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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--数列

时间:2013-02-17


江苏省 13 大市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编


一、填空题


4 12 , 2 ? an ?1 ? ?n ? N* ? , 3 an ? 6

1、(常州市 2013 届高三期末)已知数列 ?an ? 满足 a1 ?



?a
i ?1

n

1
i

=





答案:

2 ? 3n ? n ? 2 4
2 2

l a 2、连云港市 2013 届高三期末) ( 正项等比数列{an}中, 3a11 =16, g 则o 答案:4

al ? g o

221

a =



.

3、(南京市、盐城市 2013 届高三期末)在等差数列 ?an ? 中, 若 a3 ? a5 ? a7 ? 9 , 则其前 9 项和 S9 的值为 答案:27 4、(南通市 2013 届高三期末)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=-36,S13=-104, 则 a5 与 a7 的等比中项为 答案: ?4 2 . 5、(徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末)已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若
a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a1 的值是









.

答案:-2 6、(扬州市 2013 届高三期末)数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? an (an ? 1) , (n ? N ? ) ,且

1 1 1 ? ?? ? =2,则 a2013 ? 4a1 的最小值为 ▲ . a1 a2 a2012
答案: ?

7 2

7、(镇江市 2013 届高三期末)在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,已知 a5 ? 2 S 4 ? 3 ,

a6 ? 2 S5 ? 3 ,则此数列的公比 q 为
答案:3;





8、(镇江市 2013 届高三期末) 观察下列等式: 1-

3 1 1 3 1 4 1 × =1- 2, × + × 2= 2 1×2 2 1×2 2 2×3 2

1 3 1 4 1 5 1 1 × + × + × =1- ,…,由以上等式推测到一个一般 2, 2 2×3 22 3×4 23 3×2 1×2 4×23

的结论:对于 n∈N*, n+2 3 1 4 1 1 × + × 2+…+ × n= 1×2 2 2×3 2 n?n+1? 2 答案: 1 ? ▲ .

1 ?n ? 1? ? 2 n

二、解答题 1、 (常州市 2013 届高三期末) 是等比数列, b1b2b3 ? 27 . (1)若 a1 ? b2 , a4 ? b3 .求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 是正整数且成等比数列,求 a3 的最大值. 答案: (1) 解: 由题得 a2 ? 5, b2 ? 3 , 所以 a1 ? b2 ? 3 , 从而等差数列 {an } 的公差 d ? 2 , 所以 an ? 2n ? 1 ,从而 b3 ? a4 ? 9 ,所以 bn ? 3n ?1 . ……………………3 分 (2)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,则 a1 ? 5 ? d ,b1 ?
a3 ? 5 ? d , b3 ? 3q .

已知数列 {an } 是等差数列,a1 ? a2 ? a3 ? 15 , 数列 {bn }

3 , q

因为 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,所以 (a1 ? b1 ) ? ( a3 ? b3 ) ? ( a2 ? b2 ) 2 ? 64 . 设?

?a1 ? b1 ? m , m, n ? N * , mn ? 64 , a3 ? b3 ? n ?

3 ? ?5 ? d ? ? m q 则? ,整理得, d 2 ? (m ? n)d ? 5(m ? n) ? 80 ? 0 . ?5 ? d ? 3q ? n ?
解得 d ?

n ? m ? (m ? n ? 10) 2 ? 36 (舍去负根). 2
2

? a3 ? 5 ? d , ? 要使得 a3 最大,即需要 d 最大,即 n ? m 及 ( m ? n ? 10) 取最大

值.? m, n ? N * , mn ? 64 ,

? 当且仅当 n ? 64 且 m ? 1 时, n ? m 及 ( m ? n ? 10) 取最大值.
2

从而最大的 d ?

63 ? 7 61 , 2 73 ? 7 61 2

所以,最大的 a3 ?

