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江西省上饶市2014届高三第二次模拟考试数学文试题(word版)

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江西省上饶市 2014 届高三第二次模拟考试

数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.

第Ⅰ卷
1.答题前,考生务必将自己的学校、座位号、姓名填写在答题卡上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2 犅铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答, 答案无效. 3.考试结束后,监考员将答题卷一并收回. 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每题只有一个正确答案) 1.在复平面内,复数 A.第一象限

1 1 ? i 3 对应的点位于 1? i 4
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.公比为 2 的等比数列{ an }的各项都是正数,且 a3a11 ? 16, 则 log 2 a1 ? A.4 B.-4 C.2 D.-2

3.在数列{ an }中, a1 ? 1, an ? an?1 ? n, n ? 2, 为计算这 个数列前 10 项的和,现给出该问题算法的程序框图 (如图所示) ,则图中判断框(1)处合适的语句是 A.i≥8 B.i≥9 C.i≥10 D.i≥11 4.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面, 则下列命题正确的是 A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α∥β,m ? α,n ? β,则 m∥n C.若 α∩β=n,n ? α,则 n⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n ? β,则 α⊥β

5.设函数 则实数 a= A.4 B.-2 C.4 或-12 D.4 或-2

6.以下命题中: ①p∨q 为假命题,则狆与狇均为假命题



1第

其中真命题个数为 A.0 个 7.已知函数

B.1 个

C.2 个 在一个周期内的图象如

D.3 个

图所示,其中犘,犙分别是这段图象的最高点和最低点,犕, 犖是图象与狓轴的交点,且∠犘犕犙=90°,则犃的值为 A. 3 B. 2 C.1 D.2

A. -4 B.-16 C.4 10.如图,不规则四边形 ABCD 中:AB 和 CD 是线段,AD 和 BC 是圆 弧,直线 l⊥AB 于 E,当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点) 时,把四边形 ABCD 分成两部分,设 AE=x,左侧部分面积为 y, 则 y 关于 x 的图象大致为 D.-8

第Ⅱ卷



2第

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩分成六段: [40,50) , [50,60) , …, [90,100] ,它的频率分布直方图如图所示.则该批 学生中成绩不低于 60 分的人数为 . 12.由直线 y=x+2 上的点向圆 ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 1 引切
2 2

线,则切线长的最小值为 13.过双曲线



x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点犘,作与实轴平行的直线,交两渐近线 M、N 两点,若 a 2 b2


???? ? ???? PM ? PN ? 2b 2 ,则该双曲线的离心率为

14.如下图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n>1,n∈N)个点,相应的

图案中总的点数记为 an ,则



15.已知集合

. .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.其中第 16—19 小题每题 12 分,第 20 题 13 分,第 21 题 14 分)

16.已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)已知 a,b,c 是△ ABC 三边长,且 f(C)=2,△ ABC 的面积 S=10 3 ,c=7.求角 C 及 a,b 的值.

17.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点. (1)从 C、D、E、F、G、H 这六个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离的平方为 ξ,求概 率 P(ξ ≤ 4) . (2)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P,求满足|PE|<2 的概率.



3第

18.圆锥 PO 如图 1 所示,图 2 是它的正(主)视图.已知圆 O 的直径为 AB,C 是圆周 上异于 A、B 的 一点,D 为 AC 的中点 (1)求该圆锥的侧面积 S; (2)求证:平面犘 PAC⊥平面 POD; (3)若∠CAB=60°,在三棱锥 A-PBC 中,求点 A 到平面 PBC 的距离.

19.数列{ an }满足犪 1=3,犪狀+1+犪狀=2 狀+5. (1)求 an 的表达式; (2)令

20.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A,右 a 2 b2

焦点为 F,直线 x ?

a2 与 x 轴交于点犅且与直线 c

y?

??? ? ??? ? ??? ? ???? b x 交于点犆,点犗为坐标原点 OB ? 2OA, OA ? OC ? 8 , a

过点犉的直线犾与椭圆交于不同的两点 M、N. (1)求椭圆的方程; (2)求△ BMN 的面积的最大值.



4第

21.已知 f ( x) ? 2ax ?

1 (2 ? a)ln x(a ? 0) x

(1)当 a=1 时,求 f(x)的极值; (2)当 a>0 时,讨论 f(x)的单调性; (3)若对任意的 a∈(2,4) ,x1,x2∈[1,3] ,恒有(m-ln3)a-2ln3>|f(x1)-f(x2)|成 立,求实数犿的取值范围.

上饶市 2014 届第二次高考模拟考试数学(文科)
试卷答案及评分标准 一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 题号


1

2

3

4
5第

5

6

7

8

9

10

D 答案 二、 填空题 (5×5=25 分) 11. 45 三、解答题: 12.

B

C

D

C

B

A

A

B

C

31

13.

6 2

14.

2012 2013

15. ? ?4, ?2 ? ? ? 2,5?

16.解: (Ⅰ)? f ( x) ? sin( 2 x ?

?
?
6

) ? sin( 2 x ? ? sin 2 x cos

?
?
6

) ? 2 cos 2 x ? cos 2 x sin

? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?
6

6

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?
T?

