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抽象函数常见题型解法综述


抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。 由于抽象函数表现形式的抽象性, 使得这类问题成为函数内容的难点之一。 就抽象函数常见 题型及解法评析如下: 1、定义域问题 例 18. 已知函数 的定义域是[1,2],求 f(x)的定义域。 ,所以 中的 满足

解: 的定义域是[1,2],是

指 从而函数 f(x)的定义域是[1,4] 评析: 一般地, 已知函数 中 x 的取值范围为 A,据此求 例 19. 已知函数 解: 的定义域是 的定义域是

的定义域是 A, 求 f(x)的定义域问题, 相当于已知 的值域问题。 ,求函数 的定义域。 中,由此可得

,意思是凡被 f 作用的对象都在

所以函数

的定义域是

评析:这类问题的一般形式是:已知函数 f(x)的定义域是 A,求函数 的定义域。 正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知 的值域 B,且 2、求值问题 例 20. 已知定义域为 ,据此求 x 的取值范围。例 2 和例 1 形式上正相反。

的函数 f(x),同时满足下列条件:① ,求 f(3),f(9)的值。

;②

解:取 因为 又取 得

,得 ,所以

评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取

,这样便把已知条件

与欲求的 f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 3、值域问题 例 21. 设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y, 且存在 解:令 若 ,则 ,使得 由于 成立矛盾,故 对任意 ,使得 ,得 ,求函数 ,即有 的值域。 或 ,对任意 ,必有 均成立,因此,对任意 。 均成立,这与存在实数 。 ,有 总成立,

下面来证明,对任意 设存在 ,使得 ,则 矛盾,因此,对任意

这与上面已证的

所以 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转 化的必要手段。 4、解析式问题 例 22. 设对满足 f(x)的解析式。 解:在 的所有实数 x,函数 满足 ,求

中以

代换其中 x,得:

再在(1)中以

代换 x,得

化简得: 评析:如果把 x 和 分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题 关键。通常情况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是 实现这种转化的重要策略。 5、单调性问题 例 23. 设 f(x)定义于实数集上,当 ,求证: 证明:在 若 所以 当 而 所以 又当 时, ,恒有 ,则 时, ,令 ,即有 ;当 时, 中取 ,则 时, ,且对于任意实数 x、y,有

在 R 上为增函数。 ,得 ,与 矛盾

所以对任意 设 所以

所以 在 R 上为增函数。 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及 数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 6、奇偶性问题 例 24. 已知函数 对任意不等于零的实数 ,试判断函数 f(x)的奇偶性。 解:取 又取 再取 得: 则 为偶函数。 ,求 中取 的值。 ,所以函数 得: ,所以 ,所以 ,即 都有

因为 为非零函数,所以 7、对称性问题 例 25. 已知函数 满足

解:已知式即在对称关系式

的图象关于点 (0, 2002) 对称。 根据原函数与其反函数的关系, 知函数 的图象关于点(2002,0)对称。 所以 将上式中的 x 用 代换,得 评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设 a、b 均 为常数, 函数 对一切实数 x 都满足 图象关于点(a,b)成中心对称图形。 8.综合问题 例 26. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 当 x>0 时,0<f(x)<1。 (1)判断 f(x)的单调性; (2)设 , ,若 解:(1)在 ,所以 在 因为当 所以当 而 所以 又当 x=0 时, 设 所以 所以 在 R 上为减函数。 ,所以,综上可知,对于任意 ,则 ,均有 。 时, 时 。 中,令 中,令 ,试确定 a 的取值范围。 ,得 ,因为 , 则函数 的

,且

(2)由于函数 y=f(x)在 R 上为减函数,所以 即有 又 由 ,所以直线 ,根据函数的单调性,有 与圆面 无公共点。因此有

,解得 。 评析:(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是 f(0)的取值问题,二是 f(x)>0 的结论。这是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思 想,联想类比思维都有助于问题的思考和解决 巩固练习 1、已知函数 f ( x ) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) , (1)求证: f ( x ) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12) . 解: (1)显然 f ( x ) 的定义域是 R ,它关于原点对称.在 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 中, 令 y ? ? x ,得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) , ∴ f (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x ) 是奇函数. (2)由 f (?3) ? a , f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 及 f ( x ) 是奇函数, 得 f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ?4 f (?3) ? ?4a . 2、函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1、x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1) +f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (1)解:令 x1=x2=1,有 f(1×1)=f(1)+f(1) ,解得 f(1)=0. (2)证明:令 x1=x2=-1,有 f[ (-1)×(-1) ]=f(-1)+f(-1).解得 f(-1) =0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x) ,∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函 数. 3、设 f ( x ) 的定义域为自然数集,且满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ,及 f (1) =1,求 f ( x ) 解:∵ f ( x ) 的定义域为 N,取 y =1,则有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ∵ f (1) =1,∴ f (2) = f (1) +2, f (3) ? f (2) ? 3 ?? f (n) ? f (n ? 1) ? n 以上各式相加,有 f ( n) =1+2+3+??+ n =

n( n ? 1) 1 ∴ f ( x) ? x( x ? 1), x ? N 2 2

4、 已知 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) f ( y ) ,对一切实数 x 、 y 都成立,且 f (0) ? 0 ,求证

