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2011年广州市高中数学青年教师解题比赛试题


2011 年广州市高中数学青年教师解题比赛 决 赛 试 题

日上午 ∶ - ∶ ) (2011 年 4 月 10 日上午 9∶00-11∶00) 小题, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四 选择题: 个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 请将答案代号填在答题卷

的相 应位置上. 应位置上. 1. 计算 A.2 (2 + i)(1 ? i) 2 = 1 ? 2i B.-2 C.2 i D.-2 i

2.将抛物线 y 2 = 4 x 沿向量 a 平移得到抛物线 y 2 ? 4 y = 4 x ,则向量 a 为 A. (-1,2) B. (1,-2) C. (-4,2) D. (4,-2) 3.从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单 随机抽样从 2004 人中剔除 4 人, 剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行. 则 每人入选的概率 A.不全相等 B.均不相等 25 1 C.都相等,且为 D.都相等,且为 1002 40
4.设 b 、 c 表示两条直线, α 、 β 表示两个平面,下列命题中真命题是 A.若 b ? α , c // α ,则 b // c.
C.若 c // α , c ⊥ β , 则α ⊥ β . B.若 b ? α , b // c, 则c // α . D.若 c // α , α ⊥ β , 则c ⊥ β .

2 偶函数,又在区间(-1,1)内连续的函数的个数是 B.1 C .2 D .3 A .0 6.已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心率等于 3 4 5 12 B. C. D. A. 5 5 13 13

5.下列四个函数:① y =| tan x |, ② y = lg | x |, ③ y = sin( x +

π

), ④ y = 2 x ,其中是

7.已知 a > 0 ,集合 A = {x || x + 2 |< a}, B = {x | a x > 1} ,若 A ∩ B ≠ ? ,则实数 a 的

取值范围是
A. ( 2, +∞ ) C. ( 0,1) ∪ ( 2, +∞ ) B. ( 0,1) D. ( 0,1) ∪ (1, +∞ )

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? y ≥ 0, y ?1 ? 8.实数 x 、 y 满足不等式组 ? x ? y ≥ 0, 则W = 的取值范围是 x +1 ?2 x ? y ? 2 ≥ 0. ?
? 1? A. ? ?1, ? ? 3? ? 1 1? B. ? ? , ? ? 2 3? ? 1 ? C. ? ? , +∞ ? ? 2 ? ? 1 ? D. ? ? ,1? ? 2 ?

? x + 1 + a , x ≤ 0, 9.已知函数 f ( x) = ? 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围为 log 2 x , x > 0. ?
A. ( ?∞, ?1] B. ( ?1, 0 ) C. [ ?1, +∞ ) D. [ ?1, 0 )

10.有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两 位同学要站在一起,则不同的站法有 A.240 种 B.192 种 C.96 种 D.48 种

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 请将答案填在答题 填空题: 卷的相应位置上. 卷的相应位置上.
11.右面的程序框图给出了计算数列 {an } 的前 8 项

和 S 的算法,算法执行完毕后,输出的 S 为



12.正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点在同一球面上,若正

四棱锥的底面边长为 4,侧棱长为 2 6 ,则此球的 表面积为 .

13.已知动圆 P 与定圆 C : ( x + 2) 2 + y 2 =1 相外切,又与

定直线 l : x = 1 相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程 . 是
14.如图,第 n ( n ∈ N* ) 个图形是由正 n + 2 边形“扩展”而来,则第 n 个图形中

共有

个顶点.

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2011 年广州市高中数学青年教师解题比赛答题卷 年广州市高中数学青年教师解题比赛答题卷
一、选择题答案(每小题 5 分,共 50 分) 选择题答案(
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题答案(每小题 5 分,共 20 分) 填空题答案(
11. . 12. 13. 14.

考号

小题, 解答应写出文字说明、演算步骤或推 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推 解答题: 证过程. 证过程.
15. (本小题满分 12 分) 设函数 f (x ) = sin ? ω x + 图所示. (1)求 f ( x ) 的表达式; (2)若 f (x ) ? f ( ? x ) =

? ?

π?

? 4?

( x ∈ R,ω > 0 ) 的部分图象如右

学校 姓名

1 ?π π ? , x ∈ ? , ? ,求 tan x 的值. 4 ?4 2?



