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2013备考各地试题解析分类汇编(一)文科数学:导数1


各地解析分类汇编:导数(1) 1 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学文】方程 x ? 6 x ? 9 x ? 1 0 ? 0 的实根个数是
3 2

A.3

B.2

C.1

D.0

【答案】C 【解析】设 f ( x ) ? x ? 6 x ?

9 x ? 1 0 , f '( x ) ? 3 x ? 1 2 x ? 9 ? 3 ( x ? 1)( x ? 3 ) ,由此可知函数的极大值
3 2 2

为 f (1) ? ? 6 ? 0 ,极小值为 f (3) ? ? 1 0 ? 0 ,所以方程 x ? 6 x ? 9 x ? 1 0 ? 0 的实根个数为 1 个.选 C.
3 2

2 【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试数学文】曲线 y ? 轴围成的三角形面积为 A.
2 9

1

? 4 ? 3 x ? x 在点 ? 1, ? 处的切线与坐标 3 ? 3 ?

B.

1 9

C.

1 3

D.

2 3

【答案】B 【解析】 y ' ? f '( x ) ? x +1 ,在点 ? 1, ? 的切线斜率为 k ? f '(1) ? 2 。所以切线方程为 y ?
2

? ?

4 ? 3 ?

4 3

? 2 ( x ? 1) ,

即 y ? 2x ?

2 3

,与坐标轴的交点坐标为 ( 0 , ?

2 3

), (

1 3

, 0 ) ,所以三角形的面积为

1 2

?

1 3

? ?

2 3

?

1 9

,选 B.

3 【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试数学文】 f ( x ) ? ? 若 是减函数,则 b 的取值范围是
? A. ?? 1, ? ?

1 2

x

2

? b ln( x ? 2 ) 在 ? 1, ? )上 ( ?

B. ? 1, ? ) ( ?

C. ? ? , 1 ] ( ?

D. ? ? , 1) ( ?

【答案】C 【解析】函数的导数 f '( x ) ? ? x ? 在 ? 1, ? )恒成立, 即 ( ?
b x? 2

b x? 2

,要是函数在 ? 1, ? )上是减函数,则 f '( x ) ? ? x ? ( ?
?2 )

b x? 2

? 0 ,

因为 x ? ? 1 , 所以 x ? 2 ? 1 ? 0 , b ? x x( 即 ? x,

成立。 y ? x ( x ? 2 ) , 设

2 2 则 y ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1 ,因为 x ? ? 1 ,所以 y ? ? 1 ,所以要使 b ? x ( x ? 2 ) 成立,则有 b ? ? 1 ,选

C. 4 【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】若函数 y ? e 极值点,则实数 a 范围是 A. a ? ? 3 【答案】B B. a ? ? 3 ( ) C. a ? ?
1 3
( a ?1) x

? 4 x ( x ? R )有大于零的

D. a ? ?

1 3

【解析】 因为函数 y=e 解: 因为函数 y=e
(a-1)x

(a-1)x

+4x, 所以 y′= (a-1) e

(a-1)x

+4 (a<1) 所以函数的零点为 x0= ,
ln 4 ?a ? 1

1 a ?1

ln

4 ?a ? 1



+4x(x∈R)有大于零的极值点,故

1 a ?1

=0,得到 a<-3,选 B

3 2 5 【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试 数学文】已知 f ( x ) ? a x ? b x ? c , 其导函数 f ? ( x ) 的图

象如右图,则函数 f ( x ) 的极小值是 A. a ? b ? c B. 8 a ? 4 b ? c C. 3 a ? 2 b D.c

【答案】D 【解析】由导函数 f ? ( x ) 的图象知当 x ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 ,当 0 ? x ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 的 极小值为 f ( 0 ) ? c ,选 D. 6 【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(文) 】已知 f ( x ) ? A. ?
2 1 x c o s x , 则 f (? ) ? f ?( 3

?
2

) ?

?

B.

3

?

C. ?

1

?

D. ?

?

【答案】D 【解析】因为 f ( x ) ?
f (? ) ? f ?(
1 x c o s x , 所以 f '( x ) ? ?

1 x
2

cos x ?

1 x

s in x ,所以 f ( ? ) ? ?