f ( x) 为偶函数。
证明:令 x =0, 则已知等式变为 f ( y) ? f (? y) ? 2 f (0) f ( y) ??① 在①中令 y =0 则 2 f (0) =2 f (0) ∵ f (0) ≠0∴ f (0) =1∴ f ( y) ? f (? y) ? 2 f ( y) ∴

f (? y) ? f ( y) ∴ f ( x) 为偶函数。
5、 f ( x ) = ax 2 ? bx ? c 对任意的 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ,比较 f (1)、f (2)、f (4) 的大小 解:对任意 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ∴ x =2 为抛物线 y = ax 2 ? bx ? c 的对称轴 又∵其开口向上∴ f (2)最小, f (1)= f (3)∵在[2,+∞)上, f ( x ) 为增函数 ∴ f (3)< f (4),∴ f (2)< f (1)< f (4) 6、已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时, f(x)>0,f(-1)=-2,求 f(x)在区间[-2,1]上的值域。 分析:由题设可知,函数 f (x)是 关键在于研究它的单调性。 解:设 ∵ ∴ 在条件中,令 y=-x,则 ,即 ,∵当 , ,∴f(x)为增函数。 ,再令 x=y=0,则 f(0)=2 f(0), ,∴ , 的抽象函数, 因此求函数 f(x) 的值域,

∴ f(0)=0,故 f(-x)=f(x),f(x)为奇函数, ∴ f(1)=-f(-1)=2,又 f(-2)=2 f(-1)=-4, ∴ f(x)的值域为[-4,2]。 7、 设函数 f (x) 的定义域是 (-∞, +∞) , 满足条件: 存在 对任何 x 和 y, 是指数函数 , 使得 ,

成立。求:f(0);分析:由题设可猜测 f(x) 的抽象函数,从而猜想 f(0)=1 且 f(x)>0。 ,则 ,∴

解:(1)令 y=0 代入

。若 f(x)=0,则对任意 设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。 8、 设f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的单调增函数, 满足 求:(1)f(1);

,有

,这与题



(2)若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围。 的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。 ,∴f(1)=0。 ,从而有 f(x)+f(x-8)≤f(9), ,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故

分析:由题设可猜测 f(x)是对数函数 解:(1)∵ (2) 即

,解之得:8<x≤9。 9、已知定义域为 的函数 f(x),同时满足下列条件:① ,求 f(3),f(9)的值。 解:取 因为 又取 ,得 ,所以 ;②



经典习题 2
1. 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围。 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
2 2

(2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x) ?

1 f ( x)

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f ( x) ?
1 ? 0 又 x=0 时,f(0)=1>0 f ( ? x)

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x )=f[x+(2x-x )]=f(-x +3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3 2. 已 知 函 数 f ( x) , g ( x) 在 R 上 有 定 义 , 对 任 意 的 x, y ? R 有
2 2 2 2 2

f ( x ? y ) ? f ( x) g ( y ) ? g ( x) f ( y )
(1)求证: f ( x) 为奇函数

且 f (1) ? 0

(2)若 f (1) ? f (2) , 求 g (1) ? g (?1) 的值 解(1)对 x ? R ,令 x=u-v 则有 f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)g(u)f(v)]=-f(x) (2)f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0 ∴g(-1)+g(1)=1 3. 已 知 函 数 f ( x) 对 任 意 实 数 x, y 恒 有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 且 当 x > 0 ,
f ( x ) ? 0.又f (1) ? ?2.

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的最大值; (3)解关于 x 的不等式 f (ax2 ) ? 2 f ( x) ? f (ax) ? 4. 解(1)取 x ? y ? 0, 则 f (0 ? 0) ? 2 f (0) 取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)

? f (0) ? 0

? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f ( x) 为奇函数. (2)任取 x1 , x2 ? (??,??)且x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0 ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 ? f ( x2 ) ? ? f (? x1 ), 又 f ( x) 为奇函数 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 在(-∞,+∞)上是减函数. ? 对任意 x ? [?3,3] ,恒有 f ( x) ? f (?3)

而 f (3) ? f (2 ? 1) ? f (2) ? f (1) ? 3 f (1) ? ?2 ? 3 ? ?6

? f (?3) ? ? f (3) ? 6
2

∴ f ( x) 在[-3,3]上的最大值为 6
2

(3)∵ f ( x) 为奇函数,∴整理原式得 f (ax ) ? f (?2x) ? f (ax) ? f (?2) 进一步可得 f (ax ? 2 x) ? f (ax ? 2) 而 f ( x) 在(-∞,+∞)上是减函数,? ax2 ? 2 x ? ax ? 2

? (ax ? 2)(x ? 1) ? 0. ? 当 a ? 0 时, x ? (??,1) 当 a ? 2 时, x ? {x | x ? 1且x ? R} 2 当 a ? 0 时, x ?{x | ? x ? 1} a
当 0 ? a ? 2 时, x ? { x | x ? 当 a>2 时, x ? { x | x ?
2 或x ? 1} a
2 或x ? 1} a

4.

