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2012年高考数学分类汇编:直线方程与圆的方程


2012 年高考数学分类汇编 直线方程与圆的方程
一、选择题 1 . (2012 年高考(陕西理) 已知圆 C : x )
2

? y 2 ? 4x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则 (



A. l 与 C 相交
2

B. l 与 C 相切 C.

l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能

. 2012 年 高 考 ( 天 津 理 ) 设 ( )

m , n ? R , 若 直 线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与 圆
( )

(x ?1)2 +(y ?1)2 =1相切,则 m +n 的取值范围是
A. [1 ? 3,1+ 3] C. [2 ? 2 2,2+2 2] B. ( ? ?,1 ? 3] ? [1+ 3,+?) D. ( ? ?,2 ? 2 2] ? [2+2 2,+?)
2

3 . (2012 年高考(重庆文) 设 A,B 为直线 y ? x 与圆 x )

? y 2 ? 1 的两个交点,则 | AB |?
( )

A.1

B. 2
2

C. 3

D.2 )

4 . (2012 年高考(陕西文) 已知圆 C : x )

? y 2 ? 4x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则 (
C. l 与 C 相离

A. l 与 C 相交

B. l 与 C 相切

D.以上三个选项均有可能

5 . 2012 年 高 考 ( 山 东 文 ) 圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与 圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 的 位 置 关 系 为 ( )

( B.相交 C.外切 D.相离 2 2 6 . (2012 年高考(辽宁文) 将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是 ) A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 A.内切 (

) )

7 . (2012 年高考(湖北文) 过点 P(1,1) 的直线,将圆形区域 ( x, y ) | x ? y ? 4 分两部分, )
2 2

?

?

使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 A. x ? y ? 2 ? 0 B. y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 0

( D. x ? 3 y ? 4 ? 0



8 . (2012 年高考(广东文) (解析几何)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 )

x2 ? y 2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于
A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D.1





9 . (2012 年高考(福建文) 直线 x ? )

2 y ? 2 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,则弦 AB
( )

的长度等于 A. 2 5 B. 2 3 . C. 3 D.1

10 . (2012 年高考(大纲文) 正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC )

上, AB ? BF ?

1 动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反 3
( )

射角等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 A.8 B.6 C.4 D.3
11. (2012 年高考(安徽文) 若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a) )
2

? y 2 ? 2 有公共点,则实数 a 取
( )

值范围是 A. [?3, ?1] B. [?1,3] C. [?3,1]

D. (??, ?3] ? [1, ??)
2

12 . (2012 年高考(重庆理) 对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x )

? y 2 ? 2 的位置关系一定
( ) D.相交且直

是 A.相离 线过圆心
二、填空题

B.相切

C.相交但直线不过圆心

13. (2012 年高考(浙江文) 定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l )

的距离,已知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的 距离,则实数 a=_______.
14. (2012 年高考(天津文) 设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴 )

2

2

2

相交于 B ,且 l 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交所得弦的长为 2, O 为坐标原点,则 ?AOB 面积的最 小值为_________.
15. (2012 年高考(上海文) 若 n ? (2, 1) 是直线 l 的一个方向向量,则 l 的倾斜角的大小为 )

__________(结果用反三角 函数值表示). 16. (2012 年高考(山东文) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的 ) 初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动. ??? ? 当圆滚动到圆心位于(2,1)时, OP 的坐标为____.
17. (2012 年高考(江西文) 过直线 x ? y ? 2 )

2 ? 0 上点 P 作圆 x2 ? y 2 ? 1的两

条切线,若两条切线的夹角是 60? ,则点 P 的坐标是__________。
18. (2012 年高考(北京文) 直线 y ? x 被圆 x )
2

? ( y ? 2)2 ? 4 截得的弦长为_____________

19 . (2012 年高考 (天津理) 如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦.过点 B 作圆的切线与 AC 的 )

延 长 线 相 交 于 点 D , 过 点 C 作 BD 的 平 行 线 与 圆 相 交 于 点 E , 与 AB 相 交 于 点

F , AF =3 , FB =1 , EF =

3 ,则线段 CD 的长为______________. 2
C A F E B D
2

20 . (2012 年高考(浙江理) 定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为 )

曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于 C2:x
2

+(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=______________.

2

21. (2012 年高考(江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 )

y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大
值是____.

考答案 一、选择题 1. 2.