1

?

, f '(

?
2

) ? ?

2

?

,所以

?
2

) ? ?

3

?

,选 D.

7 【 山 东 省 济 南 外 国 语 学 校 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 文 科 】 若 a>0,b>0, 且 函 数
f (x) ? 4 x
3

? ax

2

? 2 bx ? 2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值()

A.2 【答案】D

B.3

C.6

D.9

【解析】函数的导数为 f '( x ) ? 1 2 x ? 2 a x ? 2 b ,函数在 x ? 1 处有极值,则有 f '(1) ? 1 2 ? 2 a ? 2 b ? 0 ,
2

即 a ? b ? 6 ,所以 6 ? a ? b ? 2 a b ,即 a b ? 9 ,当且仅当 a ? b ? 3 时取等号,选 D. 8 【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 文科】 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任

意 x ? R , f ( x ) ? 2 ,则 f ( x ) ? 2 x ? 4 的解集为(
/

) D.(-∞,+∞)

A.(-1,1) 【答案】B

B.(-1,+∞)

C.(-∞,-l)

【解析】设 F ( x ) ? f ( x ) ? ( 2 x ? 4 ) ,

则 F ( ? 1) ? f ( ? 1) ? ( ? 2 ? 4 ) ? 2 ? 2 ? 0 ,
2 ? 0 ?

F '( x ) ? f '( x ) ? 2 ,对任意 x ? R ,有 F ( x) ? f ( x ' ' )

,即函数 F ( x ) 在 R 上单调递增,则 F ( x ) ? 0

的解集为 ( ? 1, ? ? ) ,即 f ( x ) ? 2 x ? 4 的解集为 ( ? 1, ? ? ) ,选 B.
2 9 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】 已知 f ( x ) ? x ? 2 xf ' (1 ) , f ' ( 0 ) ? 则

.

【答案】-4 【 解 析 】 函 数 的 导 数 为 f '( x ) ? 2 x ? 2 f '(1) , 所 以 f '(1) ? 2 ? 2 f '(1) , 解 得 f ' ( 1 ? ? 2 所 以 , )
f ( x)? x ? 4 x ,所以 f '( x ) ? 2 x ? 4
2

,所以 f '( 0 ) ? ? 4 。

10 【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(文) 】已知函数 f ( x ) 的定义域[-1,5] ,部分对应 值如表, f ( x ) 的导函数 y ? f ' ( x ) 的图象如图所示, x F(x) -1 1 0 2 2 1.5 4 2 5 1

下列关于函数 f ( x ) 的命题; ①函数 f ( x ) 的值域为[1,2] ; ②函数 f ( x ) 在[0,2]上是减函数 ③如果当 x ? [ ? 1, t ] 时, f ( x ) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x ) ? a 最多有 4 个零点. 其中正确命题的序号是 【答案】①②④ 【解析】由导数图象可知,当 ? 1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 4 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数单调递增,当 0 ? x ? 2 或 函数单调递减, x ? 0 和 x ? 4 , 当 函数取得极大值 f ( 0 ) ? 2 , f ( 4 ) ? 2 , x ? 2 当 4 ? x ? 5 ,f ' ( x ) ? 0 , 时,函数取得极小值 f ( 2 ) ,,又 f ( ? 1) ? f (5 ) ? 1 ,所以函数的最大值为 2,最小值为 1,值域为 [1, 2 ] , ①正确;②正确;因为在当 x ? 0 和 x ? 4 ,函数取得极大值 f ( 0 ) ? 2 , f ( 4 ) ? 2 ,要使当 x ? [ ? 1, t ] 函 .

数 f ( x ) 的最大值是 4,当 2 ? t ? 5 ,所以 t 的最大值为 5,所以③不正确;由 f ( x ) ? a 知,因为极小值
f ( 2 ) ? 1 .5 ,极大值为 f ( 0 ) ? f ( 4 ) ? 2 ,所以当 1 ? a ? 2 时, y ? f ( x ) ? a 最多有 4 个零点,所以④正

确,所以真命题的序号为①②④.
3 11 【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试数学文】若函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? a 有三个不同的零

点,则实数 a 的取值范围是 【答案】 ( ? 2 , 2 )

.

