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初等数学教案


湖 南 铁 路 科 技 职 业 技 术 学 院

教 师 课 时 授 课 计 划
授课日期 授课班级
学期授课计划 的章节顺序: 授 课 目 的 与 要 求:

2 月 27 日 512—3

2 月 27 日 512—9

2 月 27 日 512—10

5 章 复数 5.1 虚数单位 i 的定义

要求学生理解虚数单位 i 的定义,理解什么叫虚数单位,能够进行虚数 简单计算。

教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点:理解和掌握虚数单位 i 的定义。 难点:掌握虚数单位 i 的计算

课外作业(练习题与思考题) :

任课教师:李胜刚
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5.1 虚数单位 i 的定义

[新课引入] 回顾实数,认识复数数的概念产生与发展是数学发展的需要,提出复数需单位 i 的定义。 [新课讲授]
1 虚数单位 i 的定义

为了解决像 x 2 ? ?1 这样的方程有解的需要,人们开始引进了一个新数 i,叫做 虚数单位,并规定: (1)它的平方等于-1,即 i 2 =-1 (2)i 可以与实数进行四则运算,实数的加、乘运算律仍然成立。 2 通过上面两条规定可知,i 是方程 x 2 ? ?1 的一个解,即 i 是-1 的一个平方根, 又因为 (?i)2 ? ?1 ,所以-i 也是-1 的一个平方根,这样,方程 x 2 ? ?1 有两个解

x1 ? i 和 x2 ? ?i 。
有上面的规定,可以推出虚数单位 i 具有以下特性:
i1 ? i i 2 ? ?1 i 3 ? i 2 * i ? ?i i4 ? i2 *i2 ? 1 i 7 ? i 4 * i 3 ? ?i i8 ? i 4 * i 4 ? 1

i 5 ? i 4 * i1 ? i

i 6 ? i 4 * i 2 ? ?1

一般地,如果 n∈ Z ? ,那么
i 4n ? 1 i 4n?1 ? i i 4n?2 ? ?1 i 4n?3 ? ?i

以上性质叫做 i 的周期性。 规定: i 0 ? 1 , i ? m ? i1 。 m (m∈ Z ? )

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[课堂练习] 计算(1) i 2007
1 (2) 3i ? 1 2i? i

(3) i ?5

2 (4) (? 4 3 i)(? 5 i)(7i)

解(1) i 2007 = i 4*501?3 ? ?i
5 i 5 3 1 (2) 3i ? 1 2 i ? i ? 2 i ? i*i ? 2 i ? i ? 2 i

i (3) i ?5 ? i15 ? i 4*11?1 ? 1 i ? i*i ? ?i
56 3 56 2 (4) (? 4 3 i)(? 5 i)(7i) ? 15 i ? ? 15 i

[本课小结] (1)理解和掌握虚数单位 i 的定义。 (2)掌握虚数单位 i 的计算

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授课日期 授课班级
学期授课计划 的章节顺序: 授 课 目 的 与 要 求:

3月 4日 512—3

3月4 日 512—9

3月4 日 512—10

第 5 章 复数 5.2 复数的概念

理解并掌握复数的概念与分类。

教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点:复数的概念 难点:复数的分类

课外作业(练习题与思考题) :

任课教师:李胜刚

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5.2 复数的概念

[新课引入] 考察方程 x 2 ? 4 x ? 8 ? 0 ,这个方程的判别式 Δ ? b2 ? 4ac ? (?4)2 ? 4 ? 8 ? ?16 ? 0 故它在实数范围无解。 应用配完全平方式的方法,原方程可化为

( x ? 2)2 ? ?4 ,因为 (?2i)2 ? ?4 ,所以 x ? 2 ? ?2i ,即 x1 ? 2 ? 2i, x2 ? 2 ? 2i
这样就扩大了数的范围,原方程有两个复数解。 [新课讲授] 1. 复数的概念 形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫做复数,a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部。 全体复数所组成的集合叫做复数集,用字母 C 表示。 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) 。 2. 复数的分类 ? ?有理数 b?0 ? ??? 实数? 复数 a ? bi(a, b ? R)? ?无理数 ?0 a ?0 ? ?b ? ?? 虚数 ??? 纯虚数 所有虚数组成的集合称为虚数集,用字母 I 表示,实数集 R 与虚数集 I 的并集 就是复数集 C,实数集 R 与虚数集 I 的交集是空集 ? 。 如果两个复数的实部和虚部分别相等,就说这两个复数相等。 如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数,那么这两个复数叫做共轭复数。 [课堂练习] 例 1 实数 m 取何值时,复数 (m2 ? 3m ? 2) ? (m2 ? 5m ? 6)i 是: (1) 实数; (2)虚数; (3)纯虚数 解(1)根据复数定义,如果复数是实数,那么它们的虚部为零, m2 ? 5m ? 6 =0 即 得 m=2 或 m=3 (2)如果复数是虚数,那么它的虚部不为零,即 m2 ? 5m ? 6 ? 0 得m ? 2且m ? 3 (2) 如果复数是纯虚数,那么实部为零且虚部不为零,即
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?m 2 ? 3m ? 2 ? 0 ? 2 ?m ? 5m ? 6 ? 0 ? m ? 1或m ? 2 解方程得 ? ?m ? 2 且m ? 3 因此,只有当 m ? 1 时,复数 (m2 ? 3m ? 2) ? (m2 ? 5m ? 6)i 才是纯虚数。 例 2 已知 (2 x ? 1) ? (3 ? x)i ? x ? (3 ? y)i ,其中,x,y 是实数,求想 x,y 解 根据复数相等的条件,得 ? 2x ? 1 ? x ? ?3 ? x ? ?(3 ? y) 解得 x ? 1, y ? ?5 [本课小结] (1)理解和掌握复数的概念。 (2)掌握复数的分类。

