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高二数学课件:曲线与方程(1)(新人教版A版必修2)

时间:2013-03-26


本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.

2.1.2求曲线的方程 (1)

教学重点难点

重点: 求曲线方程的方法、步骤 难点: 几何条件的代数化
求曲线方程是解析几何研究的重要问题之, 是高考解答题取材的源泉.掌握方法和步骤 是本课的重点. 求曲线方程是几何问题得以代数化研究的 先决,过程类似数学建模的过程,是课堂 上必须突破的难点.

复习回顾
1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念 2. 练习: (1) 设A(2,0)、B(0,2), 能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_______ 3.证明已知曲线的方程的方法和步骤
1曲线上的点的坐标都是方程的解 2以方程的解为坐标的点都在曲线上

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7),求 线段AB的垂直平分线的方程.
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就 分析:利用坐标法求曲线方程要先有(或建立)坐标 是点M属于集合 P ? ?M | MA |?| MB |? 系.在具体问题中:一种是给定了坐标系;另一种是 没给定坐标系,需自己建立适当的坐标系. 由两点间的距离公式,点M所适合条件可表示为:
.

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 7)2

将上式两边平方,整理得: x+2y-7=0 ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平 分线的方程. (1)由求方程的过程可知,垂直平 分线上每一点的坐标都是方程①解; (2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程 ①的解,即: x+2y1-7=0 x1=7-2y1

点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ? ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? (8 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 1)2
2 ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13);

M 1 B ? ( x1 ? 3) 2 ? ( y1 ? 7 ) 2 ? ( 4 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 7 ) 2
2 ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13)

? M1 A ? M1B ,

即点M1在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.

由上面的例子可以看出,求曲线(图形)的方 程,一般有下面几个步骤:
(1)建系设动点:建适当的坐标系,用实数对(x,y)表示 所求曲线上任意一点M的坐标;(求谁设谁) (2)列几何条件:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)} (3)坐标代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)证明:说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 说明:一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,步 骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可适当予以说 明.既审查验证特殊情况。另外,也可以省略步(2), 直接列出曲线方程.

例2.已知一条直线l和它上方的一个点A,点A到l的距 离是2,一条曲线也在l的上方,它上面的每一点到A的 距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求 这条曲线的方程. 解:取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点, MB⊥x轴,垂足是B, 1)建系设点

? MA ? MB ? 2
2

2)列式
2

B 因为曲线在x轴的上方,所以y>0, 所以曲线的方程是

? ( x ? 0) ? ( y ? 2) ? y ? 2 3)代换 1 2 4)化简 ?y ? x 8

A(0, 2) ?

?M

1 2 y ? x ( x ? 0) 8

5)审查

通过上述两个例题了解坐标法的解题方法, 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础; 同时,根据曲线上的点所要适合的条件列出等 式,是求曲线方程的重要环节,严格按步骤解 题是基本能力。

, , 例3 RtΔ ABC中 A、B为两定点 | AB |? 2a(a ? 0)
以AB所 在直线为x轴,AB的垂直 y 平分线为y轴建立如图所示的坐标 C (x,y) 系.求直角顶点C的轨迹方程。
分析:求轨迹方程时,要 充分挖掘图形的几何性 质,寻找形成曲线的条 件所包含的等量关系.
B

A

0

x

解: 设点C(x,y)
由题意知A(-a,0),B(a,0),

法1:? ?ABC为直角三角形
? AB ? BC ? AC
2 2 2

C(x,y)
2

即:2a ? ? ?
2

?
2

? x ? a?
?y
2

2

?y

?

2

?

?

? x ? a?
2 2

?

2

A(-a,0)

0

x

B(a,0)

?x ?y ?a

2

? A,B,C三点构成三角形

故三点不共线,点C的纵坐标y≠0

? x ? ?a,即直角顶点 的轨迹方程为 C

x ?y ?a
2 2

2

( x ? ? a)

法2:? BC ? CA

C

? kBC ? kAC ? ?1

A

B

y y ? ? ? ?1 即x 2 ? y 2 ? a 2 x?a x?a
由A、B、C三点不共线,

? x ? ?a,即直角顶点C的轨迹方 程为

x ?y ?a
2 2

2

(x ? ? a)。

法3: 连结OC

? x ?y ?a
2 2

? OA ? OB 且BC ? CA C 1 ? OC ? AB ? a 2

?x ?y ?a
2 2

A

O

B

2

? A,B,C三点构成三角形
2 2 2

x ? y ? a (x ? ? a)。

y ? CB? CA ?CB? CA ? 0 C(x,y)

[分析4]:如图,设C(x,y).

?a ? x ,?y ?? ?? a ? x ,?y ? ? 0
? A,B,C 三点构成

?x ? y ? a

2

2

2

三角形 ? x ? ?a,即直角顶点C的轨 迹方程为

A(-a,0)

0

x
B(a,0)

x ? y ? a ?x ? ?a ?
2 2 2

¥探索性练习
已知线段AB的长为6,动点P到A,B的距离平 方和为26,求动点P的轨迹方程(课本P37习题 2.1A组第3题)。

分析:利用坐标法求曲线方程要先有(或 建立)坐标系.
在具体问题中:一种是给定了坐标系;另一种 是没给定坐标系,需自己建立适当的坐标系.

如何建立适当坐标系呢?

结论: 1.坐标系不同虽曲线形状一样其方程却不同. 2.要注意选择几何图形与坐标系的适当相对 位置,以简化方程形式.

#建立适当坐标系的基本原则:
(1)定点、定线段常选在坐标轴上 (2)原点有时选在定点 (3)充分利用对称性,坐标轴可选为对称轴

@归纳与小结
? 本节学习了一种方法--直接法求曲线方程;

曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标的代 数方程的过程. (因此求曲线方程时要注意 挖掘题中形成曲线的等量关系); ? 求曲线方程时,这五个步骤不一定要全部 实施.如第二步、第五步。 ? 注意:(1)建标要适当; (2)化简变形要考查等价与否(即考 察曲线的完备性和纯粹性).

? 直接法求曲线方程五个步骤的实质是将产生 .

作业:课本p37,A2,A3,A4. 练习学考教程P32----P34.

再 见


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