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福建省福州八县(市)一中09-10学年高二上学期期末联考(数学理)


福建省福州八县(市)一中 09-10 学年高二上学期期末联考 数学(理科)试卷
命题:永泰一中 林志成 审题:金 中 满分:150 分 考试日期:1 月 29 日 完卷时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.条件 p : x ? 2, y ? 3 ,条件 q : x ? y ? 5 , xy ? 6 ,则条件 p 是条件 q 的( A.充分而

不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( D.3 ( ) ) )

? ? ? ? 2.已知 a ? ?1, ?3, ? ? , b ? ? 2, 4, ?5? ,若 a ? b , 则 ? =
A. ?4 B. ?2 C.2

3.等轴双曲线过 点(1,2) ,则它的焦点坐标为 A. (0, ? 6) B. ? 6 ,0) ( C. (0, ?

6)

D. ? ( (

6 ,0)


4.下列命题错误的是:
2

A.命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实数根”的逆否命题为: “若方程

x 2 ? x ? m ? 0 无实数根,则 m ? 0 ”
B.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题
2 C. x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 “

D.若 p ? q 为真命题,则 p, q 至少有一个为真命题 5.一元二次方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0(a ? 0) 有一个正根和一个负根的必要不充分条件是( )
2

A. a ? 0

B. a ? 0

C. a ? 1

D. a ? 1

6.设椭圆的标准方程为 A. 4 ? k ? 5
2

x2 y2 ? ? 1 ,其焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围是( ) k ?3 5?k
C. k ? 3 D. 3 ? k ? 4

B. 3 ? k ? 5
2

7.一个动点在圆 x ? y ? 1上移动时,它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是( ) A. ( x ? 3) ? y ? 4
2 2

B. ( x ? 3) ? y ? 1
2 2

C. (2x ? 3)2 ? 4 y 2 ? 1

D. ( x ? ) ? y ?
2 2

3 2

1 2


8.过点(0,2)与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点的直线有( A.无数多条 B.3 条 C.2 条

D.1 条

9.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AA ,则 AC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值等于( ) 1

A.

2 2

B.

15 5

C.

6 4

D.

6 3


10.正方体 ABCD ? A B1C1D1 棱长为 a ,则点 C1 到平面 A BD 的距离是( 1 1

A.

2 a 2

B.

3 a 3

C. 3a

D.

2 3 a 3

11.斜率为 2 的直线 l 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右焦点,且与双曲线的左右两支 a2 b2
) D. e > 5

分别相交,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( A. e < 2 B.1< e < 3 C.1< e < 5

12.已知 ?ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P ,若 PA ? PB ? PC ? BC ,则点 P 与 ?ABC 的位置关系是( A. P 在 AB 边上 C. P 在 ?ABC 的内部 二、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 13.对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p :__________________
2

) B. P 在 AC 边上或其延长线上 D. P 在 ?ABC 的外部

14.已知向量 i, j, k 不共面,向量 a ? i ? 2 j ? k , b ? ?i ? 3 j ? 2k , c ? ?3i ? x j 共面,则

x?
15.如果椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的弦被点(4,-2)平分,则这条弦所在的直线方程是 36 9

16.从双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F 引圆 x 2 ? y 2 ? 36 的切线,切点为 T ,延长 FT 交双 36 64
三、

曲线右支于点 P , M 为线段 FP 的中点, 为坐标原点, MO ? MT 的值为 若 O 则

解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2 17. (本题满分 12 分)命题 p :4 x + 4(m ? 2) x ? 1 =0 无实根,命题 q : y ?

2?m 在区间 x

(0,+ ? )上是减函数,若“ p 或 q ”为真命题,求实数 m 的取值范围。

18. (本题满分 12 分)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3 ,0)。 (1)求双曲线 C 的方程;

OP 的 (2) 若直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B , P 是弦 AB 的中点,
斜率为

2 (其中 O 为原点),求 k 的值 3

19. (本题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, AC ? BC , AC ? BC ? CC1 ,

M 是 A1 B 的中点,
(1)在线段 B1C1 上是否存在一点 N ,使得 MN ⊥平面 A1 BC ?若存在,找出点 N 的位置幷 证明;若不存在,请说明理由; (2)求平面 A1 AB 和平面 A1 BC 所成角的大小。 A1 C1 N B1

M C A B

20. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系中,直线 l 与抛物线 y ? 2 x 相交于 A , B 两点,
2

(1)求证: “如果直线 l 过点 T (3,0) ,那么 OA ? OB ? 3 ”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。

21. (本题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面 PAD 是正三角形, 且与底面 ABCD

垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? , M , N 分别是 PC, PB 的中点。 (1)求证: DP // 平面ANC ; (2)求证:平面 PBC ⊥平面 ADMN ; (3)求点 B 到平面 ANC 的距离 D N A P M C

B

22. (本题满分 14 分)已知:直线 x ? y ? 1 交椭圆 mx2 ? ny2 ? 1 于 A , B 两点,且

OA ? OB ( O 为坐标原点)
(1)求证:椭圆过定点; (2)若椭圆的离心率在 [

3 2 , ] 上变化时,求椭圆长轴的取值范围。 3 2

福建省福州八县(市)一中 09-10 学年高二上学期期末联考 数学(理科)答题卷
考试日期:2010.01.29 完卷时间: 120 分钟 满分: 150 分 1-12 13-16 17 18 19 20 21 22 得分

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 14. 15. 16. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(满分 12 分) 解: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

18.(满分 12 分) 解:

19.(满分 12 分) 解: A1

C1

N B1

M C A B

20.(满分 12 分)

21.(满分 12 分) P M D N A C

B

22.(满分 14 分)

福建省福州八县(市)一中 09-10 学年高二上学期期末联考 数学(理科)试卷参考答案

19、解(Ⅰ)根据题意 CA、CB、CC1 两两互相垂直 如图:以 C 为原点, CA、CB、CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系

设 AC=BC=CC1=a,则 A (a,0, a) , M ( , 1

a a a , ) 2 2 2
A1

z C1 N B1

B(0, a,0), B1 (0, a, a), A(a,0,0), C(0,0,0), C1 (0,0, a) ,
假设在 B1C1 上存在一点 N,使 MN ⊥平面 A1 BC ,设 N (0, y, a) 所以 BA ? (a, ?a, a) , CA ? (a,0, a) , MN ? (? 1 1 由 MN ? BA ? 0 , MN ? CA ? 0 ,得: y ? 1 1

????

????

???? ???? ?

???? ???? ?

a a a ,y? , ) 2 2 2
x A

M C D B y

a 2

? N 在线段 B1C1 的中点处

??????????????6 分

(Ⅱ)由(1)知 MN⊥平面 A1BC,则平面 A1BC 的一个法向量为 n ? (1,0,?1) ?7 分 取 AB 中点 D,连接 CD,易证 CD⊥平面 A1AB

1 1 ( 0) ? 可得面 A1AB 的一个法向量 CD ? , , 2 2

?????????????8 分

P z M D E A x N O y B C

则点 B 到平面 ANC 的距离 d ?

AB ? n n

?

2 39 13

???????12 分

?m x2 ? ny 2 ? 1 22.解: (1)由 ? ? (m ? n) x 2 ? 2nx ? n ? 1 ? 0 ???????2 分 x ? y ?1 ?
由 ? ? 4n ? 4(m ? n)(n ? 1) ? 0得:m ? n ? mn ? 0
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则: x1 ? x 2 ?

2n n ?1 , x1 x 2 ? m?n m?n


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