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16. (本小题满分 12 分) 某家具城进行促销活动,促销方案是:顾客每消费 1000 元,便可以获得奖券一张. 每张奖 券中奖的概率为

1 ,若中奖,则家具城返还顾客现金 1000 元. 某顾客购买一张价格为 3400 5

元的餐桌,得到 3 张奖券. 设该顾客购买餐桌的实际支出为 ξ (元) . (1)求 ξ 的所有可能取值; (2)求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ .

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17. (本小题满分 14 分) 如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1 B1 B ⊥底面 ABC ,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, 其重心为 G 点, E 是线段 BC1 上 60°的角,AA1 = 2 . 一点,且 BE =

1 BC1 . 3
侧面 AA1 B1 B ;

(1)求证: GE

(2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐

考号

二面角的正切值.



学校 姓名

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18. (本小题满分 14 分) 飞船返回仓顺利到达地球后, 为了及时将航天员救出, 地面指挥中心在返回仓预计到达区域 , 安排三个救援中心(记为 A , B , C ) B 在 A 的正东方向,相距 6 km , C 在 B 的北偏 东 30°,相距 4 km , P 为航天员着陆点,某一时刻 A 接到 P 的求救信号,由于 B 、 C 两 地比 A 距 P 远,因此 4 s 后, B 、 C 两个救援中心才同时接收到这一信号,已知该信号的 传播速度为 1 km / s . (1)求 A 、 C 两个救援中心的距离; (2)求在 A 处发现 P 的方向角; (3)若信号从 P 点的正上方 Q 点处发出,则 A 、 B 收到信号的时间差变大还是变小,说 明理由.

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19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 I,导数 f ' ( x ) 满足 0 < f ( x) < 2 且 f ' ( x ) ≠ 1 ,常数 c1 为方程

f ( x ) ? x = 0 的实数根,常数 c2 为方程 f ( x ) ? 2 x = 0 的实数根.
(1)若对任意 a,b ? I ,存在 x 0 ∈ a,b ,使等式 f (b ) ? f ( a ) = (b ? a ) f '( x 0 ) 成 立.求证:方程 f ( x ) ? x = 0 不存在异于 c1 的实数根; (2)求证:当 x > c2 时,总有 f ( x ) < 2 x 成立;

[

]

(

)



学校 姓名

考号

(3)对任意 x1 、x 2 ,若满足 x1 ? c1 < 1, x 2 ? c1 < 1 ,求证: f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 4 .

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20. (本小题满分 14 分) 把正奇数数列 {2n ? 1} 中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表: 1 3 5 7 9 11 ……………………… …………………………… 设 amn m, n ∈ N

(

*

) 是位于这个三角形数表中从上往下数第 m 行、从左往右数第 n 个数.
?1

(1)若 a mn = 2011 ,求 m,n 的值; (2) 已知函数 f ( x ) 的反函数为 f

( x ) = 8 n x 3 ( x > 0) , 若记三角形数表中从上往下数第 n

行各数的和为 bn ,求数列 { f (bn )} 的前 n 项和 S n .

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2011 年广州市高中数学青年教师解题比赛 决赛试题参考答案
小题, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A C C C B 填空题: 小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

7 C

8 D

9 D

10 B

11.92
三、解答题: 解答题:

12.36 π

13. y 2 = ?8 x

14. n 2 + 5n + 6

15.解: (1)设函数 f ( x ) 的周期为 T,



T 3π π π = - = 得T = π , ∴ ω = 2 . 4 8 8 4

所以 f (x ) = sin(2 x +

π

4

).

……………3 分

(2)∵ f ( x ) ? f ( ? x ) = sin ? 2x +

? ?

π?

π? ? π? 1 ?π ? ? ? sin ? -2x ? = sin ? 2x + ? cos ? 2x + ? = , 4? ?4 4? 4? 4 ? ? ?

∴ sin ? 4 x +

? ?

π?

1 1 5π ?π π ? .……9 分 ? cos4x = ,又 x ∈ ? , ? , 4x ∈ (π ,2π ), ∴ x = ?= 2? 2 2 12 ?4 2?