已知 f(x)在(-1, 1)上有定义, f( ⑴证明:f(x)在(-1,1) ⑵对数列 x1=

x? y 1 )=-1, 且满足 x, y∈(-1, 1)有 f(x)+f(y)=f( ) 1 ? xy 2

2xn 1 ,xn+1= 2 ,求 f(xn); 2 1 ? xn

⑶求证

1 1 1 2 n ? 5 ? ? ? ? ? ? f ( x ) f ( x ) f ( x ) n ? 2 1 2 n

(Ⅰ)证明:令 x=y=0,∴2f(0)=f(0),∴f(0)=0 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=f(0)=0 ∴f(x)+f(-x)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数 (Ⅱ)解:f(x1)=f(

2 xn xn ? xn 1 )=-1,f(xn+1)=f( )=f(xn)+f(xn)=2f(xn) 2 )=f( 1 ? xn ?x n 2 1 ? xn



f ( x n ?1 ) =2 即{f(xn)}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列 f (xn )
-1

∴f(xn)=-2n (Ⅲ)解:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ( 1 ? ? ? ? ? ) 2 n ? 1 f ( x )f ( x ) f ( x ) 2 2 2 1 2 n

1 1 ?n 1 1 ? ? 2? ? ( 2 ?n )? ? 2 ?n ? ? 2 ? 1 1 1 2 2? 1 ? 2

而? ∴

2 n ? 5 1 1 ? ? ( 2 ? ) ? ? 2 ? ? ? 2 n ? 2 n ? 2 n ? 2

1 1 1 2 n ? 5 ? ? ? ? ? ? f ( x ) f ( x ) f ( x ) n ? 2 1 2 n
(1)对任意 x ? 0,1 ,总有 f ( x) ? 2 ; (2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x) 的最大值; (III)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? ? 1 2 (an ? 3), n ? N .
*

6.已知函数 f ( x) 的定义域为 ?0,1? ,且同时满足:

? ?

求证: f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ?

? f (an ) ? 3 ? 2n ? 2

1 . 2?3n?1

解: (I)令 x1 ? x2 ? 0 ,由(3),则 f (0) ? 2 f (0) ? 2,? f (0) ? 2 由对任意 x ? 0,1 ,总有 f ( x) ? 2,? f (0) ? 2 (II)任意 x1 , x2 ? 0,1 且 x1 ? x2 ,则 0 ? x2 ? x1 ? 1,? f ( x2 ? x1 ) ? 2

? ?

? ?

? f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 ) ? f max ( x) ? f (1) ? 3
(III)
* ? Sn?1 ? ? 1 Sn ? ? 1 2 (an?1 ? 3)(n ? 2) 2 (an ? 3)(n ? N )

1 ?an ? 1 3 an?1 (n ? 2), a1 ? 1 ? 0?an ? 3n?1

? f (an ) ? f (
1)? ? f (3 n

1 ) ? f ( 1 ? 1 ? 1 ) ? f ( 2 )? f ( 1 )?2?3f ( 1 )?4 3n 3n 3n 3n 3n 3n 3n?1 4 1 f ( 1 ) ? 4 ,即 f (a ) ? 1 n?1 n) ? 3 。 3 3 3 3n?1

f (a

4 1 4 4 ? f (an ) ? 1 3 f (an?1 ) ? 3 ? 32 f (an?2 ) ? 32 ? 3 ?

? 3n1?1 f (a1 ) ? 3n4?1 ? 3n4?2 ?

1 ? 342 ? 4 3 ? 2 ? 3n?1

1 故 f ( an ) ? 2 ? n ?1 3

? f (a1 ) ? f (a2 ) ?

? f (an ) ? 2n ? 1?31 即原式成立。 3

1?( 1 )n

7. 对于定义域为 ?0,1? 的函数 f ( x) ,如果同时满足以下三条:①对任意的 x ? 0,1 ,总有

? ?

f ( x) ? 0 ;② f ( 1 ) ? 1 ;③若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成
立,则称函数 f ( x) 为理想函数. (1) 若函数 f ( x) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2)判断函数 g ( x) ? 2 ? 1 ( x ? [0,1]) 是否为理想函数,并予以证明;
x

(3) 若 函 数 f ( x) 为 理 想 函 数 ,

假 定 ? x0 ? 0 , 1 , 使 得 f ( x0 )? 0 , 1, 且

? ?

? ?

f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证 f ( x0 ) ? x0 .

解: (1)取 x1 ? x 2 ? 0 可得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 . 又由条件① f (0) ? 0 ,故 f (0) ? 0 . (2)显然 g ( x) ? 2 ? 1在[0,1]满足条件① g ( x) ? 0 ;x

也满足条件② g (1) ? 1 . 若 x1 ? 0 , x 2 ? 0 , x1 ? x 2 ? 1 ,则

g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? [(2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1)] ? 2 x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? (2 x2 ?1)(2 x1 ?1) ? 0 ,即满足条件③,
故 g ( x) 理想函数. (3)由条件③知,任给 m 、 n ? [0,1],当 m ? n 时,由 m ? n 知 n ? m ?[0,1],

? f (n) ? f (n ? m ? m) ? f (n ? m) ? f (m) ? f (m)
若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,前后矛盾; 若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,前后矛盾. 故 x0 ? f ( x0 ) 8.已知定义在 R 上的单调函数 f ( x) ,存在实数 x0 ,使得对于任意实数 x1 , x2 ,总有

f ( x0 x1 ? x0 x2 ) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立。
(Ⅰ)求 x0 的值; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 1 ,且对任意正整数 n ,有 an ? f (

1 ) ? 1 , ,求数列{an}的通项公式; 2n (Ⅲ)若数列{bn}满足 bn ? 2 og 1 an ? 1 ,将数列{bn}的项重新组合成新数列 ?cn ? ,具体法则
2

如下: c1 ? b1 , c2 ? b2 ? b3 , c3 ? b4 ? b5 ? b6 , c4 ? b7 ? b8 ? b9 ? b10 , ??,求证:

1 1 1 ? ? ? c1 c2 c3

?