【解析】由 f ( x ) ? x ? 3 x ? a ? 0 ,得 f '( x ) ? 3 x 2 ? 3 ,当 f '( x ) ? 3 x ? 3 ? 0 ,得 x ? ? 1 ,由图象可知
3 2

f 极 大 值 ( ? 1) = 2 ? a , f 极 小 值 (1) = a ? 2 , 要 使 函 数 f ( x ) ? x ? 3 x ? a 有 三 个 不 同 的 零 点 , 则 有
f 极 大 值 ( ? 1 ) = ?2 a ? 0 , f (a ? = ? 2 ?2 0 a ? 2 1 ) ,即 ?

3

极小值

,所以实数 a 的取值范围是 ( ? 2 , 2 ) 。

12 【北京市东城区普通校 2013 届高三 11 月联考数学(文) 】已知函数 f ( x ) 的定义域为 A ,若其值域也 为 A ,则称区间 A 为 f ( x ) 的保值区间.若 f ( x ) ? x ? m ? ln x 的保值区间是 [ e , ? ? ) ,则 m 的值 为 【答案】1 【解析】 因为函数 f ( x ) ? x ? m ? ln x 的保值区间为 [ e , ? ? ) , f ( x ) ? x ? m ? ln x 的值域也是 [ e , ? ? ) , 则 因为因为函数的定义域为 ( 0 , ? ? ) ,所以由 f '( x ) ? 1 ? x ? 0 ,得 x ? 1 ,即函数 f ( x ) ? x ? m ? ln x 的递 增区间为 (1, ? ? ) ,因为 f ( x ) ? x ? m ? ln x 的保值区间是 [ e , ? ? ) ,所以函数在 [ e , ? ? ) 上是单调递增,所
e 以 函 数 f ( x ) ? x ? m ? ln x 的 值 域 也 是 [ e ,? ? ) , 所 以 f ( e ) ? e , 即 f ( e ) ? e ? m ? l n e ? , 即

.

1

m ? l ne ? 1



13 【北京市东城区普通校 2013 届高三 11 月联考数学(文)(本小题满分 14 分) 】 已知 f ( x ) ? x ? a x ? a x ? 2 .
3 2 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1 )) 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? 0 , 求函数 f ( x ) 的单调区间;
2 (Ⅲ)若不等式 2 x ln x ? f ? ( x ) ? a ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

3 2 2 【答案】解: (Ⅰ) ∵ a ? 1 ∴ f ( x ) ? x ? x ? x ? 2 ∴ f ? ( x ) ? 3 x ? 2 x ? 1

…………1 分

∴ k ? f ? (1 ) ? 4 ,

又 f (1 ) ? 3 ,所以切点坐标为 (1, 3 ) …………4 分

∴ 所求切线方程为 y ? 3 ? 4 ( x ? 1 ) ,即 4 x ? y ? 1 ? 0 .
2 2 (Ⅱ) f ? ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? a ? ( x ? a )(3 x ? a )

由 f ?( x ) ? 0 得 x ? ? a 或 x ?

a 3

…………5 分
a 3

(1)当 a ? 0 时,由 f ? ( x ) ? 0 , 得 ? a ? x ? 由 f ?( x ) ? 0 , 得 x ? ? a 或 x ?
a a 3



此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? a , ) ,单调递增区间为 ( ? ? , ? a ) 和 (
3

a 3

, ?? ) .

…………7 分 (2)当 a ? 0 时,由 f ? ( x ) ? 0 ,得 由 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ?
a 3 a 3 ? x ? ?a .

或x ? ?a
a 3 , ? a ) ,单调递增区间为 ( ? ? , a 3 ) 和(? a, ?? ) .

此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( 综上:

当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? a , ) ,
3

a

单调递增区间为 ( ? ? , ? a ) 和 ( 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (
a a 3

a 3

, ?? )

,?a)

单调递增区间为 ( ? ? , ) 和 ( ? a , ? ? ) .
3

…………9 分
2 (Ⅲ)依题意 x ? ( 0 , ?? ) ,不等式 2 x ln x ? f ? ( x ) ? a ? 1 恒成立, 等价于

2 x ln x ? 3 x

2

? 2 ax ? 1 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立

可得 a ? ln x ? 设 h ? x ? ? ln x ?