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学期授课计划 的章节顺序: 授 课 目 的 与 要 求:

3月 5日 512—3 第 5 章 复数

3月5 日 512—9 5.3 复数的运算 A

3月5 日 512—10

理解并掌握复数的加法与减法运算。

教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点:复数的加法与减法的规则 难点:复数的加法与减法的计算

课外作业(练习题与思考题) :

任课教师:李胜刚

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5.3 复数的运算 A [新课引入] 实数有实数的运算,复数是在实数上的扩张,那么也有它自己的运算。 [新课讲授] 1 复数的加法与减法 设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ,则 加法运算: z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i 减法运算: z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i 显然,两个复数的和差仍是一个复数。 2 复数加法的交换律与结合律 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) [课堂练习] 例题 1 计算(1) (5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i) (2) (1 ? i) ? (2 ? i3 ) ? (3 ? i5 ) ? (4 ? i 7 ) 解: (1) (5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i) = (5 ? 3 ? 2) ? (?6 ? 4 ? 1)i = ? 11i (2) (1 ? i) ? (2 ? i3 ) ? (3 ? i5 ) ? (4 ? i 7 ) = (1 ? i) ? (2 ? i) ? (3 ? i) ? (4 ? i) = (1 ? 2 ? 3 ? 4) ? (?1 ? 1 ? 1 ? 1)i =2 例题 2 设 ( x ? 2 yi) ? ( y ? 3xi) ? (5 ? 5i) ? 0 ,求实数 x 和 y 的值。 解:将原式化为 ( x ? y ? 5) ? (2 y ? 3x ? 5)i ? 0 根据复数相等的条件,有 ? x ? y ?5 ? 0 ? ?2 y ? 3x ? 5 ? 0 解方程组得 ?x ? 3 ? ?y ? 2 [本课小结] 加法运算: z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i 减法运算: z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 )
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授课日期 授课班级
学期授课计划 的章节顺序: 授 课 目 的 与 要 求:

3月 6日 512—3

3月6 日 512—9

3月6 日 512—10

第 5 章 复数 5.3 复数的运算 B

理解并掌握复数的乘法与除法运算。 掌握复数乘法的交换律、结合律、分配率。

教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点: 复数的乘法与除法运算 难点: 复数乘法的交换律、结合律、分配率

课外作业(练习题与思考题) :

任课教师:李胜刚

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5.3 复数的运算 B [新课引入] 复数有加减运算,那么它的乘法与除法运算有事怎样进行的。 [新课讲授] 1 复数的乘法与除法 乘法:复数的乘法可以按照多项式的乘法法则来进行,在所得的展开式中,将 实部和虚部分别合并,就得到所求的积。 设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ,则 z1 ? z2 ? (a ? bi)(c ? di) ? ac ? adi ? bci ? bd ? (ac ? bd) ? (ad ? bd)i 乘法的交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 乘法的结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) 乘法的分配率: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 除法:两个复数相除(除数不为零) ,先把他们写成分式形式,然后,分子、分 母同乘以分母的共轭复数,把结果化简并写成复数的一般形式。 设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ,则 z1 a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd) ? (bc ? ad)i ac ? bd (bc ? ad)i ? ? ? ? 2 ? 2 z2 c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2 c ? d2 c ? d2 [课堂练习] 例题 1 计算 (1) (1 ? 2i)(3 ? 4i)(11? 2i) (2) (1 ? 3i)3 (3) (1 ? i)8 解 (1) (1 ? 2i)(3 ? 4i)(11? 2i) = (11? 2i)(11? 2i) ? 121? (2i)2 ? 125 (2) (1 ?

3i )3 ? 1 ? 3 3i ? 3( 3i ) 2 ? ( 3i )3

= 1 ? 3 3i ? 9 ? 3 3i ? ?8 (3) (1 ? i)8 ? [(1 ? i)2 ]4 ? (1 ? 2i ? i 2 )4 ? (2i)4 ? 16 例题 2 计算
(1 ? 4i )(1 ? i ) ?1? i ? (1) (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) (2) (3) ? ? 3 ? 4i ?1? i ? 1 ? 2i (1 ? 2i)(3 ? 4i) (3 ? 8) ? (6 ? 4)i ? ? 解(1) (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) ? 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 9 ? 16 ? 5 ? 10i 1 2 ?? ? i = 25 5 5
10
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(2)
(1 ? 4i)(1 ? i) 5 ? 3i (5 ? 3i)(3 ? 4i) (15 ? 12) ? (20 ? 9)i ? ? ? 3 ? 4i 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 25 3 ? 29i 3 29 ? ? i = 25 25 25
99 99 99