………16 分

2、(连云港市 2013 届高三期末)已知数列{an}中,a2=a(a 为非零常数),其前 n 项和 Sn 满 n(an-a1) 足:Sn= (n?N*). 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 2 (2)若 a=2,且 am ? Sn ? 11 ,求 m、n 的值; 4 (3)是否存在实数 a、b,使得对任意正整数 p,数列{an}中满足 an ? b ? p 的最大项恰为 第 3p-2 项?若存在,分别求出 a 与 b 的取值范围;若不存在,请说明理由. 1?(a1-a1) nan (1)证明:由已知,得 a1=S1= =0,?Sn= , 2 2 (n+1)an+1 则有 Sn+1= , 2 ?2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan,即(n-1)an+1=nan n?N*, ?nan+2=(n+1)an+1, 两式相减得,2an+1=an+2+an n?N*, ……………………………4 分 即 an+1-an+1=an+1-an n?N*, 故数列{an}是等差数列. 又 a1=0,a2=a,?an=(n-1)a. ………………………………6 分 (2)若 a=2,则 an=2(n-1),?Sn=n(n?1). 1 2 由 am ? Sn ? 11 ,得 n2?n+11=(m?1)2,即 4(m?1)2-(2n?1)2=43, 4 ?(2m+2n?3)(2m-2n?1)=43. ………………………………8 分 ∵43 是质数, 2m+2n?3>2m-2n?1, 2m+2n?3>0, ?2m-2n-1=1 ?? ,解得 m=12,n=11. ………………………………10 分 ?2m+2n-3=43 (III)由 an+b?p,得 a(n-1)+b?p. p-b 若 a<0,则 n? +1,不合题意,舍去; a p-b 若 a>0,则 n? +1. a ∵不等式 an+b?p 成立的最大正整数解为 3p-2, p-b ?3p-2? +1<3p-1, ………………………………13 分 a 即 2a-b<(3a-1)p?3a-b,对任意正整数 p 都成立. 1 ?3a-1=0,解得 a= , ………………………………15 分 3 2 2 此时, -b<0?1-b,解得 <b?1. 3 3 ………………………2 分

……………………………11 分

1 2 故存在实数 a、b 满足条件, a 与 b 的取值范围是 a= , <b?1. ………16 分 3 3 3、(南京市、盐城市 2013 届高三期末)若数列 ?an ? 是首项为 6 ? 12t , 公差为 6 的等差数 列;数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n

? 3n ? t .

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 是等比数列, 试证明: 对于任意的 n( n ? N , n ? 1) , 均存在正整数 cn , 使得

bn?1 ? acn , 并求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ;
(3) 设 数 列 ?d n ? 满 足 d n ? an ? bn , 且 ?d n ? 中 不 存 在 这 样 的 项 d k , 使 得 “ d k ? d k ?1 与

d k ? d k ?1 ”同时成立(其中 k ? 2 , k ? N ? ), 试求实数的取值范围.
答案:解: (1)因为 ?an ? 是等差数列,所以 an ? (6 ? 12t ) ? 6( n ? 1) ? 6n ? 12t …………2 分 而 数 列

?bn ?

的 前

n

项 和 为

Sn ? 3n ? t , 所 以 当 n ? 2 时 ,

bn ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 2 ? 3n?1 ,
又 b1

n ?1 ? 3 ? t, ? S1 ? 3 ? t ,所以 bn ? ? ……………………4 分 n ?1 ?2 ? 3 , n ? 2

(2) 证 明 : 因 为

?bn ?

是 等 比 数 列 , 所 以

3 ? t ? 2 ? 31?1 ? 2 , 即 t ? 1 , 所 以

an ? 6n ? 12 ………………5 分
对任意的 n( n ? N , n ? 1) ,由于 bn?1 令 cn

? 2 ? 3n ? 6 ? 3n?1 ? 6 ? (3n?1 ? 2) ? 12 ,

n ?1 ? 3n?1 ? 2 ? N * ,则 acn ? 6(2 ? 3 ) ? 12 ? bn?1 ,所以命题成立 …7 分

数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn

1 ? 3n 1 n 1 ? 2n ? ? ? 3 ? 2n ? …………………9 分 1? 3 2 2

(3)易得 d n ? ?

?6(3 ? t )(1 ? 2t ), n ? 1 , n n?2 ? 4(n ? 2t )3 ,

3 d n?1 ? d n ? 4(n ? 1 ? 2t )3n?1 ? 4(n ? 2t )3n ? 8[n ? (2t ? )] ? 3n ,所以 2 3 7 ①若 2t ? ? 2 ,即 t ? ,则 d n?1 ? d n ,所以当 n ? 2 时, ?d n ? 是递增数列,故由题意得 2 4
由于当 n ? 2 时,

d1 ? d 2 ,即 6(3 ? t )(1 ? 2t ) ? 36(2 ? 2t ) ,解得 ?5 ? 97 ? t ? ?5 ? 97 ? 7 ,………13 分 4 4 4