1 29 ? 。 cn 24

解:(Ⅰ)令 x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x0 ) ? ? f (0) ,① 令 x1 ? 1, x2 ? 0 ,得 f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f (1) ? f (0) ,? f (1) ? ? f (0) ,② 由①、②得 f ( x0 ) ? f (1) ,又因为 f ( x) 为单调函数,? x0 ? 1

(Ⅱ)由(1)得 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f ( x1) ? f ( x 2) ?1 ,

1 1 1 1 f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (1), 2 2 2 2 1 1 f ( ) ? 0, a1 ? f ( ) ? 1 ? 1 2 2 1 1 1 1 1 1 f ( n ) ? f ( n ?1 ? n ?1 ) ? f ( n ?1 ) ? f ( n ?1 ) ? f (1) ? 2 f ( n ?1 ) ? 1 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 f ( n ?1 ) ? 1 ? [ f ( n ) ? 1], 2 2 2

1 ?1? an?1 ? an , an ? ? ? 2 ?2?

n ?1


n ?1

?1? bn ? 2 og 1 an ? 1 ? 2 og 1 ? ? 2 2 ?2?
[1+2+?+(n-1)]+1=

? 1 ? 2n ? 1

(Ⅲ)由{Cn}的构成法则可知,Cn 应等于{bn}中的 n 项之和,其第一项的项数为

(n ? 1)n (n ? 1)n +1,即这一项为 2×[ +1]-1=n(n-1)+1 2 2 n(1 ? 2n ? 1) 3 Cn=n(n-1)+1+n(n-1)+3+?+n(n-1)+2n-1=n2(n-1)+ =n 2 1 9 29 1? 3 ? ? 2 8 24 1 1 1 1 1 1 ? ? [ ? ] 当 n ? 3 时, 3 ? 2 2 n nn n(n ? 1) 2 (n ? 1)n n(n ? 1)

?1 ?

1 1 1 ? ? ? 23 33 43

?

1 1 1 1 1 ? 1? ? [ ? ? 3 n 8 2 2 ? 3 3? 4

?

1 1 ? ] (n ? 1) ? n n ? (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 29 ? 1? ? [ ? ] ? 1? ? ? 8 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) 8 12 24
解法 2:

n3 ? 4n(n ?1) ? n(n ? 2)2 ? 0,?n3 ? 4n(n ?1)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 3 n 4n(n ? 1) 4 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 1 ? ? ( ? ? 2 3 4 n 8 4 2 3 1 1 1 1 1 19 29 ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 8 16 4n 8 16 16 24

?

1 1 ? ) n ?1 n

x, y 有 9. 设 函 数 f ( x ) 是 定 义 域 在 (0, ??) 上 的 单 调 函 数 , 且 对 于 任 意 正 数
f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,已知 f (2) ? 1 .

1 f( ) (1)求 2 的值;
(2) 一个各项均为正数的数列 是数列

{an }

满足:

S f (Sn ) ? f (an ) ? f (an ? 1) ?1(n ? N*) , 其中 n
的通项公式;

{an }

的前 n 项的和,求数列

{an }

(3)在(2)的条件下,是否存在正数 M ,使

2n ? a1 ? a2 ?

? an ? M 2n ? 1(2a1 ?1) ?(2a2 ? 1)

?(2an ? 1)

对一切 n ? N * 成立?若存在,求出 M 的取值范围;若不存在,说明理由.

解: (1)∵

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)

,令

x ? y ?1

,有

f (1) ? f (1) ? f (1) ? 2 f (1)

,∴

f (1) ? 0

.

再令

x ? 2, y ?

1 1 1 1 f (1) ? f (2) ? f ( ) f ( ) ? ?1 f ( ) ? f (1) ? f (2) ? 0 ? 1 ? ?1 2 ,有 2 ,∴ 2 ,∴ 2
1 1 ? f [an (an ? 1)] ? f ( ) ? f [ an (an ? 1)] 2 2 ,

(2)∵

f (Sn ) ? f (an ) ? f (an ? 1) ?1

又∵

f ( x)

是定义域

(0, ??)

上单调函数,∵

Sn ? 0

1 an (an ? 1) ? 0 , 2 ,∴

1 Sn ? an (an ? 1) 2

??①



n ?1

时 , 由

1 S1 ? a1 (a1 ? 1) 2

, 得

a1 ? 1

, 当

n?2





1 Sn ?1 ? an ?1 (an ?1 ? 1) 2
Sn ? Sn ?1 ?

??②

由①-②,得 化简,得 ∵ ∴
an ? 0

1 1 an (an ? 1) ? an ?1 (an ?1 ? 1) ? an 2 2 ,
,∴

2 2 an ? an ?1 ? (an ? an?1 ) ? 0

(an ? an?1 )(an ? an?1 ?1) ? 0 ,
{an }
为等差数列.

