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10-12年双曲线高考题


(2010 福建理数) 若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线 7.

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点, 2 a
) D. [ , ??)

点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 ( A. [3-2 3, ??) 【答案】B B. [3 ? 2 3, ??) C.

[-

??? ??? ? ?

7 , ?? ) 4
2

7 4

【解析】因为 F (?2, 0) 是已知双曲线的左焦点,所以 a ? 1 ? 4 ,即 a ? 3 ,所以双曲线方
2

程 为

x2 x2 ? y 2 ? 1 , 设 点 P ( x0 , y0 ) , 则 有 0 ? y0 2 ? 1( x0 ? 3) , 解 得 3 3 x0 2 ? 1( x0 ? 3) 3
, 因 为

y0 2 ?

??? ? ??? ? FP ? ( x0 ? 2, y0 ) , OP ? ( x0 , y0 ) , 所 以

??? ??? ? ? x2 4x 2 OP ? FP ? x0 ( x0 ? 2) ? y02 = x0 ( x0 ? 2) ? 0 ? 1 ? 0 ? 2 x0 ? 1 ,此二次函数对应的抛物 3 3 ???? ???? 3 线 的 对 称 轴 为 x0 ? ? , 因 为 x0 ? 3 , 所 以 当 x0 ? 3 时 , O P? F P取 得 最 小 值 4 ??? ??? ? ? 4 ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 ? 2 3 ,故 OP ? FP 的取值范围是 [3 ? 2 3, ??) ,选 B。 3
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次 函数的单调性与最值等, 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、 运 算能力。

x y2 【2012 高考真题浙江理 8】如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a,b>0)的左、 a b
右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直

2

平分线与 x 轴交与点 M,若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是

A.

2 3 3

B。

6 2

C. 2

D.

3

【答案】B

b ? ? y ? c x ? b, b ? 【解析】由题意知直线 F B 的方程为: y ? x ? b ,联立方程组 ? 得点 1 c ?x ? y ? 0 ?a b ? b ? ? y ? c x ? b, ac bc ac bc ? , ) ,联立方程组 ? , ) ,所以 PQ 的中点坐标为 Q( 得点 P (? c?a c?a c?a c?a ?x ? y ? 0 ?a b ?
( a 2c c 2 c2 c a 2c , ) , 所 以 PQ 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 : y ? ? ? ( x ? 2 ) , 令 y ? 0 , 得 b2 b b b b

a2 a2 x ? c(1 ? 2 ) , 所 以 c(1 ? 2 ) ? 3c , 所 以 a 2 ? 2b2 ? 2c 2 ? 2a 2 , 即 3a 2 ? 2c 2 , 所 以 b b

e?

6 。故选 B 2

x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1 , A2 ,虚轴两 a 2 b2 端点为 B1 , B 2 ,两焦点为 F1 , F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,切点分别为 A, B, C , D . 则
【2012 高考真题湖北理 14】如图,双曲线

(Ⅰ )双曲线的离心率 e ?



(Ⅱ )菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S 2 的比值

S1 ? S2

.

【答案】 e ?

5 ? 1 S1 2 ? 5 ; ? 2 S2 2

【解析】 )由于以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,因此点 O 到直线 F2 B2 的距离 (Ⅰ 为 a ,又由于虚轴两端点为 B1 , B 2 ,因此 OB2 的长为 b ,那么在 ?F2 OB2 中,由三角形的 面积公式知,

1 1 1 bc ? a | B2 F2 |? a (b ? c) 2 ,又由双曲线中存在关系 c 2 ? a 2 ? b 2 联 2 2 2

立可得出 (e 2 ? 1) 2 ? e 2 ,根据 e ? (1,??) 解出 e ?

5 ?1 ; 2

(Ⅱ )设 ?F2 OB2 ? ? ,很显然知道 ?F2 A2 O ? ?AOB2 ? ? , 因此 S 2 ? 2a 2 sin(2? ) .在

?F2 OB2 中求得 sin ? ?

b b2 ? c2

, cos? ?

c b2 ? c2

, 故 S 2 ? 4a 2 sin ? cos? ?

4a 2 bc ; b2 ? c2

菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 ? 2bc ,再根据第一问中求得的 e 值可以解出 【2012 高考真题湖北理 14】如图,双曲线

S1 2 ? 5 . ? S2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1 , A2 ,虚轴两 a 2 b2 端点为 B1 , B 2 ,两焦点为 F1 , F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,切点分别为 A, B, C , D . 则

(Ⅰ )双曲线的离心率 e ?