3 7 9 ? 3 ,即 ? t ? ,则当 n ? 3 时, ?d n ? 是递增数列,, 2 4 4 7 故由题意得 d 2 ? d 3 ,即 4(2t ? 2)32 ? 4(2t ? 3)33 ,解得 t ? …………………14 分 4 3 m 3 m 5 ③若 m ? 2t ? ? m ? 1(m ? N , m ? 3) ,即 ? ? t ? ? ( m ? N , m ? 3) , 2 2 4 2 4
②若 2 ? 2t ? 则当 2 ? n ? m 时, ?d n ? 是递减数列, 当 n ? m ? 1 时, ?d n ? 是递增数列,
m 则由题意,得 d m ? d m?1 ,即 4(2t ? m)3

? 4(2t ? m ? 1)3m?1 ,解得 t ?

2m ? 3 …………15 分 4

综上所述,的取值范围是

?5 ? 97 ?5 ? 97 或 t ? 2m ? 3 (m ? N , m ? 2) ……16 分 ?t ? 4 4 4
n(an ? a1 ) . 2

4、 (南通市 2013 届高三期末) 已知数列{an}中, 2=1, n 项和为 Sn, Sn ? a 前 且 (1)求 a1; (2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?

an ?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列? 3n

若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由. 解:(1)令 n=1,则 a1=S1= (2)由 Sn ? 得

1(a1 ? a1 ) =0. 2

………………………………………3 分 ① ② ③ ④ …………………………7 分

n(an ? a1 ) na ,即 Sn ? n , 2 2 (n ? 1)an ?1 . 2

Sn ?1 ?

②-①,得

(n ? 1)an ?1 ? nan .

于是, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 . ③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 . 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1.

………………………………………………………………9 分

(3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数 列,

于是,

2p 1 q ? ? . 3 p 3 3q

……………………………………………………11 分

所以, q ? 3q (

2p 1 ? ) (☆). 3p 3

易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解. ………………………………………13 分 当 p≥3,且 p∈N*时, 于是

2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 2p ? p ? p ?1 <0,故数列{ p }(p≥3)为递减数列, 3 p ?1 3 3 3

2p 1 ? ≤ 2 ? 3 ? 1 <0,所以此时方程(☆)无正整数解. 3 33 3p 3

综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列. …………16 分 注 在得到③式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的,

亦相应评分.但在做除法过程中未对 n≥2 的情形予以说明的,扣 1 分. 5、 (徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末)已知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 0, 令 a1 ? a, b1 ? b, 且 对任意正整数 k ,当 a k ? bk ? 0 时, a k ?1 ?

1 1 3 a k ? bk , bk ?1 ? bk ; 当 a k ? bk ? 0 时, 2 4 4

1 1 3 bk ?1 ? ? a k ? bk , a k ?1 ? a k . 4 2 4
(1) 求数列 {a n ? bn } 的通项公式; (2) 若对任意的正整数 n , a n ? bn ? 0 恒成立,问是否存在 a, b 使得 {bn } 为等比数列? 若存在,求出 a, b 满足的条件;若不存在,说明理由; (3) 若对任意的正整数 n, a n ? bn ? 0, 且 b2n ?

3 b2n?1 , 求数列 {bn } 的通项公式. 4

⑴当 an ? bn ≥ 0 时, an?1 ? an ? bn 且 bn?1 ? bn ,

1 1 3 2 4 4 1 1 3 1 所以 an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? bn ? (an ? bn ) ,……………………………………2 分 2 4 4 2 1 1 3 又当 an ? bn ? 0 时, bn?1 ? ? an ? bn 且 an?1 ? an , 4 2 4 3 1 1 1 an?1 ? bn?1 ? an ? an ? bn ? (an ? bn ) ,…………………………………………4 分 4 4 2 2 1 因此,数列 ?an ? bn ?是以 a ? b 为首项, 为公比的等比数列, 2

?1? 所以, a n ? bn ? (a ? b) ? ? ?2?

n ?1

.………………………………………………………5 分
n ?1

⑵因为 an ? bn ? 0 ,所以 a n ?1 ?

3 ?3? a n ,所以 an ? a ? ? 4 ?4?