, ∴

an ? an?1 ? 1 ? 0

, 即

an ? an?1 ? 1
,故

, ∴数列 .

a1 ? 1

, 公差 d ? 1 .

an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n

an ? n

n (3)∵ 2 ? a1 ? a2

? an ? 2n ?1? 2

? n ? 2n ? n! , (2a1 ?1)(2a2 ?1)

(2an ?1) ? 1? 3 ? (2n ?1)

bn ?


2n ? a1 ? a2

? an

2n ? 1(2a1 ? 1)(2a2 ? 1)

2n ? n ! (2an ? 1) = 2n ? 1 ?1? 3 ? (2n ? 1) ,



bn?1 ?

2n?1 ? (n ? 1)! 2n ? 3 ?1? 3 ? (2n ? 1)(2n ? 1) .

2(n ? 1) bn?1 2(n ? 1) 2n ? 1 4n2 ? 8n ? 4 ? ? ?1 2 b (2n ? 1)(2n ? 3) (2n ? 1) 2n ? 3 ∴ n = 4n ? 8n ? 3 ,


bn?1 ? bn

,数列

{bn }

为单调递增函数,由题意

M ? bn

恒成立,则只需

M ? (bn )min

=

b1 ?

2 3,
M ? (0, 2 3 2 3 ] (0, ] 3 , 3 . M 的取值范围为 存在正数 M , 使所给定的不等式恒成立,



11. 设函数 f(x)定义在 R 上,对于任意实数 m、n,恒有 fm , ( ?? n ) fm () · fn ( ) 且当 x>0 时,0<f(x)<1。 (1)求证:f(0)=1,且当 x<0 时,f(x)>1; (2)求证:f(x)在 R 上单调递减;
2 2 (3)设集合 A , ? ( x , y ) |( f xf ) · ( y ) ? f ( 1 )

?

?

B ? ( x , y ) |( f a x ? y ? 2 ) ?? 1 , a R ,若 A ,求 a 的取值范围。 ∩ B?? ? ?
解: (1)令 m=1,n=0,得 f(1)= f(1) ·f(0) 又当 x>0 时,0< f(x)<1,所以 f(0)=1 设 x<0,则-x>0 令 m=x,n=-x,则 f(0)= f(x) ·f(-x) 所以 f(x) ·f(-x)=1

)? 又 0< f(-x)<1,所以 f (x

1 ?1 f (? x )

、 x R (2)设 x ,且 x x 0 1 2? 1 ?x 2,则 x 2? 1?

所以 0 ? fx ( ? x ) ? 1 2 1 从而 f ( x )( ? f x ? x ? x )( ? f x ? x ) · f ( x ) 2 212 21 1 又由已知条件及(1)的结论知 f(x)>0 恒成立 所以

f (x 2) ? f (x x ) 2? 1 f (x ) 1 f (x2 ) ?1 f (x1)

所以 0 ?

所以 f(x2)< f(x1) ,故 f(x)在 R 上是单调递减的。

(3)由

x? y)? f() 1 得: f(
2 2

因为 f(x)在 R 上单调递减 所以 x ?y ?1 ,即 A 表示圆 x ?y ?1 的内部
2 2 2 2

由 f(ax-y+2)=1= f(0)得:ax-y+2=0 所以 B 表示直线 ax-y+2=0 所以 A ,所以直线与圆相切或相离,即 ∩ B??

2 1? a2

?1

? a ?3 解得: ? 3
12.定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 a、b 都有 f(a+b)+ f(a-b)=2 f(a) ·f(b) 成立,且 f (0 ) ?0。 (1)求 f(0)的值; (2)试判断 f(x)的奇偶性; (3)若存在常数 c>0 使 f ( ) ? 0 ,试问 f(x)是否为周期函数?若是,指出它的一个 周期;若不是,请说明理由。 解: (1)令 a=b=0 则 f(0)+ f(0)=2 f(0) ·f(0)

c 2

所以 2 f(0) ·[f(0)-1]=0 又因为 f (0 ) ?0,所以 f(0)=1 (2)令 a=0,b=x,则 f(x)+ f(-x)=2 f(0) ·f(x) 由 f(0)=1 可得 f(-x)= f(x) 所以 f(x)是 R 上的偶函数。 (3)令 a?x? , b? ,则

c 2

c 2

c ? ? ? ? ? c ? c ?c ? c ?c ? ? ? f x ? ? ? f x ? ? ? 2 fx ? · f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 ? ? ? ? 22 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ?
因为 f ? ? ? 0

? c? ? 2?