3 2

x ? ? 1 2x

1 2x

在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立
1 x ? 3 2 ? 1 2x
2

………………11 分
? ?

3x 2

, 则 h ' ?x ? ?

?x

? 1 ?? 3 x ? 1 ? 2x
2

………………12 分 令 h ? ( x ) ? 0 ,得 x ? 1, x ? 1 3

(舍)当 0 ? x ? 1 时, h ? ( x ) ? 0 ;当 x ? 1 时, h ? ( x ) ? 0

当 x 变化时, h ? ( x ), h ( x ) 变化情况如下表:

x
h ?( x )

( 0 ,1 )

1

(1, ?? )

+ 单调递增

0

单调递减
? a ? ?2

h(x)

-2 =-2

∴ 当 x ? 1 时, h ? x ? 取得最大值, h ? x ? ∴ a 的取值范围是 ? ? 2 , ?? ? .

m ax

………14 分

14 【北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(文) 】本小题满分 14 分) 已知函数 (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若当 恒成立,求 的取值范围; 处取得极值.

(Ⅲ)对任意的 请说明理由. 【答案】 (Ⅰ)∵f(x)=x - ∴f′(x)=3x -x+b. ∵f(x)在 x=1 处 取得极值, ∴f′(1)=3-1+b=0. ∴b=-2. 经检验,符合题意. (Ⅱ)f(x)=x -
2 3 2 3

是否恒成立?如果成立,给出证明,如果不成立,

x2+bx+c, ……2 分

……3 分 ……4 分

x2-2x+c. …5 分 1 + 0 - 0 (1,2) + 2

∵f′(x)=3x -x-2=(3x+2)(x-1),

x f′(x) f(x)
……7 分

∴当 x=-

时,f(x)有极大值

+c.

又 ∴x∈[-1,2]时,f(x)最大值为 f(2)=2+c. ∴c >2+c.
2

……8 分

∴c<-1 或 c>2.

…………10 分

(Ⅲ)对任意的

恒成立.

由(Ⅱ)可知,当 x=1 时,f(x)有极小值

.



…12 分

∴x∈[-1,2]时,f(x)最小值为

.

,故结论成立. ……14 分 15 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文】 (本小题满分 12 分) 已知 x ? 1 是函数 f ? x ? ? ? a x ? 2 ? e 的一个极值点. ( a ? R )
x

(1)求 a 的值; (2)任意 x 1 , x 2 ? ? 0 , 2 ? 时,证明: | f ? x1 ? ? f ? x 2 ? |? e
x 【答案】(1)解: f '( x ) ? ( a x ? a ? 2 ) e ,

--------------2 分

由已知得 f ' (1 ) ? 0 ,解得 a ? 1 .
x 当 a ? 1 时, f ( x ) ? ( x ? 2 ) e ,在 x ? 1 处取得极小值.所以 a ? 1 .

---4 分

x x (2)证明:由(1)知, f ( x ) ? ( x ? 2 ) e , f '( x ) ? ( x ? 1) e .

x 当 x ? ?0 ,1 ? 时, f ' ( x ) ? ( x ? 1 ) e ? 0 , f ( x ) 在区间 ? 0 ,1 ? 单调递减;

x 当 x ? ? 1 , 2 ? 时, f '( x ) ? ( x ? 1) e ? 0 , f ( x ) 在区间 ? 1 , 2 ? 单调递增.

所以在区间 ? 0 , 2 ? 上, f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ? e .------ 8 分 又 f (0 ) ? ? 2 , f (2) ? 0 ,

所以在区间 ? 0 , 2 ? 上, f ( x ) 的最大值为 f ( 2 ) ? 0 .

----------10 分

对于 x1 , x 2 ? ? 0 , 2 ? ,有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f m a x ( x ) ? f m in ( x ) . 所以 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? ( ? e ) ? e . -------------------12 分

16 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 x ?
2 x ? a ln x , a ? R .

(1)若函数 f ( x ) 在 [1, ?? ) 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
2 (2)记函数 g ( x ) ? x [ f ? ( x ) ? 2 x ? 2 ] ,若 g ( x ) 的最小值是 ? 6 ,求函数 f ( x ) 的解析式.