(Ⅱ )菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S 2 的比值

S1 ? S2

.

【答案】 e ?

5 ? 1 S1 2 ? 5 ; ? 2 S2 2

【解析】 )由于以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,因此点 O 到直线 F2 B2 的距离 (Ⅰ 为 a ,又由于虚轴两端点为 B1 , B 2 ,因此 OB2 的长为 b ,那么在 ?F2 OB2 中,由三角形的 面积公式知,

1 1 1 bc ? a | B2 F2 |? a (b ? c) 2 ,又由双曲线中存在关系 c 2 ? a 2 ? b 2 联 2 2 2

立可得出 (e 2 ? 1) 2 ? e 2 ,根据 e ? (1,??) 解出 e ?

5 ?1 ; 2

(Ⅱ )设 ?F2 OB2 ? ? ,很显然知道 ?F2 A2 O ? ?AOB2 ? ? , 因此 S 2 ? 2a 2 sin(2? ) .在

?F2 OB2 中求得 sin ? ?

b b2 ? c2

, cos? ?

c b2 ? c2

, 故 S 2 ? 4a 2 sin ? cos? ?

4a 2 bc ; b2 ? c2

菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 ? 2bc ,再根据第一问中求得的 e 值可以解出 .【2012 高考江苏 8】 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 (5 为 5 ,则 m 的值为 ▲ . 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由

S1 2 ? 5 . ? S2 2

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率 m m ?4

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 。 m m ?4

c m ? m2 ? 4 ∴ e= = = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 。 a m

(2010 全国卷 2 理数)己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C :
x2 y 2 ? ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M ?1,3? . a 2 b2

(Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF ? 17 ,证明:过 A、

B、D 三点的圆与 x 轴相切.
【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质,考查直线与圆的关系,既考查考生的基础 知识掌握情况,又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】

【点评】 高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目, 命题者将好多考点以圆锥曲线为 背景来考查,如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定. 2010 重庆文数) (21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知以原点 O 为中心, F ( 5,0) 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e ? (Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; (Ⅱ)如题(21)图,已知过点 M ( x1 , y1 ) 的直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4 与过点 N ( x2 , y2 ) (其中 x2 ? x1 )的直线 l2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与双曲线的

5 . 2

OH 的值. 两条渐近线分别交于 G 、 H 两点,求 OG?

???? ????

(2010 重庆理数) (20) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 已知以原点 O 为中心,F

?

5, 0 为右焦点的

?

双曲线 C 的离心率 e ? (I) (II)

5 。 2

求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; 如题(20)图,已知过点 M ? x1 , y1 ? 的直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4 与过点 N ? x2 , y2 ? (其中 x2 ? x ) 的直线 l2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 的交点 E 在双曲线 C 上, 直线 MN 与 两条渐近线分别交与 G、H 两点,求 ?OGH 的面积。

(2010 全国卷 2 文数) (22) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 B、D 两点,且 BD 的 a b
中点为 M(1.3) (Ⅰ) (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ) (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|·|BF|=17 证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切。 【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决问题的能力。 (1)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于 BD 两点的中点为(1, 3) ,可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A,B 的关系式即求得离心率。 (2)利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含 A 的代数式表示,即可求得 A,则 A 点坐标可得 (1,0) ,由于 A 在 X 轴上所以,只要证明 2AM=BD 即证得。 【2012 高考真题四川理 21 如图,动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、 B(2, 0) 构成 ?MAB ,且

?MBA ? 2 ?MAB ,设动点 M 的轨迹为 C 。

(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,

y

M

A


O

B x

| PR | 的取值范围。 | PQ |

【答案】本题主要考查轨迹方程的求法,圆锥曲线的定义等基础知识,考查基本运算能力, 逻辑推理能力,考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想 平面内与两定点 A1(?a, 0) , A2(a, 0) (a ? 0) 连续的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹, 加上 A1 、 A 2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值得关系; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为

C1

;对给定的 m ? (?1,0)U (0, ??) ,对应的曲线为

C2 ,

F1
设 、

F2 是 C2 的两个焦点。试问:在

C1

撒谎个,是否存在点 N ,使得△

F1

N F2 的面积

S ?| m | a2 。若存在,求 tan

F1

N F2 的值;若不存在,请说明理由。

本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与 整合和数形结合的思想。 (满分 14 分) 解: (I)设动点为 M,其坐标为 ( x, y ) ,