? (1 ? i ) 2 ? ? 1 ? 2i ? i 2 ? ?1? i ? ? ?? ? (?i )99 ? ?i 99 ? i (3) ? ? ?? ? ? ? 2 ?1? i ? ? (1 ? i )(1 ? i ) ? ? ? [本课小结] (1) 乘法法则: z1 ? z2 ? (a ? bi)(c ? di) ? ac ? adi ? bci ? bd ? (ac ? bd) ? (ad ? bd)i 乘法的交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 乘法的结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 )

乘法的分配率: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 (2)除法法则 z1 a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd) ? (bc ? ad)i ac ? bd (bc ? ad)i ? ? ? ? 2 ? 2 z2 c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2 c ? d2 c ? d2

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本章新课巩固要点:
1.虚数单位 i 的定义 2.复数的概念及复数的分类 3.复数的加法与减法运算 4.复数的乘法与除法运算

教研室主任审阅:

年 改进措施:





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授课日期 授课班级
学期授课计划 的章节顺序: 授 课 目 的 与 要 求:

3 月 11 日 512—3
复习题 6A

3 月 11 日 512—9

3 月 11 日 512—10

1.掌握虚数单位 i 的定义 2.掌握复数的概念及复数的分类 3.能进行复数的加法与减法运算 4.能进行复数的乘法与除法运算

教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点:掌握复数的概念及复数的分类 难点:要求学生能进行复数的加法、减法、乘法与除法运算。

课外作业(练习题与思考题) :

P139.2.(2).6.

任课教师:李胜刚

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复习题 6A

[知识纲要] 1.掌握虚数单位 i 的定义 2.掌握复数的概念及复数的分类 3.复数的加法与减法 设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ,则 加法运算: z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i 减法运算: z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i 显然,两个复数的和差仍是一个复数。 4.复数加法的交换律与结合律 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) 5.复数的乘法与除法 乘法:设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ,则 z1 ? z2 ? (a ? bi)(c ? di) ? ac ? adi ? bci ? bd ? (ac ? bd) ? (ad ? bd)i 乘法的交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 乘法的结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) 乘法的分配率: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 除法:设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ,则 z1 a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd) ? (bc ? ad)i ac ? bd (bc ? ad)i ? ? ? ? 2 ? 2 z2 c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2 c ? d2 c ? d2 [课堂练习] 例题 1 计算 (1) (1 ? 2i)(3 ? 5i)(13 ? i) (2) (1 ? 3i)3 (3) (1 ? i) 8 解 (1) (1 ? 2i)(3 ? 5i)(13 ? i) = (13 ? i)(13 ? i) ? 169 ? 1 ? 170 (2) (1 ?

3i )3 ? 1 ? 3 3i ? 3( 3i ) 2 ? ( 3i )3

= 1 ? 3 3i ? 9 ? 3 3i ? ?8 (3) (1 ? i)8 ? [(1 ? i) 2 ]4 ? (1 ? 2i ? i 2 ) 4 ? (?2i) 4 ? 16 例题 2 计算

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(1 ? 4i )(1 ? i ) ?1? i ? (3) ? ? 3 ? 4i ?1? i ? 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) (1 ? 4) ? (2 ? 2)i 解(1) (1 ? 2i) ? (1 ? 2i) ? ? ? 1 ? 2i (1 ? 2i )(1 ? 2i ) 1? 4 ? 3 ? 4i 3 4 ?? ? i = 5 5 5
99

(1) (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) (2)

(2)

(1 ? 4i)(1 ? i) 5 ? 3i (5 ? 3i)(3 ? 4i) (15 ? 12) ? (20 ? 9)i ? ? ? 3 ? 4i 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 25 3 ? 29i 3 29 ? ? i = 25 25 25
99 99 99

? (1 ? i ) 2 ? ? 1 ? 2i ? i 2 ? ?1? i ? ? ? ? ? (?i )99 ? ?i 99 ? i (3) ? ? ?? ? ? ? 2 ?1? i ? ? (1 ? i )(1 ? i ) ? ? ? [本课小结] (1)加法运算: z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i 加法交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 加法结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 )

(2)减法运算: z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i (3) 乘法运算: z1 ? z2 ? (a ? bi)(c ? di) ? ac ? adi ? bci ? bd ? (ac ? bd) ? (ad ? bd)i 乘法的交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 乘法的结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) 乘法的分配率: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 (4)除法运算 z1 a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd) ? (bc ? ad)i ac ? bd (bc ? ad)i ? ? ? ? 2 ? 2 z2 c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2 c ? d2 c ? d2

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授课日期 授课班级
学期授课计划 的章节顺序: 授 课 目 的 与 要 求:

3 月 12 日 512—3
复习题 6B

3 月 12 日 512—9

3 月 12 日 512—10

1.掌握虚数单位 i 的性质 2.复数的分类

教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点:掌握复数的概念及复数的分类 难点:掌握虚数单位 i 的性质。

课外作业(练习题与思考题) :

