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【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:14 导函数(教师版) ]


导函数 常见函数的导数、导数的四则运算、复合函数的导数 1、曲线 y ?
( A) y ? x ? 2

x 在点 (1, ?1) 处的切线方程为( D ) x?2
( B ) y? ? 3x ? 2 (C ) y? 2 x ? 3 ( D ) y? ? 2 x ? 1

2、设函数 f ( x) ? g ( x) ?

x 2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1, 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为( A ) A、 4 B、 ?
1 4

C、 2

D、 ?

1 2

3、已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点
(1, f (1)) 处的切线方程是( A )

A、 y ? 2 x ? 1 4、若曲线 y ? x 则 a ?( A ) A、64 B、32
? 1 2

B、 y ? x 在点 ? a, a

C、 y ? 3 x ? 2
? 1 2

D、 y ? ?2 x ? 3

? ?

? ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18, ?

C、16

D、8

5、设 P 为曲线 C : y ? x2 ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范

? ?? 围为 ? 0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为( A ) ? 4?
1? ? ? ? A、 ? ?1, 2? ?

0? B、 ? ?1,

1? C、 ? 0,

?1 ? D、 ? , 1 ?2 ? ?

6、已知点 P 在曲线 y ? 范围是( D ) A、 [0, ) 4

4 上,? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值 e ?1
x

?

? ? B、 [ , ) 4 2

? 3? C、 ( , ] 2 4

D、 [

3? ,? ) 4

7、设函数 f ? x ? 在 R 上的导函数为 f ' ? x ? ,且 2 f ? x ? ? xf ' ? x ? ? x 2 ,下列不等式在 R 上恒 成立的是( A )

A、 f ? x ? ? 0

B、 f ? x ? ? 0

C、 f ? x ? ? x

D、 f ? x ? ? x

8、设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,则

x1 ? x2 ? ...? xn 的值为( B )
A、

1 n

B、

1 n ?1

C、

n n ?1

D、1

9、设 a ? 0 , f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的倾斜角

? 的取值范围是 [ 0, ] ,则 P 到 y ? f ( x) 对称轴距离的取值范围为( B ) 4
1 A、 [ 0 , ] a

B、 [0,

1 ] 2a

C、 [0,

b ] 2a

D、 [0,

b ?1 ] 2a

10、已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 xf ?(1) ,则 f ?(1)=

。—2 。

11、设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ln(x ? a)(x ? (0,??) 的导函数为
f ?( x) ? 1 2 x ? 1 ( x ? 0) 。 x?a

12、曲线 y ?

1 在点 P 处的切线与 x 轴平行,则点 P 的坐标为 x ?1
2



该切线方程为

。 (0,1), y ? 1 ? 0 。 。

1 4 13、已知曲线 y ? x3 ? ,则过点 (2,4) 的切线方程是 3 3
答案: 4 x ? y ? 4 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 注意:补充说明过点切线及在某点处切线的问题的处理方法 14、曲线 y ?

sin x 1 ? ? 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为 sin x ? cos x 2 4



1 2


15、若曲线 f ( x) ? ax2 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则 a 的取值范围是 解析:由题意该函数的定义域 x ? 0 ,由 f ? ? x ? ? 2ax ?

1 。因为存在垂直于 y 轴的 x 1 存在零点。 x

切线,故此时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f ? ? x ? ? 2ax ? 利用图像,转化为 g ? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ?

1 存在交点。当 a ? 0 不符合题意,当 a ? 0 x


时,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 ,此时正好有一个交点,故填 ? ??, 0 ?

导数在研究函数中的应用 1、函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a ? ( B ) A、2 B、3 C、4 D、5

2、已知对任意实数 x ,有 f (?x) ? ? f (x),g (?x) ? g (x) ,且 x ? 0 时, f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 , 则 x ? 0 时( B ) A、 f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C、 f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 B、 f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D、 f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

1 3、若 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2) 在 (?1,??) 上是减函数,则 b 的取值范围是( C ) 2

A、 [?1, ??)

B、 (?1, ??)

C、 (??, ?1]

D、 (??, ?1)

4、已知 f ( x) 与 g ( x ) 是定义在 R 上的连续函数,如果 f ( x) 与 g ( x ) 仅当 x ? 0 时的函 数值为 0,且 f ( x) ? g ( x) ,那么下列情形不可能 出现的是( C ) ... A、0 是 f ( x) 的极大值,也是 g ( x ) 的极大值 B、0 是 f ( x) 的极小值,也是 g ( x ) 的极小值 C、0 是 f ( x) 的极大值,但不是 g ( x ) 的极值 D、0 是 f ( x) 的极小值,但不是 g ( x ) 的极值 5、函数 f ( x) 的定义域为区间 (a, b) ,导函数 f ?( x ) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函 数 f ( x) 在区间 (a, b) 内极小值点有( A )

A、1 个

B、2 个

C、3 个

D、4 个

6、设 f ?( x ) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角 坐标系中,不可能正确的是( D )

7、 设 f ( x), g ( x) 均是大于零的可导函数, 且 f ' ( x ) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 , 则当 a ? x ? b 时,下列结论成立的是( A ) A、 f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) C、 f ( x) g ( x) ? f (a) g (a) B、 f ( x) g (a) ? f (a) g ( x) D、 f ( x) g ( x) ? f (b) g (b)

8、设 a ? R ,若函数 y ? e ax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则( B ) A、 a ? ?3 B、 a ? ?3 C、 a ? ?
1 3

D、 a ? ?