【答案】⑴ f ' ( x ) ? 2 ? 令h(x) ?
2 x

2 x
2

?

a x

? 0

∴a ?

2 x

? 2 x 在 [1 , ?? ) 上恒成立…………2 分

? 2 x , x ? [1, ?? ) 2 x
2

∵h '(x) ? ?

? 2 ? 0 恒成立

∴ h ( x ) 在 [1, ?? ) 单调递减 … ………6 分 … ………7 分

…………4 分

h ( x ) m ax ? h (1 ) ? 0

∴a ? 0 (2) g ( x ) ? 2 x ? ax ? 2 , x ? 0
3

∵ g (x) ? 6 x ? a
' 2

…………9 分

易知 a ? 0 时, g ( x ) ? 0 恒成立
'

∴ g ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 单调递增
? a 6 ? a 6

, 无最小值,不合题意

∴ a ? 0 …………11 分

' 令 g ( x ) ? 0 ,则 x ?

(舍负)

列表如下,(略)可得,

g ?x ? 在 ((0,

) 上单调递减,在 (

? a 6

, ? ? ) 上单调递增,则 x ?

? a 6

是函数的极小值点。

g ( x ) m in ? g ( x ) 极小 ? g (

? a 6
2 x

) ? ?6

…………13 分

解得 a ? ? 6

f (x) ? 2 x ?

? 6 ln x

…………14 分

17 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 文 】 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 (
f (x) ? 1 3 x ?
3

1 2

( 2 a ? 1) x

2

? (a

2

? a)x .

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 ? m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? ? 1 ,求 f ( x ) 在区间[0,1]上的最大值。
2 2 【答案】解: (Ⅰ)因为 f ' ( x ) ? x ? ( 2 a ? 1 ) x ? ( a ? a ) ? ( x ? a )[ x ? ( a ? 1 )] ………………2 分

令 f ' ( x ) ? 0 , 得 x 1 ? ( a ? 1 ), x 2 ? a ,所以 f ' ( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:
x
f '(x)

( ? ?, a)

a

( a , a ? 1)

a ?1

( a ? 1, ?? )

+ Z

0 极大值



0 极小值

+ Z ……………………4 分

f (x)

所以 a ? 1

…………………………5 分

(由 f ' (1 ) ? 0 得出 a ? 0 ,或 a ? 1 ,在有单调性验证也可以(标准略) ) (Ⅱ)因为 f ' ( x ) ? ( x ?
2a ? 1 2 ) ?
2

1 4

……………………6 分

因为 ? m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是 曲线 y ? f ( x ) 的切线, 所以 f ' ( x ) ? ( x ?
2a ? 1 2 ) ?
2

1 4

? k 无实数解 ……………………7 分

只要 f ' ( x ) 的最小值大于 k 所以 k ? ?
1 4

……………………8 分

(Ⅲ)因为 a ? ? 1 ,所以 a ? 1 ? 0 , 当 a ? 1 时, f ' ( x ) ? 0 对 x ? [ 0 ,1 ] 成立 所以当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f (1 ) ? a 2 ?
1 6

……………………9 分

当 0 ? a ? 1 时,在 x ? ( 0 , a ) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增 在 x ? ( a ,1 )时 , f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减 所以当 x ? a 时, f ( x ) 取得最大值 f ( a ) ?
1 3 a ?
3

1 2

a ………………10 分

2

当 a ? 0 时,在 x ? ( 0 ,1 ) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减 所以当 x ? 0 , f ( x ) 取得最大值 f ( 0 ) ? 0 ……………………11 分

当 ? 1 ? a ? 0 时,在 x ? ( 0 , a ? 1 ) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减 在 x ? ( a ? 1,1 ) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增 又 f ( 0 ) ? 0 , f (1 ) ? a 2 ?
6 6

1 6


1 6

当? 1 ? a ?

时, f ( x ) 在 x ? 1 取得最大值 f (1 ) ? a 2 ?

当?

6 6

? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最大值 f ( 0 ) ? 0

当a ? ?

