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2.1合情推理与演绎推理


合情推理 推理

演绎推理 推理与证明
直接证明 证明 间接证明

已知的判断

确定

新的判断

根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.

数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3+7=10 3+17=20

13+17=30

10= 3+7 20= 3+17 30= 13+17
一个规律: 偶数=奇质数+奇质数

6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, ?? 1000=29+971, 1002=139+863, ??

猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.

归纳推理的过程: 哥德巴赫猜想的过程:
具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论

由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的 全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).

佛教《百喻经》中有这样一则故事。 从前有一 位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉 他:"要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.到了 果园,园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝 一个看."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个 个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己 动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去, 富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
第一个芒果是甜的 想一想: 故事中仆人的做法实际吗? 第二个芒果是甜的 换作你,你会怎么做? 第三个芒果是甜的

?

这个果园 的芒果都 是甜的

某课题组为了解本市的高中生数学学习状态,对四所 学校做了一个问卷调查,其中有两道题的统计数据如下:
高中数学 学习状态 问卷调查 甲学校 对数学 的印象 生动 活泼
19%

你认为数学 学习过程主要 是为了 发现 问题
11%

严肃 枯燥
71%

解决 问题
89%

乙学校
丙学校 丁学校

7%
16% 25%

75%
64% 53%

23%
21% 16%

77%
79% 84%

根据这四所学校的情况,你能判断该市高中生对 数学的普遍印象吗?

1,3,5,7,…,由此你猜想出第 n
2n ? 1 个数是_______.

这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.

1.已知数列{an}的第一项 a1 =1, an 且 an ?1 ? ( n =1,2,3,· · · ), 1 ? an

1 an ? 请归纳出这个数列的通项公式为________. n

归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意

由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论

归纳推理的结论不一定成立

地球

火星

行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存

温度适合生物的生存

有生命存在

可能有生命存在

火星与地球类比的思维过程:
存在类似特征

地球

火星

地球上有生命存在

猜测火星上也可能有生命存在

由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.

简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.

类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发 现的功能.

我们已经学习过“等差数列”与“等比数 列”.

你是否想过“等和数列”、“等积数列” ?

从第二项起,每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
类 推

从第二项起,每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质:
(1) a=b?a+c=b+c;

猜想不等式的性质:
(1) a>b?a+c>b+c;

(2) a=b? ac=bc;
(3) a=b?a2=b2;等等。

(2) a>b? ac>bc;
(3) a>b?a2>b2;等等。

类比推理的结论不一定成立.

例2:类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想. A


c2=a2+b2
c

a


s1 o s2 s3

b



B

C

2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC

总结:1.进行类比推理的步骤:
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; (2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征, 从而得出一个猜想; (3)检验这个猜想.

观察、比较

联想、类推

猜想新结论

2、类比推理的一般模式:

A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’, (a,b,c与a’,b’,c’相似或相同) ’ 所以B类事物可能具有性质d .

运用类比法的关键是:寻找一个合适的类比对象 练习:

1.如图,在平行四边形 ABCD 中,有

AC ? BD ? 2 AB ? AD
2 2 2

?

2

?
C1

那么,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,有 2 2 2 2 2 2 2 AC1 ? BD1 ? CA1 ? DB1 ? 4( AB ? AD ? AA1 )
D1 A1

B1

D

C
D C

A B
A

B

类比推理

由特殊到特殊的推理

类比推理

以旧的知识为基础,推测新 的结果,具有发现的功能

注意 类比推理的结论不一定成立

归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.

类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果; 具有发现的功能; 结论不一定成立.

小结

?
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想

归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发

归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.

S PA'?PB' ?PA ' B ' B' ? 2.由上图(左)有面积关系: S ?PAB PA ? PB
B

B'

则由上图(右),则类似的结论是:
A' A

P

P

VP ? A'B 'C ' ? VP ? ABC

PA'?PB'?PC ' PA ? PB ? PC

练习 (直击高考: 09浙江文第16题 ) 设等差数列?an ? 的前n项和为S n , 则S4,S8 ? S4, 设等比数列?bn ? 的前n项积为Tn , S12 ? S8,S16 ? S12成等差数列.类比以上结论:

T16 则T4, ____, _____, 成等比数列. T12

T8 T4

T12 T8

(2004广东,15)

S?PA?B? PA? ? PB? ? 由图(1)有面积关系: S?PAB PA ? PB

VP ? A?B?C ? PA? ? PB? ? PC ? ? 则由图(2)有体积关系: PA ? PB ? PC VP ? ABC
B? B

B?
A

B

C

P

C?
P A? 图(2) A

A?