1 3

9、已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的导数为 f '( x ) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,则 A、 3 B、

f (1) 的最小值为( C ) f '(0)
5 2

C、 2

D、

3 2

10、设 F ' ( x) ? f ( x) ,下列结论正确的是( A ) A、若 f ( x) 是奇函数,则 F ( x) 是偶函数 B、若 f ( x) 是偶函数,则 F ( x) 是奇函数 C、若 f ( x) 是周期函数,则 F ( x) 是周期函数 D、若 f ( x) 是单调函数,则 F ( x) 是单调函数 11、设球的半径为时间 t 的函数 R ? t ? ,若球的体积以均匀速度 c 增长,则球的表

面积的增长速度与球半径的关系是( D ) A、成正比,比例系数为 c C、成反比,比例系数为 c B、成正比,比例系数为 2c D、成反比,比例系数为 2c

4 2 解析: 球的体积为 V (t ) ? ? R3 (t ) , 则 c ?V 't() ? 4? R () t R () t' 3

c , R(t ) R' (t ) ? 4? R(t ) ,

而球的表面积为 S (t ) ? 4? R 2 (t ) ,所以 v表=S ' (t ) ? 4? R2 (t ) ? 8? R(t )R' (t ) , 即 v表=8? R(t ) R ' (t )=2 ? 4? R(t ) R ' (t )=
2c 2c R ' (t )= ' R(t ) R (t ) R(t ) 。

12、把函数 f ( x) ? x3 ? 3x 的图象 C1 向右平移 u 个单位长度,再向下平移 v 个单位长 度后得到图象 C2 。若对任意的 u ? 0 ,曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点,则 v 的最小 值为( B ) A、 2 B、 4 C、 6 D、 8

解析:根据题意曲线 C2 的解析式为 y ? ( x ? u)3 ? 3( x ? u) ? v, 则方程 ( x ? u)3 ? 3( x ? u) ? v ? x3 ? 3x ,

1 1 即 3ux2 (u3 ? 3u ? v) ? 0 ,即 v ?? u 3? 3 u 对任意 u ? 0 恒成立,于是 v ? ? u3 ? 3u 的 4 4
1 3 3 g'(( u)) ? ? ? u 2 ? 3 ? ? (u ? 2)(u ? 2) 由此 (u 最大值,令 g (u ) ? ? u 3 ? 3u (u ? 0), 则 u ? 0 g 4 4 4 ,

知函数 g (u) 在 (0,2) 上为增函数,在 (2, ??) 上为减函数,所以当 u ? 2 时,函数 g (u) 取最大值为 4,于是 v ? 4 。 13、已知函数 f ( x) ? x3 ? 12 x ? 8 在区间 [ ?3, 3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则
M ?m ?



答案: M ? m ? 32。 14、函数 f ( x) ? x ln x 的单调递增区间为 为 。 ,单调递减区间

15、函数 f ( x) ? 为

ln x 的单调递增区间为 x

,单调递减区间 。

1 1 14、 ( ,?? ), (0, ) e e

15、 (0, e), (e,??)

, 16、设命题 p : f ( x) ? e x ? ln x ? 2x2 ? mx? 1 在 (0,??) 上单调递增,命题 q : m ? ?5,则

命题 p 是命题 q 的 答案:必要不充分条件 17 、若函数 f ( x) ? 是

条件。

1 3 x ? x 在区间 a,10 ? a 2 上存在最小值,则实数 a 的取值范围 3

?

?


2 , 3

解析: f ' ( x) ? x 2 ?1 ,研究 f ( x) 单调性及最值,则有 f ( x) min ? f (1) ? ? 所以 f ( x) ?
2 1 2 ? 0 ? ?x ? 1? ?x ? 2? ? 0 ? x ? ?2 ? a ? ?2 , 3 3

而 a ? 1 ? 10 ? a 2 , ? 3 ? a ? 1 ,综上, a ?[?2,1) 。 18、 (2011 年清华大学自主招生)函数 f ( x) ? ea (a ? 0 ? a ? 1) ,作直线 x ? a 与函 数相交,求过交点处的切线和 x ? a , x 轴所构成的三角形面积。
x


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