?
6

6

? cos 2 x ? 1 --------1 分

) ? 1 --------------------------------3 分

2? 2? ? ? ? -----------------------------------------------------4 分 |? | 2 ? ? ? ? ? ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z ,? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z , 2 6 2 3 6 ? ? 函数 f ( x) 的递增区间是? [? ? k? , ? k? ], k ? Z ------------------6 分 3 6 ? (Ⅱ) C ? ; a ? 8, b ? 5 …或 a=5,b=8……………12 分 3 11 17 解: (1) P (? ? 4) = 15 ………………………6 分
(2) 这是一个几何概型.所有点 P 构成的平面区域是正方形 ABCD 的内部,其面积是 2 ? 2 ? 4 .满足

PE ? 2 的点 P 构成的平面区域是以 E 为圆心,2 为半径的圆的内部与正方形 ABCD 内部的公共部
分,它可以看作是由一个以 E 为圆心、2 为半径、圆心角为

?
3

的扇形的内部与两个直角边分别为 1 和

3 的直角三角形内部构成.
1 ? 1 2? ? ? 2 2 ? 2 ? ? 1? 3 ? ? 3. 2 3 2 3 2? ? 3 ? 3 3 ? ? . …………………………12 分 所以满足 PE ? 2 的概率为 4 6 4
其面积是 18.解: (Ⅰ)解:由正(主)视图可知圆锥的高 PO ? 的母线长 PB ?

2 ,圆 O 的直径为 AB ? 2 ,故半径 r ? 1 .∴圆锥

PO 2 ? OB 2 ?

2 ? 12 ? 3 ,
3? .
4分

2

∴圆锥的侧面积 S ? ? rl ? ? ? 1 ? 3 ?

(Ⅱ)证明:连接 OC ,∵ OA ? OC , D 为 AC 的中点, ∴ OD ? AC .∵ PO ? 圆O , AC ? 圆O ,∴ PO ? AC .又 OD ? PO ? O ,
页 6第

∴ AC ? 平面POD .又 AC ? 平面PAC ,?平面 PAC ? 平面 POD …8 分

? ?ACB ? 90 , (Ⅲ)? AB是直径, 又 ?CAB ? 60 ,? S ?CAB ?
?

?

3 3 利用等体积法可求出距离, ,V ? 2 3

d?

2 2 3

12 分

19.(1)由 an ?1 ? an ? 2n ? 5 得: an? 2 ? an?1 ? 2n ? 7 ,两式作差得: an ? 2 ? an ? 2 ,

于是 a1 , a3 , a5 ,? 是首项 a1 ? 3 ,公差为 2 的等差数列,那么 a2k ?1 ? 2k ? 1(k ? N* ) , 且 a2 , a4 , a6 ,? 是首项 a2 ? 4 ,公差为 2 的等差数列,那么 a2k ? 2k ? 2(k ? N* ) , 综上可知: an ? n ? 2(n ? N* ) . (2) Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? ? ? a2n?1a2n ? a2n a2n?1
? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ? ? a2n (a2n ?1 ? a2n ?1 ) ? ?2(a2 ? a4 ? ? ? a2n )

……6 分

? ?2 ?

n(a2 ? a2 n ) ? ?n(4 ? 2n ? 2) ? ?2n2 ? 6n . 2

…12

??? ? ??? ? ??? ? ???? a3 a2 OC ? 8 ,则 ? 2a 且 ? 8 ,得 a ? 2, c ? 1 则 20.解:(1) 因为 OB ? 2OA , OA? c c
椭圆方程为:

x2 y2 ? ? 1 ………5 分 4 3

(2) ①当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l : y ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 则?

? y ? k ( x ? 1) ?3 x ? 4 y ? 12
2 2

消去 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ,
2 2 2

所以

8k 2 4k 2 ? 12 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
3k 1? k 2


………7 分

记 d 为 B 到 l 的距离,则 d ?
2 MN? 1 ? k

………8 分

( 1 x ? 2x) ? 4 1 x 2x

所以

S?

1 3 d MN ? k 2 2

(

8k 2 ? 9 8k 2 2 4k 2 ? 12 9 9 1 ? ) ? 4 ? ? ……11 分 = 4 2 2 2 2 16k ? 24k ? 9 2 3 ? 4k 3 ? 4k

② 当 l ? x 轴时, S ?

9 9 ,所以 ?BMN 的面积的最大值为 2 2

………13 分

21.解: (1)当 a=1 时可知 f ? x ? 在 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? 上是增函数,在 ? ,1? 上是减函数. 在 2? ?2 ?
………………4 分

(1, ?? ) 上是增函数

∴ f ? x ? 的极大值为 f ( ) ? 3ln 2 ? 1 , f ? x ? 的极小值. f (1) ? 1
页 7第

1 2

1 1 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 、 (2) f ( x) ? 2ax ? ? (2 ? a) ln x ? f ( x)=2a ? 2 ? (2 ? a) ? x x x x2
①当 0 ? a ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ?1 1? ? 和 ? , ?? ? 上是增函数,在 ? , ? 上是减函数…6 分 2? ?a ? ?2 a?
………… 7 分

②当 a ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数; ③当 a ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ?1 1? ? 和 ? , ?? ? 上是增函数,在 ? , ? 上是减函数 9 分 a? ?2 ? ?a 2?

(3)当 2 ? a ? 4 时,由(2)可知 f ? x ? 在 ?1,3? 上是增函数, ∴

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (3) ? f (1) ? 4a ? (2 ? a) ln 3 ?

2 3

…………… 10 分

由 (m ? ln 3) a ? 2 ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 对任意的 a∈(2, 4),x1, x2∈[1, 3]恒成立, ∴ (m ? ln 3) a ? 2 ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) max 即 (m ? ln 3)a ? 2ln 3 ? 4a ? (2 ? a) ln 3 ? 即m ? 4? ……… 11 分

2 对任意 2 ? a ? 4 恒成立, 3
……… 12 分

2 对任意 2 ? a ? 4 恒成立, 3a 13 由于 2 ? a ? 4 ,∴ m ? . 3

…………… 14 分



8第


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