任课教师:李胜刚

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复习题 6B

[知识纲要] 1.掌握虚数单位 i 的性质 由虚数单位 i 的规定,可以推出虚数单位 i 具有以下特性:
i1 ? i i 2 ? ?1 i 3 ? i 2 * i ? ?i i4 ? i2 *i2 ? 1 i 7 ? i 4 * i 3 ? ?i i8 ? i 4 * i 4 ? 1

i 5 ? i 4 * i1 ? i

i 6 ? i 4 * i 2 ? ?1

一般地,如果 n∈ Z ? ,那么
i 4n ? 1 i 4n?1 ? i i 4n?2 ? ?1 i 4n?3 ? ?i

以上性质叫做 i 的周期性。 规定: i 0 ? 1 , i ? m ? i1 。 m (m∈ Z ? ) 3. 复数的分类
? ?有理数 b?0 ? ??? 实数? 复数 a ? bi(a, b ? R)? ?无理数 ?0 a ?0 ? ?b ? ?? 虚数 ??? 纯虚数 所有虚数组成的集合称为虚数集,用字母 I 表示,实数集 R 与虚数集 I 的并集 就是复数集 C,实数集 R 与虚数集 I 的交集是空集 ? 。 如果两个复数的实部和虚部分别相等,就说这两个复数相等。 如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数,那么这两个复数叫做共轭复数。

[课堂练习] 例题 1 选择题 (1)如果 x ? i 4 ? i 5 ? ? ? i12 , y ? i 4 ? i 5 ? ?? i12 ,那么 x 与 y 的大小关系是() D..不确定 A..x ? y B..x ? y C..x ? y
- i1 ? i 2 ? i 3) ? 0( - i1 ? i 2 ? i 3) ?1 解:x ? i 4 ? i 5 ? ? ? i12 ? i1 ? i 2 ? i 3 ? i 4 ? ? ? i12 (

y ? i ? i ? ?? i ? i ?i ? i 8?9 ? 1 所以选 A (2)复数 i n ? i n?1 ? i n?2 ? i n?3 (n ? N ? ) 的结果是() A. 1 B.0 C.i D. i n
4 5 12

4?5?6.... ?12

(4?12)(12?3) 2

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解析:根据虚数单位的周期性有: i n ? i n?1 ? i n?2 ? i n?3 ? 0 故选 B 例题 2 计算下列各式中的 x 和 y 值。 6 (1) ( x ? y ) 2 i ? ? x ? ? y ? 5( x ? y )i ? 1 i x y 5 ? ? (2) 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i 解: (1)原式可以化为: ( x ? y) 2 ? 6 i ? x ? 5( x ? y)i ? 1 ? y 根据复数相等可得 ?( x ? y ) 2 ? 6 ? 5( x ? y) ? ? x ? ?1 ? y ? 3 ? ?x ? 2 ? x ? 2 解得: ? 或? ? y ? 1 ?y ? 1 2 ? 解: (2)原式可以化为: x(1 ? i) y(1 ? 2i) 5(1 ? 3i) ? ? (1 ? i)(1 ? i) (1 ? 2i)(1 ? 2i) (1 ? 3i)(1 ? 3i) x(1 ? i ) y (1 ? 2i ) 5(1 ? 3i ) ? ? 在化为: 2 5 10 x y ? x 2y ? 1 3 即: ? ? ? ? ?i ? ? i 2 5 ?2 5 ? 2 2 根据复数相等可得 ?x y 1 ?2?5 ?2 ? x ? ?1 解得: ? ?x 2y 3 ? y?5 ? ? ? 2 ?2 5 [本课小结] 1.掌握虚数单位 i 的性质 2. 复数的分类

?

?

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授课日期 授课班级
学期授课计划 的章节顺序: 授 课 目 的 与 要 求:

3 月 13 日 512—3

3 月 13 日 512—9

3 月 13 日 512—10

第 6 章 平面向量 6.1 平面向量的概念

1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示; 2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并会辨认图形 中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量; 3.了解平行向量的概念.

教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点:向量概念、相等向量概念、向量几何表示 难点:向量概念的理解

课外作业(练习题与思考题) :

任课教师:李胜刚

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6.1 平面向量的概念 [新课引入] 在现实生活中,我们会遇到很多量,其中一些量在取定单位后用一个实数 就可以表示出来,如长度、质量等.还有一些量,如我们在物理中所学习的位移, 是一个既有大小又有方向的量,这种量就是我们本章所要研究的向量. [新课讲授] 1.向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b等表示; ③用有向线段的起点与终点字 母: AB ; ④向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB |. 3.零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 0 的方向是任意的
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

注意 0 与 0 的区别

王新敞
奎屯

新疆

②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都是只限制大小,不确定方向. 4.平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整 定义; (2)向量a 、b 、c 平行,记作a ∥b ∥ c. 5.相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明: (1)向量a与b相等,记作a=b; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有 .. 向线段的起点无关 . ........ 6.共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
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有向线段有三个要素:起点、方向、长度. 既有大小又有方向的量,我们叫做向量,有些向量既有大小、方向、作用 点(起点),比如力;有些向量只有大小、方向,比如位移、速度,我们现在所 学的向量一般指后者. 2.向量不能比较大小 我们知道,长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量,但是两个向量 之间只有相等关系,没有大小之分, “对于向量a,b,a>b,或a<b”这 种说法是错误的. 3.实数与向量不能相加减,但实数与向量可以相乘. 初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减 法,这是错误的.实数与向量之间不能相加减,但可相乘,相乘的意义就是几个 相等向量相加. 4.向量与有向线段的区别: (1)向量是自由向量,只有大小和方向两个要素;与起点无关:只要大小 和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向 相同,也是不同的有向线段