?1? bn ? (a ? b) ? ? ?2?

n ?1

?1? ? an ? (a ? b) ? ? ? 2?

n ?1

? 3? ? a? ? ? 4?

n ?1

,…………………………………8 分

假设存在 a , b ,使得 ?bn ? 能构成等比数列,则 b1 ? b , b2 ? 故(

2b ? a 4b ? 5a , b3 ? , 4 16

2b ? a 2 4b ? 5a ) ?( )b ,化简得 a ? b ? 0 ,与题中 a ? b ? 0 矛盾, 4 16

故不存在 a , b 使得 ?bn ? 为等比数列. ……………………………………………10 分 ⑶因为 an + bn ? 0 且 b2 n ? 所以

3 1 1 b2 n ?1 ,所以 b2 n ? ? a 2 n ?1 ? b2 n ?1 4 4 2

3 1 1 1 3 1 b2 n ?1 ? ? a2n?1 ? b2n?1 ? ? a2n?1 ? b2n?1 ? b2n?1 4 4 2 4 4 4
3 4 1 4

所以 (b2n?1 ? b2n?1 ) ? ? (a2n?1 ? b2n?1 ) ,……………………………………………12 分

?1? 由⑴知, a2 n ?1 ? b2 n ?1 ? (a ? b) ? ? ?2?

2n?2

a?b?1? ,所以 b2 n ?1 ? b2 n ?1 ? ? ? ? 3 ?2?

2n?2

b2n?1 ? b1 ? (b3 ? b1 ) ? ?(b2n?1 ? b2n?3 )
?b? a?b? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ?
2 4 6 2n?4

? ? ? ?

? ? 1 ? n ?1 ? n ?1 ?1 ? ? a?b? ?4? ? 4(a ? b) ? ? 1 ? ? ? ? ?b? ?b? ?1 ? ? ? ? ,…………………………………13 分 3 ? 1? 1 ? 9 ? ?4? ? ? ? ? 4 ? ? ?
n 3 3 (a ? b) ? ? 1 ? ? b2 n ? b2 n ?1 ? b ? 1 ? ? ? ? ,………………………………………………14 分 ? 4 4 3 ? ?4? ? ? ?
n ?1 ? ? ? ?b ? 4(a ? b) ?1 ? ? 1 ? 2 ? , n为奇数时, ? ? ?4? ? 9 ? ? ? ? ? 所以, bn ? ? …………………………………16 分 n ? 3 (a ? b) ? ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? b? ? , n为偶数时. 3 ? ?4? ? ?4 ? ? ?

6、 (苏州市 2013 届高三期末)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 an ? S n ? An 2 ? Bn ? 1 ( A? 0) . (1)若 a1 ?

3 9 , a2 ? ,求证数列 ?an ? n? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 2 4

(2)已知数列 ?an ? 是等差数列,求

B ?1 的值. A

7、(泰州市 2013 届高三期末)已知数列 an ? n ? 16 , bn ? (?1) n ? 15 ,其中 n ? N *
n

(1)求满足 an ?1 = bn 的所有正整数 n 的集合 (2)n ? 16,求数列

bn 的最大值和最小值 an

(3)记数列 ?an bn ? 的前 n 项和为 S n ,求所有满足 S 2 m ? S 2 n (m<n)的有序整数对(m,n) (1)an+1=|bn|,n-15=|n-15|,当 n≥15 时,an+1=|bn|恒成立, 当 n<15 时,n-15=-(n-15) ,n=15 n 的集合{n|n≥15,n∈ *}……………………………………….…………….…………….4 分 N

(2)

n bn (?1) n ? 15 = n ? 16 an

(i)当 n>16 时,n 取偶数

bn n ? 15 1 = =1+ n ? 16 an n ? 16

当 n=18 时(

bn 3 )max= 无最小值 2 an

n 取奇数时

bn 1 =-1n ? 16 an

n=17 时(

bn )min=-2 无最大值 ……………………………………………………………8 分 an

(?1) n (n ? 15) bn (ii)当 n<16 时, = n ? 16 an
当 n 为偶数时

bn ? (n ? 15) 1 = =-1n ? 16 n ? 16 an

n=14 时(

bn 1 b 13 )max=- ( n )min=2 an 14 an

当 n 奇数

bn n ? 15 b 1 1 14 = =1+ , n=1 , ( n )max=1- = , n ? 16 15 15 an n ? 16 an
bn )min=0 an
………………………………………………11 分

n=15,(

综上,

bn 3 最大值为 (n=18)最小值-2(n=17)……………….……..……………….12 分 2 an

(3)n≤15 时 , bn=(-1)n-1(n-15) , a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)≥0 , n>15 时 , bn=(-1)n(n-15) , a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) >0,其中 a15b15+a16b16=0 ? S16=S14 m=7, n=8…………………………………………………………….16 分 8、(无锡市 2013 届高三期末)已知数列{an}中,a1=2,n∈ +,an>0,数列{an}的前 n 项和 N Sn,且满足 an ?1 ?