π π 3 tan + tan 1+ π π? 5π ? 4 6 = 3 = 2 + 3 .…………12 分 ∴ tanx = tan = tan ? + ? = π π 12 3 ? 4 6 ? 1-tan ? tan 1- 4 6 3
16.解: (1) ξ 的所有可能取值为 3400,2400,1400,400.………………………………2 分

64 ?4? (2) P (ξ = 3400) = ? ? = , ? 5 ? 125
2 2 3

3

48 ? 1 ?? 4 ? , P (ξ = 2400) = C ? ? ? ? = ? 5 ? ? 5 ? 125
1 3 3

2

1 ? 1 ? ? 4 ? 12 3?1? , P (ξ = 400) = C3 ? ? = , P (ξ = 1400) = C ? ? ? ? = ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? 125

ξ 的分布列为 ξ
P 3400 2400 1400 400

……………………10 分 12 1 125 125 64 48 12 1 故 Eξ = 3400 × + 2400 × + 1400 × + 400 × = 2800. ………………12 分 125 125 125 125 1 17.解法 1: (1)延长 B1E 交 BC 于点 F,∵ ?B1 EC1 ∽△FEB,BE= EC1, 解法 : 2

64 125

48 125

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∴BF=

1 1 B1C1= BC,从而点 F 为 BC 的中点.∵G 为△ABC 的重心, 2 2

∴A、G、F 三点共线.且

FG FE 1 = = ,∴ GE // AB1 ,又 GE ? 侧面 AA1B1B, FA FB1 3

∴GE//侧面 AA1B1B.……………………………………………………………………6 分 (2)在侧面 AA1B1B 内,过 B1 作 B1H⊥AB,垂足为 H,∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, ∴B1H⊥底面 ABC.又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角,AA1=2, ∴∠B1BH=60°,BH=1,B1H= 3. 在底面 ABC 内,过 H 作 HT⊥AF,垂足为 T,连 B1T, 由三垂线定理有 B1T⊥AF,又平面 B1CE 与底面 ABC 的交线为 AF, ∴∠B1TH 为所求二面角的平面角.∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°, ∴HT=AH sin 30° =

3 BH .在 Rt△B1HT 中, tan ∠B1TH = 1 = 2 3 , 2 HT 3
3

从而平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 .…………………………14 分 (1)∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角, 解法 2: : ∴∠A1AB=60°, 又 AA1=AB=2,取 AB 的中点 O,则 AO⊥底面 ABC. 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O— xyz 如图, 则 A ( 0, ?1, 0 ) , B ( 0,1, 0 ) , C

(

3, 0, 0 , A1 0, 0, 3 , B1 0, 2, 3 , C1

)

(

)

(

)

(

3,1, 3 .

)

……………………………………………………………………………………………3 分 ∵G 为△ABC 的重心,∴ G ?

? 3 ? ? 3 , 0, 0 ? . ? ? ?

∵ BE =

1 BC1 ,∴ E ? ? 3 ?

? 3 3? ? 3? 1 ,1, ? ,∴ CE = ? 0,1, ? = AB1 . ? ? ? 3 3 ? 3 ? 3 ?
? 3

又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B.…………………………………………6 分
? (2)设平面 B1GE 的法向量为 n = ( a, b, c ) ,则由 ? n ? B1 E = 0, 得 ? 3 a ? b ? 3 c = 0, ? ? ? n ? GE = 0. ?

2 3

? ?b + 3 c = 0. ? 3 ?

可取 n =

(

3, ?1, 3

)

又底面 ABC 的一个法向量为 m = ( 0, 0,1)

设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 θ ,则 cos θ =

m?n 21 = . | m |?| n| 7

由于 θ 为锐角,所以 sin θ = 1 ? cos θ =
2

2 7 2 3 ,进而 tan θ = . 7 3
3

故平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 .…………………………14 分 18.解: (1)以 AB 中点为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则
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A( ?3, 0) ,B( 3, 0) ,C 5, 2 3
则 AC =

(

)

(5 + 3)2 + (2

3

)

2

= 2 19 km

即 A、C 两个救援中心的距离为 2 19 km . ………………………………………………4 分 (2) ∵| PC| =| PB| ,所以 P 在 BC 线段的垂

直平分线上.

又 ∵| PB|?| PA| = 4 ,所以 P 在以 A、B 为焦点的双曲线

的左支上,且 AB = 6

x2 y2 ∴双曲线方程为 ? = 1 ( x < 0) . 4 5
3y ? 7 = 0.
联立两方程解得: x = ?8 .

