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2013高考理科数学试题分类导数与积分

时间:2015-01-07


2013 年全国高考理科数学试题分类汇编:导数与积分
一、选择题 1. (新课标Ⅱ卷)已知函数

f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是
B . 函数 y ? f ( x ) 的图像是中心对称图形





A. ?x0 ? R, f (

x0 ) ? 0

C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0
2 . (江西)若 S1 ?

?

2

1

x 2 dx, S2 ? ?

2

1

2 1 dx, S3 ? ? e x dx, 则 S1S2 S3 的大小关系为 1 x





A. S1 ? S2 ? S3 C. S2 ? S3 ? S1

B. S2 ? S1 ? S3 D. S3 ? S2 ? S1

3. (辽宁)设函数

f ? x ? 满足x 2 f ? ? x ? ? 2 xf ? x ? ?

ex e2 , f ? 2 ? ? , 则x ? 0, 时,f ? x ? x 8





A.有极大值,无极小值 C.既有极大值又有极小值
4. (福)设函数 f ( x) 的定义域为 R, x0 ( x0

B.有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值

? 0) 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是
( )

A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点
2

B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点 ( )

5. (北)直线 l 过抛物线 C: x =4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于

A.

4 3

B.2

C.

8 3

D.

16 2 3
( )

6. (浙江) )已知 e 为自然对数的底数,设函数

f ( x) ? (e x ?1)(x ?1)k (k ? 1,2) ,则

A.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 B.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 C.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 D.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值
7. (江西)设函数 f ( x ) 在 (0, ??) 内可导,且 8. (湖南)若

f (e x ) ? x ? e x ,则 f x (1) ? ______2________

?

T

0

x 2 dx ? 9, 则常数T的值为 ___3______.

1

9. (广东)若曲线 二、解答题

y ? kx ? ln x 在点 ?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ____ ?1 __.

10. (新课标Ⅱ)已知函数

f ( x) ? e x ? ln( x ? m) .

(Ⅰ)设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m ,并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 .
11. (江苏卷)设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e
x

? ax ,其中 a 为实数.

(1)若 f ( x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g ( x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f ( x) 的零点个数,并证明你的结论.
12. (广东省)设函数

f ? x ? ? ? x ?1? ex ? kx2 (其中 k ? R ).

(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M .

?1 ? ?2 ?

13. (2013 年高考江西卷(理) )已知函数

f (x)=a(1-2 x1 对称; 2

1 ) , a 为常数且 a >0 . 2

(1) 证明:函数 f (x) 的图像关于直线 x =

(2) 若 x0 满足 f (f (x0 ))=x0 , 但 f (x0 ) ? x0 , 则称 x0 为函数 f (x) 的二阶周期点 , 如果

f (x) 有两个二阶周期点 x1 ,x2 , 试确定 a 的取值范围;
14. (重庆数学)设 f ? x ? ? a ? x ? 5 ? ? 6 ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ?
2

f ? x? 在点 ?1, f ?1? ? 处

的切线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? . (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值.

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 1 5 . ( 四 川 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 其 中 a 是 实 数 . 设 ?ln x, x ? 0
A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
(Ⅰ)指出函数 f ( x ) 的单调区间;
16. (福建)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R )

2

(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.
17. (新课标 1)已知函数

f ( x) = x 2 ? ax ? b , g ( x) = e x (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线

y ? g ( x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2
(Ⅰ)求 a , b , c , d 的值;(Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围.

f ( x) ?
18. (山东)设函数

x ?c e2 x ( e =2.71828 是自然对数的底数, c ? R ).
(Ⅱ)讨论关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 根的个数.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间、最大值;
19. (浙江)已知 a ? R ,函数

f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 3ax ? 3a ? 3.

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;(2)当 x ? [0,2] 时,求 | f ( x) | 的最大值.

20. (大纲版)已知函数

f ? x ? = ln ?1 ? x ? ?

x ?1 ? ? x ? . 1? x

(I)若 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,求 ? 的最小值; (II)设数列 ?an ?的通项an ? 1 ?
21. (天津)已知函数 f ( x) ? x 2 ln x .

1 1 1 1 ? ? ??? ? , 证明:a2 n ? an ? ? ln 2. 2 3 n 4n

(Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设 (Ⅱ) 中 所 确 定 的 s 关 于 t 的 函 数 为 s ? g (t ) , 证 明 : 当 t >e 2 时 , 有
2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2
22. (北京)设 L 为曲线 C: y ?

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(I)求 L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方.

3


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