2 。 Sn?1Sn ? 2

(Ⅰ )求{Sn}的通项公式; (Ⅱ )设{bk}是{Sn)中的按从小到大顺序组成的整数数列。 (1)求 b3;

(2)存在 N(N∈ +),当 n≤N 时,使得在{Sn}中,数列{bk}有且只有 20 项,求 N 的 N 范围.

9、(扬州市 2013 届高三期末)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)若数列 {an } 是等比数列,满足 2a1 数列

? a3 ? 3a 2 , a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项,求

?a n ?的通项公式;

(Ⅱ)是否存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ?若存在,请求 出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)设等比数列

?a n ?的首项为 a1 ,公比为 q ,
……3 分

依题意,有 ? 由

? a1 (2 ? q 2 ) ? 3a1 q, (1) ? 2a1 ? a3 ? 3a 2 , 即? 3 2 ?a 2 ? a 4 ? 2(a3 ? 2). ?a1 (q ? q ) ? 2a1 q ? 4. (2)

(1) 得 q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? 2 . ? 1 时,不合题意舍;
? 2 时,代入(2)得 a1 ? 2 ,所以, a n ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n .
n(n ? 1) d ] ? 2n 2 (n ? 1) ,得 2
…………………7 分

当q 当q

(Ⅱ)假设存在满足条件的数列 {an } ,设此数列的公差为 d ,则 方法 1: [a1 ? (n ? 1)d ][a1 n ?

d2 2 3 3 1 n ? ( a1 d ? d 2 )n ? (a12 ? a1 d ? d 2 ) ? 2n 2 ? 2n 对 n ? N * 恒成立, 2 2 2 2

?d2 ? 2 ? 2, ? ?3 2 则 ? a1 d ? d ? 2, 2 ? 1 2 ? 2 3 ?a1 ? 2 a1 d ? 2 d ? 0, ?
解得 ?

…………………10 分

?d ? 2, ?d ? ?2, 或? 此时 an ? 2n ,或 an ? ?2n . ?a1 ? 2, ?a1 ? ?2.
…………………15 分

故存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) .其中 an ? 2n , 或 an ? ?2n . 方法 2:令 n ? 1 , a12 ? 4 ,得 a1 ? ?2 ,
2 令 n ? 2 ,得 a2 ? a1 ? a2 ? 24 ? 0 ,

…………………9 分

①当 a1 ? 2 时,得 a2 ? 4 或 a2 ? ?6 , 若 a2 ? 4 , 则 d ? 2 , an ? 2n , S n ? n(n ? 1) , 对 任 意 n ? N * 都 有

an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ;
若 a2 ? ?6 ,则 d ? ?8 , a3 ? ?14 , S3 ? ?18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) . …………………12 分 ②当 a1 ? ?2 时,得 a2 ? ?4 或 a2 ? 6 , 若 a2 ? ?4 , 则 d ? ?2 , an ? ?2n , S n ? ? n(n ? 1) , 对 任 意 n ? N * 都 有

an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ;
若 a2 ? 6 ,则 d ? 8 , a3 ? 14 , S3 ? 18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) . 综上所述,存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) .其中

an ? 2n ,或 an ? ?2n .

…………………15 分

10、(镇江市 2013 届高三期末)已知函数 f ( x ) ? 定义如下: a1 ?

x2 ,对一切正整数 n ,数列 {an } x2 ? x ? 1

1 , 2

且 an ?1 ? f ( an ) ,前 n 项和为 Sn . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间,并求值域; (2)证明 x f ( x ) ? x ? x f ( f ( x )) ? x ; (3)对一切正整数 n ,证明:○ an ?1 ? an ;○ Sn ? 1 . 1 2 19.解:(1)定义域 x ? R,

?

? ?

?

f ??x ? ?

2 x x 2 ? x ? 1 ? x 2 ?2 x ? 1?

?

?x

?

2

? x ?1

?

2

?

?x

? x2 ? 2x
2

? x ?1

?