[课堂练习] 1.平行向量是否一定方向相同?(不一定) 2.不相等的向量是否一定不平行?(不一定) 3.与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) 4.与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) 5.若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量) 6.两个非零向量相等的充要条件是什么?(长度相等且方向相同) 7.共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 8.如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出 图 中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向量
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[本课小结] 向量及向量的有关概念、表示方法,还知道有两个特殊向量,最后学了向量间 的两种关系,即平行向量(共线向量)和相等向量
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第 6 章 平面向量 6.2 向量的加法和减法 A

(1) 掌握向量加法的定义 (2) 会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和 向量 (3) 掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算
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教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点:用向量加法的三角形法则和平行四边形法则,作两个向量的和向量. 难点:向量的加法和减法的定义的理解

课外作业(练习题与思考题) :

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6.2 向量的加法和减法 A [新课引入] 向量与有向线段的区别:向量是自由向量,只有大小和方向两个要素;与 起点无关:只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;有向线段有 起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有 向线段 [新课讲授] 1. 向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法
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几何中向量加法是用几何作图来定义的,一般有两种方法,即向量加法的三 角形法则( “首尾相接,首尾连” )和平行四边形法则(对于两个向量共线不适 应)
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对于零向量与任一向量 a ,有

a?0 ? 0?a ? a

2.向量加法的交换律: a + b = b + a 3.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 [课堂练习]
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1、一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实 际航行的速度的大小为 4 km / h ,求水流的速度
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2、一艘船距对岸 4 3km ,以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,到 达对岸时,船的实际航程为 8km,求河水的流速
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3、一艘船从 A 点出发以 v1 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流 速为 v2 ,船的实际航行的速度的大小为 4 km / h ,方向与水流间的夹角是 60 ? ,求
v 1 和 v2
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[本课小结] 1?向量加法的几何法则;2?交换律和结合律; 3?注意:| a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向相同时取等号
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第 6 章 平面向量 6.2 向量的加法和减法 B

(1) 了解相反向量的概念; (2) 掌握向量的减法,会作两个向量的减向量

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教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点:向量减法的概念和向量减法的作图. 难点:对向量减法定义的理解
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6.2 向量的加法和减法 B [新课引入] 1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向. 2.向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母a、b等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: AB ; ④向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB |. 3.零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 0 的方向是任意的 ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是 只限制大小,不确定方向. 4.平行向量定义:
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①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平行.向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. 5.相等向量定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量. [新课讲授] 向量的减法 1.用“相反向量”定义向量的减法: 1?“相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量 记作 ?a 2?规定:零向量的相反向量仍是零向量 ?(?a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量 a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a + b = 0 3?向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法 2.用加法的逆运算定义向量的减法: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b 3.求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法:在平面内取一 点 O,
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作 OA = a,

OB = b, 则 BA = a ? b
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即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量
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注意:1? AB 表示 a ? b 强调:差向量“箭头”
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指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量,a ? b = a + (?b) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一
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a∥b∥c a b a b

a ? b = a + (?b) a?b O B A a?b O

a?b B’ O a?b A B a?b O

A ?b B
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B

A

[课堂练习] 例 1 已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d

解:在平面上取一点 O,作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 作 BA , DC , 则 BA = a?b,

DC = c?d

例 2 平行四边形 ABCD 中, AB ? a , AD ? b ,用 a , b 表示向量 AC 、 DB 解:由平行四边形法则得:

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AC = a + b, DB = AB ? AD = a?b
变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直?(|a| = |b|) 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b 互相垂直) 变式三:a+b 与 a?b 可能是相当向量吗?(不可能,∵ 对角线方向不同) [本课小结] 向量减法的定义、作图法
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6.3 数乘向量

1.掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义; 2.掌握实数与向量的积的运算律; 3.理解两个向量共线的充要条件,能够运用共线条件判定两向量是否平 行.

教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点:掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件 难点:对向量共线的充要条件的理解

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5.1 虚数单位 i 的定义 [新课引入]
? ? ? ? ? ? ? 1.示例:已知非零向量 a ,作出 a + a + a 和(? a )+(? a )+(? a ) ? ? ? ? OC = OA ? AB ? BC = a + a + a =3 a
? ? ? ? PN = PQ ? QM ? MN =(? a )+(? a )+(? a )=?3 a ? ? ? ? ? ? ? ? (1)3 a 与 a 方向相同且|3 a |=3| a |; (2)?3 a 与 a 方向相反且|?3 a |=3| a |

[新课讲授]
? ? 2.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a ? ? (1)|λ a |=|λ || a |
? ? ? ? ? (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 ? ? 3.运算定律 结合律:λ (μ a )=(λ μ) a ① ? ? ? 第一分配律:(λ +μ) a =λ a +μ a ② ? ? ? ? 第二分配律:λ ( a + b )=λ a +λ b ③

