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人教版高中数学选修2-1椭圆及其标准方程(1)教案


椭圆及其标准方程(1)
学习目标
1.从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2.掌握椭圆的定义; 3.掌握椭圆的标准方程.

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P38~ P40,文 P32~ P34 找出疑惑之处) 复习 1:过两点 (0,1) , (2, 0) 的直线方程 . 复习 2:方程 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1

)2 ? 4 表示以 为圆心, 为半径的 .

二、新课导学 ※ 学习探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画 出的轨迹是一个 . 如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处,套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?
P

思考:移动的笔尖(动点)
F1 F2

满足的几何条件是什么? 动笔尖的过程中,细绳的 等于常数. 保持不

经过观察后思考:在移 变,即笔尖

新知1: 我们把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫 做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 . 反思:若将常数记为 2a ,为什么 2a ? F1F2 ? 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 ; .

试试: 已知 F1 (?4,0) , F2 (4,0) ,到 F1 , F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是



小结:应用椭圆的定义注意两点: ①分清动点和定点; ②看是否满足常数 2a ? F1F2 . 新知2:焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程 x2 y 2 其中 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 2 a b 若焦点在 y 轴上,两个焦点坐标 则椭圆的标准方程是 . ,

※ 典型例题 例 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴ a ? 4, b ? 1 ,焦点在 x 轴上;
⑵ a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上; ⑶ a ? b ? 10, c ? 2 5 .

变式:方程

x2 y ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的范围 4 m



新 课 标第 一网 小结:椭圆标准方程中: a 2 ? b2 ? c 2 ; a ? b .
?5 3? 例 2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0? ,(2, 0) ,并且经过点 ? , ? ? ,求它的标准方 ?2 2? 程 .

变式:椭圆过点

? ?2,0? , (2, 0) , (0,3) ,求它的标准方程.

小结:由椭圆的定义出发,得椭圆标准方程 .

※ 动手试试
x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的 3 另外一个焦点在 BC 边上,则 ?ABC 的周长是( ) . A. 2 3 B.6 C. 4 3 D.12
练 1. 已知 ?ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆

练 2 .方程

x2 y ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求实数 m 的范围. 9 m

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 椭圆的定义: 2. 椭圆的标准方程:

彗星 太阳

※ 知识拓展 1997 年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息,从 1997 年 2 月中旬起,海尔· 波 普彗星将逐渐接近地球,过 4 月以后,又将渐渐离去,并预测 3000 年后,它还将光临地球上空 1997 年 2 月至 3 月间,许多人目睹了这一天文现象 天文学家是如何计算出彗星出现的准确时 间呢?原来,海尔· 波普彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据, 可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行周期及轨道的的周长.
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.平面内一动点 M 到两定点 F1 、 F2 距离之和为常数 2a ,则点 M 的轨迹为( A.椭圆 B.圆 C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 2.如果方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A. (0, ??) B. (0, 2) C. (1, ??) D. (0,1)
3.如果椭圆

) .

) .

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另一个焦点 F2 的距 100 36

离是( ) . A.4 B.14 C.12 D.8 4.椭圆两焦点间的距离为 16 ,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 9 和 15 ,则椭圆的 标准方程 是 . 5.如果点 M ( x, y ) 在运动过程中,总满足关系式 x2 ? ( y ? 3)2 ? x2 ? ( y ? 3)2 ? 10 ,点 M 的 轨迹是 ,它的方程是 .

课后作业
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑵焦点坐标分别为 ? 0, ?4? , ? 0, 4? , a ? 5 ; ⑶ a ? c ? 10, a ? c ? 4 . ⑴焦点在 x 轴上,焦距等于 4 ,并且经过点 P 3, ?2 6 ;

?

?

2. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2 ,求 n 的值. 4 n


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