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小专题复习课 热点总结与强化训练(一)充要条件 导数的应用

时间:2013-02-22


热点总结与强化训练(一)

热点1

充要条件

1.本热点在高考中的地位 由于充要条件考查形式的多样性和考查内容的广泛性,所 以充要条件一直是各省在每年高考中必考的一个知识点.利用 充要条件,可以直接考查逻辑知识,如命题真假的判断;也可 以利用充要性的判断过程去考查其他知识点,如不等式的性质, 函数的性质和应用,线面位置关系的确定,数列中某些结论是

否成立,解析几何中参数的取值,三角函数图像的特征等.

2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对充要条件的考查主要有以下三种方式:

(1)判断条件的充要性,(2)求充要条件,(3)条件充要性的应
用,如已知充要关系求参数的范围等.

1.判断条件充要性的关键点
若判断p是q的充要条件,就需要严谨推证两个命题: p?q,q?p;若判断p不是q的充要条件,则往往用举反例的方法.

2.充要条件的求解(证明)方法
求充要条件时,一般先求必要条件,再证明其充分性;另 一方面,充要条件揭示了p与q的等价性,若每一步都是等价变 形,也就找到了充要条件. 证明充要条件时,一是注意审题,区分“p是q的充要条件” 和“p的充要条件是q”这两种说法;二是充分性和必要性都需 要证明.

3.条件充要性的应用技巧 若条件p:集合A,条件q:集合B,则 条 件 关 系 p?q p?q,q ? p 集 合 关 系 A?B A? B

p?q A=B 即将充要条件转化为相应的集合关系,再根据集合间端点 的大小关系确定参数的范围,特别注意端点是否符合要单独验

证.

复习充要条件时,除理解充要条件的有关概念和掌握常见 题型的解法外,对其他相关知识点的把握更是关键,因为充要 条件的判定,就是一个推导的过程,能否由p顺利推出q,是取 决于其他知识点的,同时注意反例的应用.举出一个反例,即

可否定推出关系.

(1)(2011·江西高考)已知α 1,α 2,α 3是三个相互平行的平面, 平面α 1,α 2之间的距离为d1,平面α 2,α 3之间的距离为d2.直 线l与α 1,α 2,α 3分别相交于P1,P2,P3,那么“P1P2=P2P3”是 “d1=d2”的( ) (B)必要不充分条件

(A)充分不必要条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

(2)(2011·湖北高考)若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称

a与b互补,记φ(a,b)=
互补的( )

a 2 ? b2 -a-b,那么φ(a,b)=0是a与b

(A)必要而不充分的条件 (B)充分而不必要的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件

【解题指南】(1)先根据面面平行的性质定理得出线线平行, 再根据平行线分线段成比例这一性质,易得两者之间的关系. (2)从两方面推证:当φ(a,b)=0时,是否有a与b互补;当a与b 互补时,是否有φ(a,b)=0.

【规范解答】(1)选C.如图所示,由于α2∥α3,同时被第三个 平面P1P3N所截,故有P2M∥P3N,再由平行线分线段成比例易得
P1P2 d1 ? , 因此P1P2=P2P3?d1=d2. P2 P3 d 2

(2)选C.当φ(a,b)=0时, a 2 ? b2 =a+b,∴a2+b2=(a+b)2,即
ab=0,又a+b≥0,故a=0,b≥0或b=0,a≥0;当a与b互补时, a≥0,b≥0,且ab=0, ∴φ(a,b)=
a 2 ? b 2 ? a ? b ? (a ? b) 2 ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0.

因此φ(a,b)=0是a与b互补的充要条件.

1.(2011·福建高考)若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0” 的( ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充要条件

【解析】选A.由(a-1)(a-2)=0得a=1或a=2, 所以a=2?(a-1)(a-2)=0,

而(a-1)(a-2)=0 ? a=2,故“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充
分而不必要条件.

2.(2011·天津高考)设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是 “x2+y2≥4”的( ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

【解析】选A.x2+y2≥4表示以原点为圆心,以2为半径的圆以及

圆外的区域,故A正确.

3.(2012·合肥模拟)设条件p:a2+a≠0,条件q:a≠0;那么p是q 的( )

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件
(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

【解析】选A.若p?q为真命题且q?p为假命题,则命题p是命题 q的充分不必要条件; 条件p:a2+a≠0,即为a≠0且a≠-1,

故条件p:a2+a≠0是条件q:a≠0的充分不必要条件.
故选A.