结合律证明:
? 如果λ =0,μ=0, a = 0 至少有一个成立,则①式成立 ? ? ? ? 如果λ ?0,μ?0, a ? 0 有:|λ (μ a )|=|λ ||μ a |=|λ ||μ|| a | ? ? ? |(λ μ) a |=|λ μ|| a |=|λ ||μ|| a | ? ? ∴|λ (μ a )|=|(λ μ) a | ? 如果λ 、μ 同号,则①式两端向量的方向都与 a 同向; ? 如果λ 、μ 异号,则①式两端向量的方向都与 a 反向 ? ? 从而λ (μ a )=(λ μ) a
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4.向量共线的充要条件

? ? ? ? ? ? ? 若有向量 a ( a ? 0 )、 b ,实数λ ,使 b =λ a ,则 a 与 b 为共线向量

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? ? ? ? ? ? ? ? ? 若 a 与 b 共 线 ( a ? 0 ) 且 | b | : | a |=μ , 则 当 a 与 b 同 向 时 b =μ a ;
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? ? ? ? 当 a 与 b 反向时 b =?μ a 从而得
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? ? 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是: 有且只有一个非零实数 ? ? λ ,使 b =λ a
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[课堂练习] 例 1 若 3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n. 分析:此题可把已知条件看作向量m、n 的方程,通过方程组的求解获得 m、n. 解:记 3m+2n=a① m-3n=b② 3?②得3m-9n=3b③ 1 3 ①-③得 11n=a-3b. ∴n= a- b④ 11 11 3 2 将④代入②有:m=b+3n= a+ b 11 11 1 例 2 凸四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为 E、F,求证 EF = ( AB + DC ). 2 解:构造三角形,使 EF 作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决. 过点 C 在平面内作 CG = AB ,则四边形 ABGC 是平行四边形,故 F 为 AG 中点.
1 ∴EF 是△ADG 的中位线,∴EF = DG , 2 1 DG . 2

∴ EF =

而 DG = DC + CG = DC + AB ,
2 [本课小结] 通过本节学习,要求大家掌握实数与向量的积的定义,掌握实数与向量的 积的运算律,理解两个向量共线的充要条件,并能在解题中加以运用.

∴ EF = 1 ( AB + DC ).

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6.4 向量的坐标表示及运算 A

(1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线

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教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

教学重点:平面向量的坐标运算
教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性
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5.1 虚数单位 i 的定义 [新课引入] 平面直角坐标系内,平面上的没一点都可用一对实数来表示,同样的,在平面 直角坐标系内,每一个平面向量也都可以用一对实数来表示。 [新课讲授] 1.平面向量的坐标表示 如图, 在直角坐标系内, 我们分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底 任作一个向量 a , 由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,
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使得
1 a ? xi ? yj ????○

我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 2 a ? ( x, y) ????○ 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴
2 式叫做向量的坐标表示 上的坐标,○ 与 .a 相等的向量的坐标也为 ..........( x, y ) 特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0)
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如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确定 设 OA ? xi ? yj , 则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是向量
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OA 的坐标 因此,在平面直角坐标系内,每一个 平面向量都是可以用一对实数唯一表示 2.平面向量的坐标运算 ( 1 ) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 设基底为 i 、 j ,则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y2 ) j 即 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) (2) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
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AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1) (3)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 设基底为 i 、 j ,则 ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj ,即 ?a ? (?x, ?y)
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[课堂练习] 例 1 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标使 这四点构成平行四边形四个顶点
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解:当平行四边形为 ABCD 时,由 AB ? DC 得 D1=(2, 2) 当平行四边形为 ACDB 时,得 D2=(4, 6) 当平行四边形为 DACB 时,得 D3=(?6, 0) 例 2 已知三个力 F1 (3, 4), 求 F3 的坐标
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F2 (2, ?5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0

解:由题设 F1 + F2 + F3 = 0

得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0) ∴ F3 (?5,1)

?3 ? 2 ? x ? 0 即: ? ?4 ? 5 ? y ? 0
[本课小结] 1.向量的坐标概念

? x ? ?5 ∴? ? y ?1

2.向量坐标的运算

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6.4 向量的坐标表示及运算 B

(1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线

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教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点:平面向量的坐标运算
难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性

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6.4 向量的坐标表示及运算 B [新课引入] 用坐标方法来表示向量平行 [新课讲授] ? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0

? ? ? ? 设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2) 其中 b ? a

? ? 由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ (x2, y2)

? x ? ?x2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2

消去λ ,x1y2-x2y1=0

探究: (1)消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ? ∵ b ? 0 ∴x2, y2 中至少有一个不为 0 (2)充要条件不能写成

y1 y 2 ? x1 x 2

∵x1, x2 有可能为 0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式:

? ? ? a ∥b (b ?0 )?

a ? ?b x1 y 2 ? x2 y1 ? 0

[课堂练习]

? ? 例 1 若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x ? ? 解:∵ a =(-1,x)与 b =(-x, 2) 共线
∴x=± 2 ∴(-1)?2- x?(-x)=0 ∴x= 2

? ? ∵ a 与 b 方向相同

例 2 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直 线 AB 与平行于直线 CD 吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)
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, CD =(2-1,7-5)=(1,2)

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又 ∵2?2-4?1=0 ∴ AB ∥ CD 又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) 2?4-2?6?0 ∴A,B,C 不共线 ∴ AC 与 AB 不平行 ∴AB 与 CD 不重合 ∴AB∥CD

AB =(2, 4)