解析: 3 ? 0 ? 4 ? 3 ? ?3 ? 0 ,所以点 P(3, 0) 在圆 C 内部,故选 A.
2 2

【答案】D 【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式, 一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力. 【解析】 ∵直线 (m ? 1) x+( n ?1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1)2 +(y ?1)2 =1相切,∴圆心 (1,1) 到直线 的距离为 d =

|(m ? 1)+(n ? 1) ? 2| (m ? 1)2 +(n ? 1)2

=1,所以 mn ? m ? n ? 1 ? (

m?n 2 ) ,设 t =m ? n , 2


3.

1 2 t ? t +1 ,解得 t ? (??,2 ? 2 2] ?[2+2 2,+ ?) . 4

【答案】:D 【解析】:直线 y ? x 过圆 x 2 ? y 2 ? 1的圆心 C (0, 0) 则 | AB |? 2 【考点定位】本题考查圆的性质,属于基础题.

4. 5.

解析: 3 ? 0 ? 4 ? 3 ? ?3 ? 0 ,所以点 P(3, 0) 在圆 C 内部,故选 A.
2 2

解析:两圆心之间的距离为 d ?

?? 2 ? 2?2 ? (0 ? 1) 2

? 17 , 两 圆 的 半 径 分 别 为

r1 ? 2, r2 ? 3 ,
则 r2 ? r1 ? 1 ? d ? r1 ? r2 ? 5 ,故两圆相交. 答案应选 B. 【答案】C 【解析】圆心坐标为(1,2),将圆平分的直线必经过圆心,故选 C 【点评】本题主要考查直线和圆的方程,难度适中. 7. A【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点 P 的圆的弦长达
6.

到最小,所以需该直线与直线 OP 垂直即可.又已知点 P(1,1) ,则 kOP ? 1 ,故所求直线的斜 率为-1.又所求直线过点 P(1,1) ,故由点斜式得,所求直线的方程为 y ?1 ? ? ? x ?1? ,即

x ? y ? 2 ? 0 .故选 A.
【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用,数形结合思想.本题的解题关键是通 过观察图形发现当面积之差最大时,所求直线应与直线 OP 垂直,利用这一条件求出斜率, 进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.
8. 9.

解析:B.圆心到直线的距离为 d ? 【答案】B

5 3 ?4
2 2

? 1 ,所以弦 AB 的长等于 2 r 2 ? d 2 ? 2 3 .

【解析】圆心 (0, 0) ,半径 r ? 2 ,弦长 | AB |? 2 22 ? (

| ?2 | 1 ?3
2

)2 ? 2 3

【考点定位】该题主要考查直线和圆的位置关系,考查计算求解能力. 10. 答案 B 【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通 过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图像分析反射的次 数即可. 【解析】 解:结合已知中的点 E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的 过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到 EA 点时, 需要碰撞 8 次即可.
11. 【解析】选 C 圆 ( x ? a)
2

? y 2 ? 2 的圆心 C (a, 0) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的

距离为 d 则 d ?r?
12.

2?

a ?1 2

? 2 ? a ? 1 ? 2 ? ?3 ? a ? 1

【答案】C 【解析】圆心 C (0, 0) 到直线 kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

1 ? ? 2 ? r ,且圆心 1? k 2 1

1

C (0, 0) 不在该直线上.
法二:直线 kx ? y ? 1 ? 0 恒过定点 (0,1) ,而该点在圆 C 内,且圆心不在该直线上,故选 C. 【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆 的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用 d 与 r 的大小为判断.当 0 ? d ? r 时,直线与圆相交,当 d ? r 时,直线与圆相切,当 d ? r 时,直线与圆相离.
二、填空题 13. 【答案】

7 4

【命题意图】本题主要考查了曲线到直线的距离问题,利用单数综合解决曲线到直线的距 离转为点到直线的距离.
2 2 【解析】C2:x +(y+4) =2,圆心(0,—4),圆心到直线 l:y=x 的距离为: d ?

0 ? ( ?4) 2

?2 2,

故曲线 C2 到直线 l:y=x 的距离为 d ? ? d ? r ? d ? 2 ? 2 . 另一方面:曲线 C1:y=x +a,令 y ? ? 2 x ? 0 ,得: x ?
2

1 2 ,曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离的 2
? a? 7 . 4

1 1 1 ? ( ? a) ?a 1 1 2 4 4 点为( , ? a ), d ? ? 2 ? ? 2 4 2 2

14. 【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为 A(0, ), B (

1 n

1 ,0) ,直线与圆相交所得的弦长为 2, m

2 2 2 圆心到直线的距离 d 满足 d ? r ? 1 ? 4 ? 1 ? 3 ,所以 d ? 3 ,即圆心到直线的距离

d?
S?
15.

