ? 平面 ADD1 A1 ; ⑵设⑴中的直线 l 交 AB 于点 M ,交 AC 于点 N ,求二面角 A ? A1M ? N 的余弦值. 20.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 (?1 , 0) , F2 (1 , 0) ,且椭圆 a 2 b2 4 1 C 经过点 P ( , ) . 3 3 ⑴求椭圆 C 的离心率; ⑵设过点 A(0 , 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且
已知椭圆 C :

2 1 1 ? ? ,求点 Q 的轨迹方程. 2 2 | AQ | | AM | | AN |2
21.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 2 x ? a ( x ? 0)

?ln x( x ? 0) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
⑴指出函数 f ( x) 的单调区间;

, 其中 a 是实数.设 A( x1 , f ( x1 )) ,B ( x2 , f ( x2 ))

⑵若函数 f ( x) 的图象在点 A 、 B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; ⑶若函数 f ( x) 的图象在点 A 、 B 处的切线重合,求 a 的取值范围.


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