当 x ? ? a 时,由条件可得 即 mx ? y ? ma ( x ? ?a) ,
2 2 2

kMA1 ? kMA2 ?

y y y2 ? ? 2 ? m, x ? a x ? a x ? a2



A1 (?a,0), A2 ( A,0) 的坐标满足 mx2 ? y2 ? ma2 ,
2 2 2

故依题意,曲线 C 的方程为 mx ? y ? ma .

x2 y2 ? ? 1, C 2 时 ?ma 2 当 m ? ?1 , 曲线 C 的方程为 a 是焦点在 y 轴上的椭圆;
当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为 x ? y ? a ,C 是圆心在原点的圆;
2 2 2

x2 y2 ? ?1 2 ?ma 2 当 ?1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为 a ,C 是焦点在 x 轴上的椭圆;

x2 y2 ? ? 1, 2 ma 2 当 m ? 0 时,曲线 C 的方程为 a C 是焦点在 x 轴上的双曲线。
(II)由(I)知,当 m=-1 时,C1 的方程为 x ? y ? a ;
2 2 2

当 m? (?1,0) ? (0, ??) 时, C2 的两个焦点分别为

F1 (?a 1 ? m,0), F2 (a 1 ? m,0).

对于给定的 m? (?1,0) ? (0, ??) , C1 上存在点

N ( x0 , y0 )( y0 ? 0) 使得 S ?| m | a2 的充要条件是
① ②

2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , y0 ? 0, ? ?1 2 ? ? 2a 1 ? m | y0 |?| m | a . ?2

由①得

0 ?| y0 |? a, 由②得

| y0 |?

|m|a . 1? m

0?


| m| a 1? 5 ? a,即 ? m ? 0, 2 1? m
1? 5 2 时,

0?m?


存在点 N,使 S=|m|a2;

|m| a 1? 5 ? a,即-1<m< , 2 当 1? m
m?


1? 5 2 时,

不存在满足条件的点 N,

?1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? m?? , 0 ? ? ? 0, ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 当 时,

???? ???? ? NF1 ? (?a 1? m ? x0 ? y0 ), NF2 ? (a 1? m ? x0 , ? y0 ) , 由 ???? ???? ? 2 2 NF1 ? NF2 ? x0 ? (1? m)a2 ? y0 ? ?ma2 , 可得

???? ???? ? | NF1 |? r1,| NF2 |? r2 , ?F1NF2 ? ? , 令
???? ???? ? ma 2 NF1 ? NF2 ? r1r2 cos ? ? ?ma 2 , 可得r1r2 ? ? cos ? , 则由 1 ma 2 sin ? 1 S ? r1r2 sin ? ? ? ? ? ma 2 tan ? 2 2cos ? 2 从而 ,
于是由 S ?| m | a ,
2

1 2|m| ? ma 2 tan ? ?| m | a 2 , 即 tan ? ? ? . m 可得 2
综上可得:

?1 ? 5 ? m?? ,0? ? 2 2 ? ? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a , 且 tan F1NF2 ? 2; 当 ? 1? 5 ? m ? ? 0, ? ? 2 ? S ?| m | a2 , 且 tan F1NF2 ? ?2; ? 当 时,在 C1 上,存在点 N,使得

m(?1,


1? 5 1? 5 )?( , ??) 2 2 时,在 C1 上,不存在满足条件的点 N。

【2012 高考真题上海理 22】在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 :

2 x 2 ? y 2 ? 1.
(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,求证:
OP ? OQ ;

(3) 设椭圆 C 2 :4 x 2 ? y 2 ? 1, M 、N 分别是 C1 、C 2 上的动点, OM ? ON , 若 且 求证: O 到直线 MN 的距离是定值.
【答案】

过点 A 与渐近线 y ?

? 2? 2 x 平行的直线方程为 y ? 2 ? x ? ? ,即y ? 2 x ? 1. ? 2 ? ? ?

ON ? 1, OM ?

2 3 ,则 O 到直线 MN 的距离为 . 2 3

设 O 到直线 MN 的距离为 d .

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆 的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊 的为等轴双曲线,它的离心率为 2 ,它的渐近线为 y ? ? x ,并且相互垂直,这些性质的 运用可以大大节省解题时间,本题属于中档题 .


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