4.给出下列四个命题:
(1)“直线a∥直线b”的必要不充分条件是“a平行于b所在的 平面”; (2)“直线l⊥平面α ”的充要条件是“l垂直于平面α 内的无数 条直线”; (3)“平面α ∥平面β ”是“α 内有无数条直线平行于平面β ” 的充分不必要条件;

(4)“平面α ⊥平面β ”的充分条件是“有一条与α 平行的直
线l垂直于β ”.

以上命题中,所有真命题的序号为______.

【解析】当直线a∥直线b时,推不出a平行于b所在平面,有可 能a也在b所在的平面内. 当α内的无数条平行线与l垂直时,得不出l⊥平面α. 当平面α∥平面β时,α内的所有直线都平行于平面β,一定 有α内的无数条直线平行于平面β;反之,当α内的平行于平

面β的无数条直线是平行线时,得不出平面α∥平面β.
当l∥α时,在α内一定存在直线l′,使l′∥l,又l⊥β,

∴l′⊥β,从而平面α⊥平面β.故真命题的序号为(3)(4).
答案:(3)(4)

热点2

导数的应用

1.本热点在高考中的地位

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而
函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数 的应用的考查都非常突出.

2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调 性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问 题. (4)考查数形结合思想的应用.

1.导数的几何意义
对可导函数y=f(x)来说,f′(x0)表示(f(x)的图像)在x=x0 处的切线的斜率. 2.利用导数判断函数的单调性 在区间(a,b)上f′(x)>0?f(x)在(a,b)上是单调增函数. f′(x)<0?f(x)在(a,b)上是单调减函数.

3.可导函数f(x)满足:当x<x0时,f′(x)>0,当x>x0时, f′(x)<0,则x0是函数f(x)的极大值点,f(x0)是f(x)的一个 极大值. 4.若f(x)在[a,b]上连续,则可以通过比较f(a)、f(b) 及f(x)的各个极值的大小,确定f(x)在[a,b]上的最大(最小)

值.

平时的备考中要从运算、化简入手,首先解决诸如导数的
运算、切线的求法,单调区间、极值及最值的求法等.在此基

础上,再结合其他相关知识解决函数的综合问题,对于生活中
的优化问题,应从提高建模能力入手,顺利建模是解题的关键, 本热点的知识难度较大,备考中应注意循序渐进,切不可急于 求成.

(2011·陕西高考)设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值; (2)讨论g(x)与g( 1 )的大小关系;
x

(3)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<

1 对任意x>0成立. a

【解题指南】(1)先求出函数f(x)的导数,再求得g(x),然后利
用导数判断函数的单调性(单调区间),并求出最小值;(2)作 差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调性, 并由单调性判断函数的正负;(3)对任意x>0成立的恒成立问 题转化为函数g(x)的最小值问题.

【规范解答】(1)由题设知f(x)=lnx,则f′(x)= ∴g′(x)=
x ?1 , 令g′(x)=0得x=1, 2 x

1 1 , g(x)=lnx+ , x x

当x∈(0,1)时,g′(x)<0, 故(0,1)是g(x)的单调递减区间; 当x∈(1,+≦)时,g′(x)>0,故(1,+≦)是g(x)的单调递增区 间. 因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小

值点,
所以g(x)的最小值为g(1)=1.

1 )=-lnx+x x 1 1 设h(x)=g(x)-g( )=2lnx-x+ , x x (x ? 1) 2 则 h?(x) ? ? , 2 x 当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g( 1 ), x

(2)g(

当x∈(0,1)∪(1,+≦)时,h′(x)<0,h′(1)=0 因此,h(x)在(0,+≦)内单调递减,

当0<x<1时,h(x)>h(1)=0,
即g(x)>g( ).
1 x

当x>1时,h(x)<h(1)=0,即g(x)<g(

1 ). x

综上所述,当x=1时,g(x)=g( );
当0<x<1时,g(x)>g( );
1 x

1 x

当x>1时,g(x)<g( ).
(3)由(1)知g(x)的最小值为1,所以g(a)-g(x)< 成立?g(a)-1< , 即lna<1,从而得0<a<e.
1 a 1 对任意x>0 a

1 x

1.(2011·新课标全国卷)已知函数 f (x) ? alnx ? b ,曲线y=f(x)
x ?1 x

在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0. (1)求a、b的值; (2)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>
lnx k 求k的取值范围. ? , x ?1 x

x ?1 ? lnx) b x 【解析】(1) f ?(x) ? ? 2. 2 (x ? 1) x 由于直线x+2y-3=0的斜率为 ? 1 , 且过点(1,1), 2 a(
?f (1) ? 1 ?b ? 1 ? ? 故? ,即 ? a , 1 1 , 解得a ? 1 b ? 1. ?f ?(1) ? ? 2 ? 2 ? b ? ? 2 ? ?