图(1)

观察下面图形规律,在其右下角的空格内 画上合适的图形为( )

□ ● ?
? ■ ○

● ?
A. ■ B. ? C. □ D. ○

二、新授课: 完成下列推理, 它们是合情推理吗? 它们有什么特点?
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论

2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论

案例分析2:
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况 下的结论,这种推理称为演绎推理.
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论 大前提 小前提 结论

2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论

演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特 殊情况下的结论的推理方法。 演绎推理的一般模式: 三段论 (1)大前提……已知的一般原理 (2)小前提……所研究的特殊情况 (3)结论………根据一般原理,对 特殊情况作出的判断 喜马拉雅山所在的地方,曾经是一片汪洋 推理过程: 大前提:鱼类、贝类、鱼龙,都是海 洋生物,它们世世代代生活在海洋里 小前提:在喜马拉雅山上发现它们的化石 结论:喜马拉雅山曾经是海洋

大前题

(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥 王星是太阳系的大行星,因此冥王星以椭圆形轨道绕太 大前题阳运行; 结论 小前 (2)在一个标准大气压下,水的沸点是100°C,所以 题 在一个标准大气压下把水加热到100°C时,水会沸腾;
100 小前 ( 2 ( 3 )一切奇数都不能被 2 整除, 题

? 1)是奇数,所以

结论

大前题 大前题

(2100 ? 1) 不能被2整除;
结论

大前题

(4)三角函数都是周期函数,tanα是三角函数,因此tanα 是周期函数; 小前 (5)两条直线平行,同旁内角互补。如果∠ A与∠B是两 结论 条平行直线的同旁内角,那么∠A+∠B=180°; (6)所有的金属都能导电,铀是金属,所以铀能导电。 小前
小前 题 结论 题 结论

小前 题



大前题

四、数学运用 M

例1完成下面的推理过程 一条抛物线 .” “二次函数y=x2 + x + 1的图象是 试将其恢复成完整的三段论.
解:
大前提 小前提 ∵二次函数的图象是一条抛物线, 函数y = x2 + x + 1是二次函数, ∴函数y = x2 + x + 1的图象是一 条抛物线.





例2 在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是 垂足.求证AB的中点M到D,E的距离相等.
证明:(1)∵有一个内角是只直 大前提 角的三角形是直角三角形, 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o 小前提 ∴△ABD是直角三角形. 结论 A 同理△ABE是直角三角形
C
E D

M

B

(2)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线. 小前提
1 ∴DM= AB. 2

结论

同理 EM=

1 AB. 2

∴DM = EM.

练1 分析下列推理是否正确,说明为什么?
(1)自然数是整数, 3是自然数, 3是整数. (3)自然数是整数, -3是自然数, -3是整数. 小前提错误 大前提错误 (2)整数是自然数, -3是整数, -3是自然数.

(4)自然数是整数, -3是整数, -3是自然数. 推理形式错误

演绎推理在前提和推理形式都正确的前 提下得到的结论一定正确。

例3 证明函数 f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.
证明:满足对于任意x1 , x2∈D,若x1< x2,有 大前提 f(x1) < f(x2)成立的函数f(x),是区间D上的增函数.
任取x1 , x2 ? (??,1), 且x1 ? x2 ,
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (? x1 ? 2 x1 ) ? (? x2 ? 2 x2 )

? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2)
? x1 ? x2 , 所以x2 ? x1 ? 0; ? x1 , x2 ? 1, 所以x2 ? x1 ? 2 ? 0. ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ).

小前提

∴函数f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.

结论

合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理 类比推理 演绎推理

区 别

推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 由一般到特殊的 推理 形式 别到一般的推理 推理 推理 结论 结论不一定正确,有待进一 步证明

在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确

联系

合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的


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