所以 f(x+c)+ f(x)=0 所以 f(x+c)=- f(x) 所以 f(x+2c)=- f(x+c)= -[-f(x)]= f(x) 所以 f(x)是以 2c 为周期的周期函数。 16. 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 对 于 任 意 x, y 都 有 f ( x ? y) ? f ( x)? f ( y成 ) 立,且

f (1) ? ?2 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 。
(1)判断 f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)试问:当-2003≤ x ≤2003 时, f ( x ) 是否有最值?如果有,求出最值;如果没有, 说明理由; (3)解关于 x 的不等式

1 1 f (bx 2 ) ? f ( x) ? f (b 2 x) ? f (b) ,其中 b2 ? 2 . 2 2

分析与解:⑴令 x=y=0,可得 f(0)=0 令 y=-x,则 f(0)=f(-x)+f(x),∴f(-x)= -f(x),∴f(x)为奇函数 ⑵设-3≤x1<x2≤3,y=-x1,x=x2 则 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1),因为 x>0 时,f(x)<0, 故 f(x2-x1)<0,即 f(x2)-f(x1)<0。 ∴f(x2)<f(x1)、f(x)在区间[-2003、2003]上单调递减 ∴ x= - 2003 时, f(x) 有最 大值 f( - 2003)= - f(2003)= - f(2002+1)= - [f(2002)+f(1)]= - [f(2001)+f(1)+f(1)]=?=-2003f(1)=4006。 x=2003 时,f(x)有最小值为 f(2003)= -4006。 ⑶由原不等式,得

1 [f(bx2) -f(b2x)]>f(x) -f(b)。 2

即 f(bx2)+f(-b2x)>2[f(x)+f(-b)]

∴f(bx2-b2x)>2 f(x-b),即 f[bx(x-b)]>f(x-b)+f(x-b) ∴f[bx(x-b)]>f[2 f(x-b)] 由 f(x)在 x∈R 上单调递减,所以 bx(x-b)<2(x-b),∴(x-b)(bx-2) <0 ∵b2≥2, ∴b≥ 2 或 b≤- 2

当 b> 2 时,b>

2 ? 2 ? ,不等式的解集为 ? x | ? x?b? b ? b ?
2? 2 ? ,不等式的解集为 ? x | x?b或x? ? b? b ?

当 b<- 2 时,b<

当 b=- 2 时,不等式的解集为 x | x ? ? 2 , 且x ? R 当 b= 2 时,不等式解集为φ 17.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:

?

?

(1)值域为 ? ?1,1? ,且当 x ? 0 时, ?1 ? f ? x ? ? 0 ; (2)对于定义域内任意的实数 x, y ,均满足: f ?m ?n ? ? 试回答下列问题: (Ⅰ)试求 f ? 0 ? 的值; (Ⅱ)判断并证明函数 f ? x ? 的单调性;

f ?m ? ? f ? n? 1 ? f ?m ? f ? n?

?1? ?1? (Ⅲ) 若函数 f ? x ? 存在反函数 g ? x ? , 求证:g ? ? ? g ? ? ? ? 5? ? 11 ?

1 ? ? ?1? ? g? 2 ? ? g? ? . ? n ? 3n ? 1 ? ? 2?
1 ? f ? m? f ? 0?

f? m ?? f n ? ? 中, 分析与解: (Ⅰ) 在f? 令 m ? 0, n ? 0 , 则有 f ? m ? ? f ? m ? ? f ? 0 ? . 即: m ? n ?? 1? f ? mf ? n?

?

2 ? ? f ?m? ? ?1 ? f ? m ? f ? 0 ? ? ? ? f ? m ? ? f ? 0 ? .也即: f ? 0? ?? f ? m? ? ?1? ? 0 .

由于函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1,1? ,所以, ? f ? m ?

? ?

?

2

? 1? ? 0 ,所以 f ? 0? ? 0 . ?

(Ⅱ)函数 f ? x ? 的单调性必然涉及到 f ? x ? ? f ? y ? ,于是,由已知

f ? m ? n? ?

f ? m? ? f ? n ? f ? m? ? f ? n ? , 我们可以联想到: 是否有 f ? m ? n ? ? ? (*) 1 ? f ? m? f ? n ? 1 ? f ? m? f ? n ?

这个问题实际上是: f ? ?n ? ? ? f ? n ? 是否成立? 为此,我们首先考虑函数 f ? x ? 的奇偶性,也即 f ? ? x ? 与f ? x ? 的关系.由于 f ? 0? ? 0 ,所

以, 在 f ? m ? n? ?

f ? m? ? f ? n ? 中, 令 n ? ?m , 得fm 所以, 函数 f ? x ? f m ? ? ?? ? ? ? 0. 1 ? f ? m? f ? n ?

为奇函数.故(*)式成立.所以, f ? m ? ? f ? n ? ? f ? m ? n ? ? ?1 ? f ? m ? f ? n ? ? ? .任取

x1 , x2 ? R , 且 x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0 , 故 f ? x2 ? x1 ? ? 0 且 ?1 ? f ? x2 ? , f ? x1 ? ? 1 . 所以,
f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? ?1 ? f ? x2 ? f ? x1 ? ? ? ? 0 ,所以,函数 f ? x ? 在 R 上单调递减.
(Ⅲ)由于函数 f ? x ? 在 R 上单调递减, 所以,函数 f ? x ? 必存在反函数 g ? x ? , 由原函数与反函数的关系可知: g ? x ? 也为奇函数; g ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递减;且当

?1 ? x ? 0 时, g ? x ? ? 0 .
为了证明本题,需要考虑 g ? x ? 的关系式. 在(*)式的两端,同时用 g 作用,得: m ? n ? g ? 令 f ? m? ? x, f ? n ? ? y , 则 m ?g x y ?n ? , g?

? f ? m? ? f ? n? ? ?, 1 ? f m f n ? ? ? ? ? ?
? 1 ? xy ?

? x? y ?. 则上式可改写为: ? ?, g ? x? ? g ? y ? ? g ? ?