BC 的垂直平分线的方程为 x +

∴P ?8 , 5 3 ,k PA = tan ∠PAB = ? 3 . ∴∠PAB=120°.
所以 P 点在 A 点的北偏西 30°处.……………………………………………………9 分 (3)如图,设 PQ = h, PB = x, PA = y ,

(

)

∵ QB ? QA =

x +h ? y +h
2 2 2

2

=

x2 ? y2 x 2 + h2 + y 2 + h2

= ( x ? y· ) QB
1

x+ y x2 + h2 + y 2 + h2 < PB
1

又∵

x+y x 2 + h2 + y 2 + h2

<1

∴ QB ? QA < PB ? PA



?

QA
1

?

PA
1

即 A、B 收到信号的时间差变小.……………………………………………………14 分 19.证明: (1)假设方程 f ( x ) ? x = 0 有异于 c1 的实根 m,即 f ( m) = m , 则有 m ? c1 = f ( m) ? f ( c1 ) = m ? c1 f '( x 0 ) 成立. 因为 m ≠ c1 ,所以必有 f '( x 0 ) = 1 ,这与 f ' ( x ) ≠ 1 矛盾, 因此方程 f ( x ) ? x = 0 不存在异于 c1 的实数根.……………………………………4 分 (2)令 h ( x ) = f ( x ) ? 2 x,∵h '( x ) = f '( x ) ? 2 < 0 , ∴函数 h ( x ) 为减函数.

(

)

又 ∵h ( c2 ) = f ( c2 ) ? 2 c2 = 0 ,∴当 x > c2 时, h ( x ) < 0 ,即 f ( x ) < 2 x 成立.…8 分 (3)不妨设 x1 ≤ x 2 ,

∵f '( x ) > 0 ,∴f ( x ) 为增函数,即 f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) .

又 ∵f '( x ) < 2 ,∴函数 f ( x ) ? 2 x 为减函数,即 f ( x1 ) ? 2 x1 ≥ f ( x 2 ) ? 2 x 2 .
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∴0 ≤ f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ≤ 2 ( x 2 ? x1 ) . 即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ≤ 2 x 2 ? x1 .

∵ x 2 ? x1 = x 2 ? c1 + c1 ? x1 ≤ x 2 ? c1 + x1 ? c1 < 2 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 4 .………………………………………………………………14 分
20. 解: (1)∵ 三角形数表中前 m 行共有 1 + 2 + 3 + … + m =

∴ 第 m 行最后一个数应当是所给奇数列中的第
故第 m 行最后一个数是 2 ?

m(m + 1) ? 1 = m2 + m ? 1 . 2
2

m(m + 1) 项.………………………2 分 2

m(m + 1) 个数, 2

因此,使得 amn = 2011 的 m 是不等式 m + m ? 1 ≥ 2011 的最小正整数解. 由 m + m ? 1 ≥ 2011 得 m + m ? 2012 ≥ 0
2 2

∴m ≥

? 1 + 1 + 8048 ? 1 + 7921 ? 1 + 89 > = = 44 , ∴ m = 45. 2 2 2

于是,第 45 行第一个数是 44 2 + 44 ? 1 + 2 = 1981

∴n =

2011 ? 1981 + 1 = 16. ……………………………………………………………4 分 2
?1

(2)∵ f

( x ) = 8 n x 3 = y ( x > 0) ,

故 f ( x) =

3

x
n

2

( x > 0)

.……………6 分

∵ 第 n 行最后一个数是 n 2 + n ? 1 ,且有 n 个数,若将 n 2 + n ? 1 看成第 n 行第一个数,则第 n 行各数
成公差为 ?2 的等差数列,故 bn = n( n + n ? 1) +
2

n(n ? 1) ( ?2 ) = n 3 . 2

∴ f (bn ) =

n .…………………………………………………………………………8 分 2n 1 2 3 n ?1 n 1 1 2 3 n ?1 n 故 S n = + 2 + 3 + … + n ?1 + n .因为 S n = 2 + 3 + 4 + … + n + n +1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 两式相减得: S n = + 2 + 3 + … + n ? n +1 .………………………10 分 2 2 2 2 2 2
1? 1 ? ?1 ? n ? n 1 n 2 2 ? ? n +1 = 1 ? n ? n +1 . = ? 1 2 2 2 1? 2

∴ Sn = 2 ?

n+2 .……………14 分 2n

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