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椭圆的简单几何性质1


一、复习回顾:
1.椭圆:
到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |) 的动点的轨迹叫做椭圆。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a (2a ?| F1F2 |)

2.椭圆的标准方程:
2

当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时

x y ? 2

? 1(a ? b ? 0) 2 a 2 b2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2 2 a =b +c

2

3.椭圆中a,b,c的关系:

二、椭圆
2

简单的几何性质
y2 ? 1得: 2 b

1、范围:x ? 1, a2 -a≤x≤a, -b≤y≤b

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2 A1

b F1

a F2

o c
B1

A2

椭圆的对称性

Y P1(-x,y)

P(x,y)

O P2(-x,-y)

X

2、对称性: 从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。

从方程上看:
(1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称;

(2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称;
(3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图象关于 y 原点成中心对称。 B
2

A1

b F1

a F2

o c
B1

A2

x2 y2 3、椭圆的顶点 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) 令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点?
令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点? y *顶点:椭圆与它的对 B2 (0,b) 称轴的四个交点,叫做 a 椭圆的顶点。 b A1 o c F2 (-a,0) F1 *长轴、短轴:线段
A1A2、B1B2分别叫做椭 圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长 半轴长和短半轴长。
B1 (0,-b)

A2 (a,0)

根据前面所学有关知识画出下列图形
x y ? ?1 (1 ) 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1

A1

A2 x

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

123 4 5

B1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4

4、椭圆的离心率
离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围:0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响: 1)e 越接近 1,椭圆就越扁; 2)e 越接近 0,椭圆就越圆。 [3]e与a,b的关系:

c e? a

c e? ? a

a ?b b ? 1? a a
2 2 2

2

2

标准方程
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、 b、 c 的关系

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

|x|≤ a,|y|≤ b 关于x轴、y轴成轴对称;关于原 点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. c e ? a a>b

a2=b2+c2

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b

|x|≤ b,|y|≤ a

对称性 顶点坐标
焦点坐标 半轴长 离心率 a、 b、 c的 关系

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

c e ? a

a2=b2+c2

同前

例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400,则 它的长轴长是: 10 ;短轴长是: 8 ;
焦距是:

6

;离心率等于:

焦点坐标是:

(?3, 0) ;顶点坐标是: (?5, 0) (0, ?4) ;
80


3 5



外切矩形的面积等于:

解题步骤: 1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b:
x2 y2 ? ?1 25 16

2、确定焦点的位置和长轴的位置.

2 2 练习1.已知椭圆方程为6x +y =6
它的长轴长是: 焦距是:

2 6

;短轴长是:
30 6

2
;

;

2 5

;离心率等于:

(0, ? 6) (?1, 0); 焦点坐标是: (0,? 5 ) ;顶点坐标是:

外切矩形的面积等于:

4 6



例 2 求适合下列条件的椭圆 的标准方程: (1) 经过点 P(-3,0) , Q(0,-2); 3 (2) 长轴的长等于20,离心率等于 . 5

x y 例3 椭圆 ? ? 1 的焦点为F1和F2 , 12 3 点P在椭圆上, 如果线段PF1的中点在y 轴上, 那么 | PF1 | 是 | PF2 | 的几倍 ( A. 2 C.4 B.3 D.7 )

2

2

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a

对称性 顶点坐标
焦点坐标 半轴长

同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前 同前

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
c e ? a

离心率
a、 b、 c的 关系

a2=b2+c2

同前