[本课小结] 向量平行的充要条件(坐标表示)

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6.5 向量的数量积 A

1 掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 4 掌握向量垂直的条件
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教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

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6.5 向量的数量积 A [新课引入] [新课讲授] 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ (0≤θ ≤ π )叫a与b的夹角 说明: (1)当θ =0时,a与b同向; (2)当θ =π 时,a与b反向; ? (3)当θ = 时,a与b垂直,记a⊥b; 2 (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的 范围 0?≤?≤180?
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C 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是 θ ,则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?,

(0≤θ ≤π ) 并规定 0 与任何向量的数量积为 0
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?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定 (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a?b, 而 a?b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分 符号“? ”在向量运算中不 是乘号,既不能省略,也不能用“?”代替 (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0, 不能推出 b=0 因为其中 cos?有可能为 0 (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c 但是 a?b = b?c a=c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但 a ? c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a
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共线的向量,而一般 a 与 c 不共线 3. “投影”的概念:作图
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定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当 ?为钝角时投影为 负值;当?为直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b| 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量 1?e?a = a?e =|a|cos? 2?a?b ? a?b = 0 3?当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|
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特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a 4?cos? =
a ?b | a || b |

5?|a?b| ≤ |a||b| [课堂练习] 例 1 判断正误,并简要说明理由

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①a? 0=0; ②0? a=0; ③0- AB = BA ; ④|a? b|=|a||b|; ⑤若a≠0,则对任一非零b有a?b≠0;⑥a?b=0,则a与b中至少有 一个为 0;⑦对任意向量a,b,с 都有(a?b)с =a(b?с ) ;⑧a与 2 2 b是两个单位向量,则a =b 解:上述 8 个命题中只有③⑧正确; 对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 0?a=0; 对于②:应有0?a=0; 对于④:由数量积定义有| a ? b |=| a |?|b |?| cos θ |≤| a||b|,这里θ 是a与b的夹角,只有θ =0或θ =π 时,才有|a?b|
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=|a|?|b|; 对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a?b=0; 对于⑥:由a?b=0可知a⊥b可以都非零; 对于⑦:若a与с 共线,记a=λ с 则a?b=(λ с ) ?b=λ (с ?b)=λ (b?с ) , ∴(a?b) ?с =λ (b?с )с =(b?с )λ с =(b?с )a 若a与с 不共线,则(a?b)с ≠(b?с )a 评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律 例 2 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角 是 60°时,分别求a?b 解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ =0°, ∴a?b=|a|?|b|cos0°=3?6?1=18; 若a与b反向,则它们的夹角θ =180°, ∴a?b=|a||b|cos180°=3?6?(-1)=-18; ②当a⊥b时,它们的夹角θ =90°, ∴a?b=0; ③当a与b的夹角是 60°时,有 1 a?b=|a||b|cos60°=3?6? =9 2 评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°] ,因 此,当a∥b时,有 0°或 180°两种可能
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[本课小结] 通过本节学习,要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律, 并能运用它们解决相关的问题

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6.5 向量的数量积 B

1 掌握平面向量数量积运算规律; 2 能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解 决一些简单问题
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教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点:平面向量数量积及运算规律 难点:平面向量数量积的应用
课外作业(练习题与思考题) :

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6.5 向量的数量积 B [新课引入] [新课讲授] 平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为?,则 a ? b = |a||b|cos?,b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a 2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 证:若 ? > 0,( ? a)?b = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?,a?( ? b) = ? |a||b|cos?, 若 ? < 0,( ? a)?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?, a?( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos? 3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c
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在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, ∵a + b (即 OB )在 c 方向上的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和, 即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 ∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2 ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即:(a + b)?c = a?c + b?c 说明: (1)一般地,(a?b)с ≠a(b?с ) (2)a?с =b?с ,с ≠0 a=b (3)有如下常用性质:a2=|a|2, (a+b) (с +d)=a?с +a?d+b?с +b?d (a+b)2=a2+2a?b+b2 [课堂练习] 例 1 已知 a、 b 都是非零向量, 且 a + 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直, 求 a 与 b 的夹角 解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 ① 2 2 (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a ? 30a?b + 8b = 0 ② 2 两式相减:2a?b = b 代入①或②得:a2 = b2
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设 a、b 的夹角为?,则 cos? =

a?b b2 1 ? ? 2 | a || b | 2 | b | 2
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∴? = 60?

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例 2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 解:如图:
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ABCD 中, AB ? DC , AD ? BC , AC = AB ? AD
2 2

∴| AC |2= | AB ? AD | 2 ? AB ? AD ? 2 AB ? AD 而 BD = AB ? AD ∴| BD |2= | AB ? AD | 2 ? AB ? AD ? 2 AB ? AD ∴| AC |2 + | BD |2 = 2 AB ? 2 AD = | AB |2 ? | BC |2 ? | DC |2 ? | AD |2 例 3 四边形 ABCD 中,AB =a,BC =b,CD =с ,DA =d, 且a ? b=b? с =с ?d=d?a,试问四边形 ABCD 是什么图形? 分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四 边形的边角量 解:四边形 ABCD 是矩形,这是因为: 一方面:∵a+b+с +d=0, ∴a+b=-(с +d) ,∴(a+b)2=(с +d)2 即|a|2+2a?b+|b|2=|с |2+2с ?d+|d|2 由于a?b=с ?d, ∴|a|2+|b|2=|с |2+|d|2① 同理有|a|2+|d|2=|с |2+|b|2② 由①②可得|a|=|с |,且|b|=|d|即四边形 ABCD 两组对边分 别相等 ∴四边形 ABCD 是平行四边形 另一方面,由a?b=b?с ,有b(a-с )=0,而由平行四边形 ABCD 可得a=-с ,代入上式得b?(2a)=0 即a?b=0,∴a⊥b也即 AB⊥BC 综上所述,四边形 ABCD 是矩形
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2