不难验证:对于任意的 x, y ? ? ?1,1? ,上式都成立. (根据一一对应) . 这样,我们就得到了 g ? x ? 的关系式. 这个式子给我们以提示:即可以将 法化简求证式的左端.

x? y 1 写成 的形式,则可通过裂项相消的方 n ? 3n ? 1 1 ? xy
2

1
事实上,由于

1 n ? 3n ? 1
2

?

1

? n ? 1?? n ? 2 ? ? 1

?

? n ? 1?? n ? 2 ?
1? 1

1 ? n ?1

?

1 n?2


? n ? 1?? n ? 2 ?

? 1 ??? 1 ? 1? ? ? ? ? ? n ?1? ? n ? 2 ?

所以, g ?

1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? g? ??g? ?. 2 ? n ? 3n ? 1 ? ? n ?1? ? n?2? ?1? ?? ? 11 ? 1 ? ? ? g? 2 ? ? n ? 3n ? 1 ?

所以, g ? ? ? g ?

?1? ? 5?

? ?1? ? ? 1 ? ? 1 ?? ? ? 1 ? ? 1 ?? ? 1 ?? ? ? g ? ? ? g ? ?? ? ? g ? ? ? g ? ?? ? ? g ? ?? g? ?? ? 3 ?? ? ? 3 ? ? 4 ?? ? n ? 2 ?? ? ?2? ? ? n ?1 ? 1 ? ?1? ? 1 ? ?1? ? ?1? ? g? ?? g? ? ? g? ?? g?? ? ? g? ? ?2? ?n?2? ?2? ? n?2? ?2?
点评:一般来说,涉及函数奇偶性的问题,首先应该确定 f ? 0 ? 的值.

19.设函数 y∈R,有

的定义域为全体 R, 当 x<0 时, 成立,数列 满足

, 且对任意的实数 x, ,且

(n∈N )

*

(Ⅰ)求证:

是 R 上的减函数;

(Ⅱ)求数列

的通项公式;

(Ⅲ)若不等式 最大值.

对一切 n∈N 均成立,求 k 的

*

解析:(Ⅰ)令

,得



由题意知

,所以

,故





时,



,进而得







,则







,所以

是 R 上的减函数.

(Ⅱ)由





所以



因为

是 R 上的减函数,所以





, 进而



所以

是以 1 为首项,2 为公差的等差数列.

所以



所以



(Ⅲ)由

对一切 n∈N 均成立.

*



对一切 n∈N 均成立.

*















为关于 n 的单调增函数,



所以

,k 的最大值为

22. 定义在区间(0, ? )上的函 f(x)满足: (1)f(x)不恒为零; (2)对任何实数 x、q,都 有 f ( x ) ? qf ( x) .
q

(1)求证:方程 f(x)=0 有且只有一个实根; (2)若 a>b>c>1,且 a、b、c 成等差数列,求证: f (a) ? f (c) ? f (b) ;
2

(3) (本小题只理科做) 若 f(x) 单调递增, 且 m>n>0 时, 有 f (m) ? f (n) ? 2 f (

m?n ), 2

求证: 3 ? m ? 2 ? 2 解:(1)取 x=1,q=2,有 若 存 在 另 一 个 实 根 x0 ? 1 , 使 得 f (12 ) ? f (2)即f (1) ? 0?1是f ( x) ? 0的一个根,

f ( x1 ) ? 0对任意的 x1 ( x1 ? (0,??)成立,且 x1 ? x0 (q ? 0), 有f ( x1 ) ? qf ( x0 ) ? 0,
? f ( x0 ) ? 0恒成立, ? f(x1 ) ? 0, 与 条 件 矛 盾 ?f , ( x) ? 0有 且 只 有 一 个 实 x ?根 1
(2)? a ? b ? c ? 1, 不妨设a ? b 1 , c ? b 2 ,
q q

q

,则 q 1 ? 0, q2 ? 0 ∴ f (a) ? f (c) ? f (b 1 ) ? f (b 2 ) ? q1 q2 ? f (b) ,又 a+c=2b,
q q 2

∴ac-b = ?
2

(a ? c) 2 ?0 4
q1 ? q2

即 ac<b ?b
2

?q ?q ? ? b ,?0 ? q1 ? q2 ? 2,? q2q1 ? ? 1 2 ? ? 1 ? f (a) f (c) ? f 2 (b) ? 2 ?
2

2

(3)

? f (1) ? 0, f ( x)在(0,??)单调递增,当 x ? (0,1)时f ( x) ? 0;当x ? (1,??)时,f ( x) ? 0.
又 f (m) ? f (n) ,? f (m) ? f (n), f (m) ? ? f (n),?m ? n ? 0,? f (m) ? ? f (n).

令 m=b 1 ,n= b

q

q2

,b ? 1, 且 q 1 q 2 ? 0
2

?m ? n? 则 f(m)+f(n)=(q 1 ?q 2 ) f(b)=f(mn)=0? m n ? 1.0 ? n ? 1 ? m,? f (m) ? 2 f ? ? ,且 ? 2 ?
2 ?? m ? n ? 2 ? m?n m?n ?m ? n? m ? 1, ? m n ? 1,? f (m) ? 2 f ( ),? f (m) ? f ?? ? ? ?m ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ?