?1 m ?n
2 2

? 3 , 所以 m 2 ? n 2 ?

1 1 1 1 1 . 三 角形 的面积 为 S ? ,又 ? ? 3 2 m n 2 mn

1 1 1 ? 2 ? 3 ,当且仅当 m ? n ? 时取等号,所以最小值为 3 . 2 6 2 mn m ? n
1 2

[解析] kl ?

,所以 l 的倾斜角的大小为 arctan1 . 2 解析:根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长,点 P 旋转

16.答案: (2 ? sin 2,1 ? cos 2)

了 2 弧度,此时点 P 的坐标为

x P ? 2 ? cos(2 ? ) ? 2 ? sin 2, 2 ? y P ? 1 ? sin(2 ? ) ? 1 ? cos 2, . 2 OP ? (2 ? sin 2,1 ? cos 2)
另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程 为?

?

C D

? x ? 2 ? cos? 3? ? 2, ,且 ?PCD ? 2, ? ? 2 ? y ? 1 ? sin ?

3? ? ? x ? 2 ? cos( 2 ? 2) ? 2 ? sin 2 则点 P 的坐标为 ? ,即 OP ? (2 ? sin 2,1 ? cos2) . 3? ? y ? 1 ? sin( ? 2) ? 1 ? cos 2 2 ?
17. 【答案】(

2, 2 )

【解析】本题主要考查数形结合的思想,设 p(x,y),则由已知可得 po(0 为原点)与切线的

?x ? 2 ? x2 ? y 2 ? 4 ? ? 夹角为 30 ,则|po|=2,由 ? 可得 ? . ?x ? y ? 2 2 ?y ? 2 ? ?
0

【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,直角三角形的性质,以及切线的性质,已知 切线往往连接圆心与切点,借助图形构造直角三角形解决问题,培养了学生数形结合的思 想,分析问题,解决问题的能力.
18. 【答案】 2

2
l ,圆心到直线的距离 2

【解析】将题目所给的直线与圆的图形画出,半弦长为

d?

2 12 ? (?1)2
2

? 2 ,以及圆半径 r?2 构成了一个直角三角形 , 因此
? 4 ? 2 ? 2 ?2 l ?8 l? ? 2 .

(

l 2 ) ? r 2 ?d 2

2

【考点定位】本小题涉及到的是直线与圆的知识,由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆, 对于二生来说,可能能些陌生,直线与圆相交求弦长,利用直角三角形解题,也并非难题.
19.

【答案】

4 3

【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定 理,相似三角形的概念、判定与性质.

3 ,由相交弦定理得 AF ? FB =EF ? FC ,所以 FC =2 ,又 2 AF FC AB 4 8 = ? FC = ? 2 = ,设 CD =x ,则 AD =4 x ,再由切割线 ∵BD∥CE,∴ , BD = AB BD AF 3 3 8 2 4 4 2 定理得 BD =CD ? AD ,即 x ? 4 x =( ) ,解得 x = ,故 CD = . 3 3 3
【解析】∵ AF =3 , FB =1 , EF =
20.

【答案】

9 4
0 ? ( ?4) 2 ?2 2,

2 2 【解析】C2:x +(y+4) =2,圆心(0,—4),圆心到直线 l:y=x 的距离为: d ?

故曲线 C2 到直线 l:y=x 的距离为 d ? ? d ? r ? d ? 2 ? 2 . 另一方面:曲线 C1:y=x +a,令 y ? ? 2 x ? 0 ,得: x ?
2

1 2 ,曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离的 2
? a? 9 . 4

1 1 1 ? ( ? a) ?a 1 1 2 4 4 ?? 2? 点为( , ? a ), d ? 2 4 2 2
21. 【答案】

4 . 3
2

【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离 【解析】∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4? ? y2 ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1. ∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆

C有
公共点; ∴存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 . ∵ ACmin 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离 ∴ k 的最大值是

4k ? 2 k ?1
2

,∴

4k ? 2 k ?1
2

? 2 ,解得 0 ? k ?

4 . 3

4 . 3


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