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2.2.1 平面向量的线性运算

时间:2014-02-22


向量加法及其几何性质

由于大陆和台湾没有直航,因此要从台湾去上海探亲,乘飞机 要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?

上海 C A 香港 B 台北

向量的加法:
a
? b
C

a?b
A

? b

首 尾 相 接

B ? ? ??? ? ? ??? ? ? 已知非零向量 a 、 b , 在平面内任取一点A,作 AB ? a, BC ? b, ???? ? ? ? ? 则向量 AC叫做 a与b的和,记作 a ? b, 即 ? ? ??? ? ??? ? ???? a ? b ? AB ? BC ? AC

a

这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。

向量的加法:
B C

b
O

a?b
? a
A

起 点 相 同

? ? 以同一点O为起点的两个已知向量 a、 b为邻边作? OACB, ???? ? ? ? ? 则以O为起点的对角线OC就是a与 b 的和a ? b, 即 ? ? ??? ? ??? ? ???? a ? b ? OA ? OB ? OC 这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则。

? 对 于 零 向 量 与 任 一 向a 量 ,我们规定 ? ? ? ? ? a ? 0 ? 0? a ? a
对于向量的加法的理解需要注意下面两点: (1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量) (2)位移的合成是三角形法则的物理模型.探究P89 中力F的分解为平行四边形法则.

? ? ? ? 例1.如图,已知向量 a, b ,求做向量 a ? b 。
作法1:在平面内任取一点O, ? ? ??? ? ? ??? 作 OA ? a ,AB ? b , ??? ? ? ? 则 OB ? a ? b 。

b ? a
A

O

a
a?b
三角形法则

? b
B

? ? ? ? 例1.如图,已知向量 a, b ,求做向量 a ? b 。
作法2:在平面内任取一点O, ? ? ??? ? ? ??? OB ? b , 作 OA ? a , 以 OA、OB为邻边做

??? ? ??? ? ??? ? ? ? 连结OC,则 OC ? OA ? OB ? a ? b.

? OACB ,
A

b ? a

O

a
a?b

b
B
平行四边形法则

C

思考:如图,当在数轴上表示两个共线向量时,它们的加法和
数的加法有什么关系?

? a

? a
b
( 2)

b
A ( 1) B

? ? a?b

C

C ?

A ? a?b

B

?? ? ? ? ? 若a, b方向相同,则 | a ? b |?| a | ? | b | ?? ? ? ? ? ? ? 若a, b方向相反,则 | a ? b |?| a | ? | b(或 | | b | ? | a |) ?? ? ? ? ? 若a, b不共线,则 | a ? b | ? | a | ? | b | ?? ? ? ? ? 对任意两个向量a, b,有 | a ? b |?| a | ? | b |

? ? ? ? 已知| a |? 8, | b |? 6, 则 | a ? b | 的最大值和 最小值各是什么

探究:数的加法满足交换律和结合律,即对任意a, b ? R ,有 a ? b ? b ? a,
那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律? 请画图进行探索。
D

(a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ). ? ?

B

? a

C

a?b?c
b?c

c
C

b
O

a?b

b
? a
A

A

a?b

a
B

b

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输, 如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹 角来表示)。 C
D

???? ??? ? (1)如图所示, AD表示船速, AB表示水速, ???? 以AD、AB为邻边作? ABCD, 则 AC表示 船实际航行的速度.

解:

A

B

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输, 如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹 角来表示)。

??? ? ??? ? 解: (2)在Rt? ABC中, | AB |? 2,| BC |? 2 3 ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ? | AC |? | AB | ? | BC |
? 22 ? (2 3) 2 ?4

D

C

2 3 ? tan ?CAB ? ? 3 2

A

B

??CAB ? 60 .
?

答:船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60? 。

1.化简: AB ? DF ? CD ? BC ? FA
? ? ? ? ? ? 2.已知| a |? 6, | b |? 14, | c |? 3, 则 | a ? b ? c | 有 最大值和最小值吗 ?


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