即 4m= m 2 ? 2m n ? n 2, ? 4m ? m 2 ? 2 ? n 2 ,由 0<n<1 得 0 ? 4m ? m ? 2 ? 1, ? m ? 1 ,
2

?3 ? m ? 2 ? 2
23. 设 f ( x) 是定义域在 [?1, 1] 上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. (l)求证 f ( x) 在 [?1, 1] 上是减函数; (ll)如果 f ( x ? c) ,

f ( x ? c 2 ) 的定义域的交集为空集,求实数 c 的取值范围; f ( x ? c 2 ) 存在公共的定义域,并求这个公

(lll)证明若 ? 1 ? c ? 2 ,则 f ( x ? c) ,

共的空义域. 解: (1)∵奇函数 f ( x ) 的图像上任意两点连线的斜率均为负 ∴对于任意 x1、 x2 ? [?1 , 1] 且 x1 ? x 2 有

f (x1 ) ? f (x 2 ) ?0 x1 ? x 2
从而 x1 ? x2 与 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 异号 (2) ∴ f ( x ) 在 [?1 , 1] 上是减函数 f ( x ? c) 的定义域为 [c ? 1, c ? 1]

f ( x ? c 2 ) 的定义域为 [c 2 ? 1, c 2 ? 1]
∵ 上述两个定义域的交集为空集 则有:

c2 ?1 ? c ?1 或 c2 ?1 ? c ?1

解得: c ? 2 或 c ? ?1 故 c 的取值范围为 c ? 2 或 c ? ?1 (3)∵

c 2 ? 1 ? c ? 1 恒成立 c2 ?1 ? c ?1 当1 ? c ? 2 或 ? 1 ? c ? 0 时 c 2 ? 1 ? c ? 1且 c2 ?1 ? c ?1

由(2)知:当 ? 1 ? c ? 2 时

此时的交集为 [(c ? 1,
2

c ? 1]

当0 ? c ?1

c2 ?1 ? c ?1 且

c2 ?1 ? c ?1

此时的交集为 [c ? 1,

c 2 ? 1]

故 ? 1 ? c ? 2 时,存在公共定义域,且
2 当 ? 1 ? c ? 0 或 1 ? c ? 2 时,公共定义域为 [(c ? 1,

c ? 1] ;

当 0 ? c ? 1 时,公共定义域为 [c ? 1,

c 2 ? 1] .

28.定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时 f(x)<0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明f(x)为减函数;若函数f(x)在[-3,3)上总有f(x)≤6成立,试确定f(1)应满足的条件;

1 1 (3)解关于x的不等式 f (ax 2 ) ? f (x) ? f (a 2 x) ? f (a), (n是一个给定的自然数 , a ? 0) n n 解:(1)由已知对于任意x∈R,y∈R,f(x+y)=f(x)+ f(y)恒成立 令x=y=0,得f(0+0)= f(0)+ f(0) ,∴f(0)=0 令x=-y,得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0∴对于任意x,都有f(-x)= - f(x)∴f(x)是奇函数. (2)设任意x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,由已知f(x2-x1)<0(1) 又f(x2-x1)= f(x2)+ f(-x1)= f(x2)- f(x1) (2) 由(1) (2)得f(x1)>f(x2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-∞,+∞)上是减函数. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3).要使f(x)≤6恒成立,当且仅当f(-3)≤6, 又∵f(-3)= - f(3)= - f(2+1)=-[ f(2)+ f(1)]= -[ f(1)+ f(1)+ f(1)]= -3 f(1) , ∴f(1)≥-2. 1 1 (3) f(ax2)- f(x)> f(a2x)- f(a) n n

? f(ax2)- f(a2x)>n[f(x)- f(a)] ? f(ax2-a2x)>nf(x-a) (10分)
由已知得:f[n(x-a)]=nf(x-a) ∴f(ax2-a2x)>f[n(x-a)] ∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数 ∴ax2-a2x<n(x-a).即(x-a) (ax-n)<0, ∵a<0,

n )>0, (11分) a n 讨论: (1)当a< <0,即a<- n 时, a
∴(x-a) (x-

原不等式解集为{x | x> (2)当a= (3)当

n 或x<a}; a

n <0即a=- n 时,原不等式的解集为φ ; a

n <a<0时,即- n <a<0时, a n 原不等式的解集为{x | x>a或x< } a 33.己知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:

①当

是定义域中的数时,有



②f(a)=-1(a>0,a 是定义域中的一个数); ③当 0<x<2a 时,f(x)<0。 试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。 (2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。 解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且 是定义域中的数时有

,∴

在定义域中。∵

, ∴f(x)是奇函数。 (2)设 0<x1<x2<2a,则 0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上 f(x)<0,

∴f (x1) , f (x2) , f (x2-x1) 均小于零, 进而知 于是 f(x1)< f(x2),∴在(0,2a)上 f(x)是增函数。

中的





,∵f(a)=-1,∴

,∴

f(2a)=0,设 2a<x<4a,则 0<x-2a<2a,

,于是 f(x)>0,即在(2a,4a)上 f(x) >0。设 2a<x1<x2<4a,则 0<x2-x1<2a,从而知 f(x1),f(x2)均大于零。f(x2-

x1)<0,∵

,∴

,即

f(x1)<f(x2),即 f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述,f(x)在(0,4a)


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