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2016必修1函数的奇偶性

时间:2016-09-18


奇偶性
知识点一 函数奇偶性的定义 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶 函数;如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇 函数. 如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,我们就说函数 f(x)具有奇偶性. 思考 为什么奇、偶函数的定义域一定要关于原点对称? 知识点二 奇函数、偶函数的图象特征 (1)若一个函数是奇函数,则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形;反之,若一个 函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)若一个函数是偶函数,则它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函数 的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数. 知识点三 奇偶性应用中常用结论 (1)若函数 f(x)是奇函数,且 0 在定义域内,则必有 f(0)=0. (2)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的两个区间上 单调性相反. 题型一 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2-|x|; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2; (3)f(x)= x ; x-1

?x+1,x>0, ? (4)f(x)=? ?-x+1,x<0. ?

跟踪训练 1 (1)下列函数为奇函数的是( A.y=|x| C.y= 1 x3

)

B.y=3-x D.y=-x2+14 )

(2)若 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx 是( A.奇函数 C.非奇非偶函数 题型二 利用函数的奇偶性求值 例 2 已知 f(x)=ax5+bx3+cx-8,且 f(d)=10,求 f(-d). B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

跟踪训练 2 函数 f(x)=x5+ax3+bx+2,且 f(-3)=1,则 f(3)=________. 题型三 利用奇偶性求函数解析式 例 3 已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-1,求函数 f(x)的解析式.

跟踪训练 3 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,x≥0 时,f(x)=x2-2x,则函数 f(x)在 R 上的解析式是( A.f(x)=-x(x-2) B.f(x)=x(|x|-2) C.f(x)=|x|(x-2) D.f(x)=|x|(|x|-2) 例 4 已知偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围是 )

________. 跟踪训练 4 函数 f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,f(3)<f(2a+ 1),则 a 的取值范围是( A.a>1 C.a>1 或 a<-2 ) B.a<-2 D.-1<a<2

1.函数 f(x)=|x|+1 是( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

) B.偶函数 D.非奇非偶函数 )

2.函数 f(x)=ax2+bx+c 是定义在实数集上的奇函数,则( A.a=0,b≠0,c≠0 B.ac=0,b≠0 C.a=0,c=0,b 取任意实数 D.a,b,c 均可取任意实数 3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A.y=-x,x∈R C.y=x3,x∈R B.y=x2,x∈R D.y=|x|,x∈R

)

4.已知函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x-x2,则 f(-2)=_______. 5.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x>0 时,解析式为 f(x)=x2+x,则当 x<0 时,f(x)= ________.


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