6 6

时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0.…………14 分

综上所述, 当 a ? 1或 ? 1 ? a ? ?
6 6

时, f ( x ) 取得最大值 f (1 ) ? a 2 ?
1 3
3

1 6

当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f ( a ) ?
6 6

a ?

1 2

a

2

当a ? ?

时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0

当?

6 6

? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最大值 f ( 0 ) ? 0 .

18 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】 (本小题满分 13 分) 已知 f ( x ) ? x ? a x ? 1 n x , a ? R 。
2

(1)若 a=0 时,求函数 y ? f ( x ) 在点(1, f ( x ) )处的切线方程; (2)若函数 f ( x ) 在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (3)令 g ( x ) ? f ( x ) ? x , 是否存在实数 a,当 x ? (0, e]( e 是自然对数的底)时,函数 g ( x ) 的最小值
2

是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。 【答案】

19 【 山 东省 德 州 市乐 陵一 中 2013 届 高三 10 月 月 考 数 学( 文 ) 本小题 满 分 12 分 ) 已知 函数 】
f ( x ) ? x ? ax
3 2

? 3x

(1)若 f ( x ) 在区间[1,+ ? )上是增函数,求实数 a 的取值范围

(2)若 x ? ? 【答案】

1 3

是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在[1, a ]上的最大值

20 【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 文科】 (本小题满分 14 分)已知函数
f

?x? ? ?x ? k ?e ,
x

(I)求 (II)求

f f

? x ? 的单调区间; ? x ? 在区间 ? 0 ,1 ? 上的最小值。

/ x 【答案】解: (I) f ( x ) ? ( x ? k ? 1) e ,……………………………………………………..3 分



f (x) ? 0 ? x ? k ? 1
/

; 所 以

f

?x? 在

( ? ? , k ? 1)

上 递 减 , 在 ( k ? 1, ? ? )

上 递

增;…………………………………………………………………………………………6 分
f ?x? ? 0 ,1 ? 上递增,所以 f ( x ) m in ? f ( 0 ) ? ? k ; (II)当 k ? 1 ? 0 , 即 k ? 1 时,函数 在区间 f ?x? ? 0 , k ? 1? 上递减, ( k ? 1, 1] 上递增,所以 当 0 ? k ? 1 ? 1 即 1 ? k ? 2 时,由(I)知,函数 在区间
f ( x )m in ? f ( k ? 1) ? ? e
k ?1



f ?x? ? 0 ,1 ? 上递减,所以 f ( x ) m in ? f (1) ? (1 ? k ) e 。 当 k ? 1 ? 1, 即 k ? 2 时,函数 在区间

……………………………………………………………………………………………….14 分

21 【山东省实验中学 2013 届 高三第二次诊断性测试数学文】 (本题满分 13 分) 函数 f ( x ) ?
1 x ? 1 x
2

?

1 x
3



? (1)求 y ? f ( x ) 在 ? ? 4, ? 上的最值; 2? ?

?

1?

(2)若 a ? 0 ,求 g ( x ) ?

1 x

?

2 x
2

?

a x
3

的极值点

【答案】

22【山东省实验中学 2013 届高三 第二次诊断性测试数学文】 (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? ax ( a ? R ) (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 a ? 1, b ? 0 , 函数 g ( x ) ? 求实数 b 的取值范围。 【答案】
1 3 bx
3

若对任意的 x 1 ? (1, 2 ) , 总存在 x 2 ? (1 , 2 ) , f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) , 使 ? bx ,

23 【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(文 )(本小题满分 12 分) 】 已知函数 f ( x ) ? ax
2

? ( a ? 2 ) x ? ln x .

( (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 1, f (1 )) 处的切线方程;

(Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ( x ) 在区间 [1, e ] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意 x 1 , x 2 ? ( 0 , ?? ), x 1 ? x 2 ,且 f ( x 1 ) ? 2 x 1 ? f ( x 2 ) ? 2 x 2 恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ? x 2 ? 3 x ? ln x , f ( x ) ? 2 x ? 3 ? 因为 f ' (1 ) ? 0 , f (1 ) ? ? 2 . 所以切线方程是 y ? ? 2 . …………………………4 分
1 x

.………………2 分

(Ⅱ)函数 f ( x ) ? 2 ax ? ( a ? 2 ) x ? ln x 的定义域是 0, ? ) ………………5 分 . ( ?
1 x
2

当 a ? 0 时, f ' ( x ) ? 2 ax ? ( a ? 2 ) ?