2

,……1 分

f ??x ? ? 0 ? 0 ? x ? 2 , f ??x ? ? 0 ? x ? 0或x ? 2 .……2 分 ? 函数 f ( x ) 的单调增区间为 ?0,2 ? ,单调减区间为 ?? ?,0 ?和?2, ? ? .……3 分
(法一) f ?0 ? ? 0 , f (2) ?

4 ,当 x ? ? 时, f ? x ? ? 3

1 1 ?1? 1? ? ? ? x ?x?
2

? 1 ,……4 分

x ? ( ??,0] 时, f ( x ) 为减函数, f ( x ) ? [0,1) ;
4 ? 4? 当 x ? [0, ??) 时, f ( x ) ? [0, ] ;函数 f ( x ) 的值域为 ?0, ? .……5 分 3 ? 3?
(法二)当 x ? 0 时, f ?0 ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? x ? ?

1 1? 1 ?1? ?? ? x ?x?
2

?

1 4 ? , 1 1 3 3 ( ? )2 ? x 2 4

且 f ( x ) ? 0 , f (2) ? (法三)判别式法(略)

4 ? 4? ,?函数 f ( x ) 的值域为 ?0, ? .……5 分 3 ? 3?

(2)设 A ? ?x f ( x ) ? x?, B ? ?x f ( f ( x )) ? x? , 设 x0 ? A ,则 f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) ? x0 ,则 x0 ? B ,? A ? B .……6 分 当 x ? 0 时, ? ( x ? 1) 2 ? 0 ?

x x2 ?1? 2 ? x ? f ( x ) ? x 恒成立. x2 ? x ? 1 x ? x ?1

当且仅当 x ? 0,1 时, f ( x ) ? x. ……7 分 令 t ? f ( x ) ,当且仅当 x ? 1 时, t ? f ( x ) ? 1. 当 x ? 0 时,由(1) f ( f ( x )) ? f (t ) ? 0 ,

?当 x ? 0 时, f ( f ( x )) ? x 无解……8 分

当 0 ? x ? 1 时, ? f ( f ( x )) ? f (t ) ? t ? f ( x ) ? x ,

?当 0 ? x ? 1 时, f ( f ( x )) ? x 在无解.……9 分
综上,除 x ? 0,1 外,方程 f ( f ( x )) ? x 无解,

? A ? B.

? x f ( x ) ? x ? x f ( f ( x )) ? x .……10 分
1 ○显然 an ?1 ?

?

? ?

?

(3)

an 2 an 2 1 ? ,又 a1 ? ,? an ? 0 , 2 2 a n ? an ? 1 ( a ? 1 ) 2 ? 3 n 2 4

?

an ?1 a 1 1 ? 2 n ? ? ? 1 ,……11 分 an a n ? an ? 1 a ? 1 ? 1 2 ? 1 n an

所以, an ?1 ? an . 若 an ?1 ? an ,则 an ? 1 矛盾.所以 an ?1 ? an .……12 分 2 ○(法一) an ?

a n ?2 1 1 1 1 1 1 1 , ? ? 1? ? , ? ?1 ? ? ? , 2 2 an ?1 ? an ?1 ? 1 an an ?1 an ?1 an an ?1 an ?12
1 ? 1 1 ? an ?1 an ?12 ? ( 1 1 1 ? 1) an ?1 an ?1 ? 1 1 ?1 an ?1 ? 1 , 1 an ?1

?

1 1 ?1 an

?

? an ?1 ?

1 1 ? (n ? 2), ……14 分 1 1 ?1 ?1 an ?1 an
n ?1 i ?2

? S ? ? ai ?1 ? ? (
i ?2

n ?1

1 1 1 1 a ? )? ? ? 1 ? n ?1 , ……15 分 1 1 1 1 1 ? an ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ai ?1 ai a1 an ?1
?S ? 1? an ?1 ? 1. ……16 分 1 ? an ?1

? 0 ? an ?1 ? an ?

1 2

(法二)? an ?

a n ?2 1 1 1 ? ? ……13 分 2 1 1 an ?1 ? an ?1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ? ? 2 2 an ?1 an ?1 an ?1 an ?1

?

1 1 1 1 ……14 分 ? ? ? ? an ?1 ? 1 1 1 1 1 1 ( ? 1) ?1 ? ? 2 an ?1 an ?1 an ?1 an ?1 an ? 2 an ? 2

? ?an ?1 ? an ? 2 ?

1 ? 1 an ?3 ? 1
2 an ?3

? ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a1 ?

1 1 ?1 a1

……15 分

? 1 ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a1 ,

? Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 .……16 分


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