2

2

2

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[本课小结] 通过本节学习,要求大家掌握平面向量数量积的运算规律,掌握两个向量共线、 垂直的几何判断,能利用数量积的 5 个重要性质解决相关问题
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授课日期 授课班级
学期授课计划 的章节顺序: 授 课 目 的 与 要 求:

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6.5 向量的数量积 B

⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题
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教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

教学重点:平面向量数量积的坐标表示 教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用

课外作业(练习题与思考题) :

任课教师:李胜刚
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6.5 向量的数量积 B [新课引入] [新课讲授] ⒈平面两向量数量积的坐标表示 ? ? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,试用 a 和 b 的坐标表示 a ? b
? ? 设 i 是 x 轴上的单位向量, j 是 y 轴上的单位向量,那么

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? ? ? ? ? ? a ? x1i ? y1 j , b ? x2 i ? y2 j

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 a ? b ? ( x1i ? y1 j )(x2 i ? y2 j ) ? x1 x2 i 2 ? x1 y2 i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j 2
? ? ? ? ? ? ? ? 又 i ? i ? 1, j ? j ? 1 , i ? j ? j ? i ? 0 ? ? 所以 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 ? ? 即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 2.平面内两点间的距离公式 ? ? ? (1)设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |? x 2 ? y 2

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? (2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ,

? 那么 | a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)

3.向量垂直的判定 ? ? ? ? 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

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4.两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) ? ? x1 x 2 ? y1 y 2 a ?b ? cos? = ? 2 2 2 2 | a |?|b| x1 ? y1 x 2 ? y 2 [课堂练习] ? ? ? ? 例 1 设 a = (5, ?7), b = (?6, ?4),求 a ? b
? ? 解: a ? b = 5?(?6) + (?7)?(?4) = ?30 + 28 = ?2

? ? ? 例 2 已知 a (1, 2), b (2, 3), c (?2, 5),求证:△ABC 是直角三角形
证明:∵ AB =(2?1, 3?2) = (1, 1),

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AC = (?2?1, 5?2) = (?3, 3)
∴ AB ? AC

∴ AB ? AC =1?(?3) + 1?3 = 0

∴△ABC 是直角三角形 ? ? ? ? ? ? ? 例 3 已知 a = (3, ?1), b = (1, 2),求满足 x ? a = 9 与 x ? b = ?4 的向量 x ? 解:设 x = (t, s), ? ? x?a ? 9 ? 3t ? s ? 9 ?t?2 ? 由? ? ∴ x = (2, ?3) ?? ?? x ? b ? ?4 ?t ? 2s ? ?4 ?s ? ?3
? 例 4 已知 a =(1,

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? ? ? , b =( 3 +1, 3 -1) ,则 a 与b 3)

的夹角是多少?
? ? ? ? b 及| a |?| b |,再结合 分析:为求 a 与 b 夹角,需先求 a

?

?

?

夹角θ 的范围确定其值.
? 解:由 a =(1, ? 有a ?b =

? , b =( 3 +1, 3 -1) 3)

?

? ? 3 +1+ 3 ( 3 -1)=4,| a |=2,| b |

=2

2.
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? ? 记a 与 b 的夹角为θ

,则 cosθ =
4

? ? a ?b 2 ? ? ? 2 a?b

又∵0≤θ ≤π ,∴θ = ?

评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定.
? ? 例 5 如图,以原点和 A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC,使? b = 90?,求点 b 和
向量 AB 的坐标
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? 解:设 b 点坐标(x, y),则 OB = (x, y), AB = (x?5, y?2)
∵ OB ? AB 又∵| OB | = | AB | ∴x(x?5) + y(y?2) = 0 即:x2 + y2 ?5x ? 2y = 0 ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2 即:10x + 4y = 29

? 7 3 ? x1 ? x2 ? ?x 2 ? y 2 ? 5x ? 2 y ? 0 ? ? ? 2 或? 2 ?? 由? 3 7 ?10x ? 4 y ? 29 ? y1 ? ? ? y2 ? ? 2 ? 2 ?

? 7 3 3 7 3 7 7 3 ∴ b 点坐标 ( ,? ) 或 ( , ) ; AB = (? ,? ) 或 ( ? , ) 2 2 2 2 2 2 2 2

[本课小结]

两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示

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6.4 向量的坐标表示及运算 B

(1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线

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教学方法:讲练结合 授课主要教具: 新课重点与难点:

重点:平面向量的坐标运算
难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性

课外作业(练习题与思考题) :

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6.5 向量的数量积 B [新课引入] [新课讲授] [课堂练习] [本课小结]

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