?

2 ax

2

? (a ? 2) x ? 1 x

(x ? 0)

令 f ' ( x ) ? 0 ,即 f ' ( x ) ?
1 2 1 a

2 ax

? (a ? 2) x ? 1 x

?

( 2 x ? 1 )( ax ? 1 ) x

? 0 ,

所以 x ? 当0 ?
1 a

或x ?

.

……………………7 分

? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x ) 在[1,e]上单调递增,

所以 f ( x ) 在[1,e]上的最小值是 f (1 ) ? ? 2 ; 当1 ? 当
1 a 1 a ? e 时, f ( x ) 在(1,e)上单调递减, ? e 时, f ( x ) 在[1,e]上的最小值是 f (

1 a

) ? f (1 ) ? ? 2 ,不合题意;

所以 f ( x ) 在[1,e]上的最小值是 f ( e ) ? f (1 ) ? ? 2 ,不合题意………………9 分 (Ⅲ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 x ,则 g ( x ) ? ax
2

? ax ? ln x



只要 g ( x ) 在 0, ? ) 上单调递增即可.…………………………10 分 ( ?
1 x 2 ax
2

而 g ' ( x ) ? 2 ax ? a ?

?

? ax ? 1 x

当 a ? 0 时, g ' ( x ) ?

1 x

上单调递增;……………………11 分 ( ? ? 0 ,此时 g ( x ) 在 0, ? )
2

当 a ? 0 时,只需 g ' ( x ) ? 0 在 0, ? ) 上恒成立,因为 x ? ( 0 , ?? ) ,只要 2 ax ? ax ? 1 ? 0 , ( ? 则需要 a ? 0 ,………………………………12 分 对于函数 y ? 2 ax 即0 ? a ? 8 . 综上 0 ? a ? 8 . ………………………………………………14 分
2

? ax ? 1

,过定点(0,1) ,对称轴 x ?

1 4

? 0 ,只 需 ? ? a

2

? 8a ? 0 ,

24 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)文】 (本小题满分 12 分)已知 f ( x ) ? x ln x ,
g (x) ? ? x ? mx ? 3 .
2

(1)求 f ( x ) 在 ? t , t ? 2 ? ( t ? 0 ) 上的最小值; (2)若对一切 x ? ? 0 , ? ? ? , 2 f ( x ) ? g ( x ) 成立,求实数 m 的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ) 当 x ? ? 0,
? ? 1? ?, e?

f ? ( x ) ? ln x ? 1

,令

f ?( x ) ? 0 , 得 x ?

1 e



f ?( x ) ? 0 ,

f (x)

单调递减; 单调递增.

当x??

?1

? , ? ??, ?e ?

f ?( x ) ? 0 ,

f (x)

因 为 t ? 0, t ? 2 ? 2 ?

1 e

, ;

(1)当 0

? t ?

1 e

1 ?1? 时 , f ( x ) m in ? f ? ? ? ? e? e ?

(2)当 t ≥

1 e

时 , f ( x ) m in ? f ( t ) ? t ln t .
1 ? 1 ? , 0 ? t ? , ? ? e e ? ? 1 ? t ln t , t ≥ . ? e ?

所以

f ( x ) m in

…………………………………………………(6 分)

(Ⅱ)由 2 x ln 设 h(x) ?

x≥ ?x

2

? mx ? 3

得m ≤

2 ln x ? x ? ( x ?3 ) ( x
? ?)
2

3 x

. . 令 h ?( x ) ? 0 , x 得
? 0

2 ln x ? x ?

3 x

( x ? 0)

, h ?( x ) 则

?

x1 ? )

, ? 1 或 x ? ? 3(舍) 当 x ? ( 0 , 1)
? h (1) ? 4 .

时, h ? ( x ) ? 0 ,h(x)单调递减;当 x ? (1, 以m ≤
h ( x ) m in ? 4 .

时, h ? ( x )

,h(x)单调递增,所以 h ( x ) m in



…………………………………(12 分)


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