(2)由(1)知 f (x) ? lnx ? 1 ,

x ?1 x lnx k 1 (k ? 1)(x 2 ? 1) 所以 f (x) ? ( ? )? [2lnx ? ] . 2 x ?1 x 1 ? x x (k ? 1)(x 2 ? 1) 考虑函数 h(x) ? 2lnx ? (x>0), x (k ? 1)(x 2 ? 1) ? 2x 则 h?(x) ? . 2 x k(x 2 ? 1) ? (x ? 1) 2 知,当x≠1时,h′(x) (i)若k≤0,由 h?(x) ? x2

<0,h(x)单调递减.而h(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)>0,

可得

1 h(x)>0; 2 1? x

当x∈(1,+≦)时,h(x)<0,可得

1 h(x) >0 2 1? x

从而当x>0,且x≠1时,f (x) ? ( lnx ? k ) ? 0,即f (x) ? lnx ? k .
x ?1 x x ?1 x

(ii)若0<k<1,由于(k-1)(x2+1)+2x=(k-1)x2+2x+k-1的图像开口 向下,且Δ=4-4(k-1)2>0,对称轴x= 1 >1.当x∈(1, 1
1? k 1? k

)

时,(k-1)(x2+1)+2x>0,故h′(x)>0,而h(1)=0,故当 x∈(1, 1 )时,h(x)>0,可得
1? k 1 h(x) <0,与题设矛盾. 2 1? x

(iii)若k≥1,由于此时x2+1≥2x,(k-1)(x2+1)+2x>0?

h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈(1,+≦)时,h(x)>0,可得
1 h(x) <0,与题设矛盾. 2 1? x

综合得,k的取值范围为(-≦,0].

ex 2.(2011·安徽高考)设 f (x) ? , 其中a为正实数. 2 1 ? ax 4 (1)当a= 时,求f(x)的极值点; 3

(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.

1 ? ax 2 ? 2ax 【解析】对f(x)求导得, ?(x) ? e f . 2 2 (1 ? ax ) (1)当a= 4 时,令f′(x)=0,则4x2-8x+3=0,解得 x1 ? 3 ,x 2 ? 1 , 3 2 2
x

列表得

x
f′(x) f(x)

1 (-≦, ) 2

1 2

1 3 ( , ) 2 2

3 2

3 ( , +≦) 2

+ ↗

0 极大值



0 极小值

+ ↗

所以, 1 ? 3 是极小值点,x 2 ? 1 是极大值点. x
2

2

(2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合
1 ? ax 2 ? 2ax 与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成 f ?? x ? ? e (1 ? ax 2 ) 2
x

立,因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合a>0,知0<a≤1.

3.(2011·福建高考)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)= -ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.718 28?是自然对数的底数). (1)求实数b的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个 t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[ ,e])都有公共点?
1 e

若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理
由.

【解析】(1)由f(e)=2,得b=2. (2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx, 从而f′(x)=alnx,因为a≠0,故: ①当a>0时,由f′(x)>0得x>1; 由f′(x)<0得0<x<1;

② 当a<0时,由f′(x)>0得0<x<1; 由f′(x)<0得x>1. 综上,当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1,+≦). 当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+≦),单调递减区

间为(0,1).

(3)当a=1时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx. 由(2)可得,当x在区间[ , e]内变化时,f′(x),f(x)的变化 情况如表: x f′(x) f(x) ?
2 2- e 1 e
1 ( , 1) e 1 e

1 0 ?极小值1

(1,e) + ↗

e



2

又2- 2 <2,所以函数f(x)(x∈[ 1 e])的值域为[1,2].
e

据此可得,若 ?m ? 1 , 则对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线 ?
?M ? 2

e

,

y=f(x)(x∈[ 1 , e])都有公共点;
e

并且对每一个t∈(-≦,m)∪(M,+≦),直线y=t与曲线 y=f(x)(x∈[ 1 , e])都没有公共点.
e

综上,当a=1时,存在最小的实数m=1,最大的实数M=2,使得 对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[ 1 , e])都有公
e

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