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2015高考数学专题九:极坐标与参数方程(学生版含13、14年高考题)


2015 高考数学专题九: 坐标系与参数方程(学生版含 13、14 年高考 题) 第一讲 坐标系与参数方程
一、考纲要求

(1)坐标系 ①理解坐标系的作用。 ②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 ③能在极坐标系中用极坐标白哦是点的位置, 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别, 能 进行极坐标和直角坐标的 互化。 ④

能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程,理解用 方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。 ⑤了解柱坐标,球坐标系中表示空间中点的位置的方法, 并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较, 了解它们的区别。 ⑵参数方程 ② 了解参数方程,了解参数的意义。 能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。 ③了解平摆线,渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程。 ④了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。

二、考点整合:
1. 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标 系中取相同的长度单位.如图,设 M 是平面内的任意一点,它的直 角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则 ρ2=x2+y2 ? ?x=ρcos θ ? ? ? ,? . y ?y=ρsin θ tan θ= ?x≠0? ? ? x ? 2. 直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α,则它的方程为 ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=α; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;
1

π (3)直线过点 M(b, )且平行于极轴:ρsin θ=b. 2 3. 圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0,θ0),半径为 r 的圆的方程为
2 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 0-r =0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)圆心位于 M(r,0),半径为 r:ρ=2rcos θ; π (3)圆心位于 M(r, ),半径为 r:ρ=2rsin θ. 2 4. 直线的参数方程
?x=x0+tcos α, ? 过定点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为? (t 为参数). ?y=y0+tsin α ?

5. 圆的参数方程
? ?x=x0+rcos θ, 圆心在点 M(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为? (θ 为参数,0≤θ≤2π). ?y=y0+rsin θ ?

6. 圆锥曲线的参数方程
?x=acos θ, ? x2 y2 (1)椭圆 2+ 2=1 的参数方程为? (θ 为参数). a b ? ?y=bsin θ
2 ? ?x=2pt (2)抛物线 y =2px(p>0)的参数方程为? . ?y=2pt ? 2

真题感悟
1. (2013· 广东)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系, 则曲线 C 的参数方程为________.
? ?x=t 2. (2013· 江西)设曲线 C 的参数方程为? 2 (t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 ?y=t ?

建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________.
?x=acos φ ? 3. (2013· 湖北)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为? (φ 为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角 ?y=bsin φ ?

坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程 π 2 分别为 ρsin (θ+ )= m(m 为非零常数)与 ρ=b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的 4 2 离心率为________. 4. (2011· 陕西)在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲 ? ?x=3+cos θ, 线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则 AB 的最小值为________. ? ?y=4+sin θ
?x=t+1, ? 5. (2012· 湖南)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? (t 为参数)与曲线 C2: ?y=1-2t ? 2

? ?x=asin θ, ? (θ 为参数,a>0)有一个公共点在 x 轴上,则 a=________. ?y=3cos θ ?

6.[2014· 广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρcos2θ =sin θ 与 ρcos θ =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点 的直角坐标为________. 2 x=2+ t, 2 7.[2014· 湖南卷] 在平面直角坐标系中,曲线 C: (t 为参数)的普通方程为________. 2 y=1+ t 2

? ? ?

8. [2014· 陕西卷] π? π C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点?2, ?到直线 ρ sin? ?θ -6?=1 的距离是________. 6? ?

题型与方法
题型一 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化 ?x=t, ? π θ+ ? (θ 为参数). 例 1 已知直线 l 的参数方程:? (t 为参数)和圆 C 的极坐标方程:ρ=2 2sin? 4? ? ?y=1+2t ? (1)将直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

? ?x=2t, 变式训练 1 已知直线 l 的参数方程是? (t 为参数),圆 C 的极坐标方程为 ρ=4 2 ?y=4t+a ? π? cos? ?θ+4?.

(1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若圆上有且仅有三个点到直线 l 的距离为 2,求实数 a 的值.

题型二 曲线的极坐标方程 例2 π θ- ? 在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos? ? 3? =1,M,N 分别为曲线 C 与 x 轴,y 轴的交点.
3

(1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 M,N 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

变式训练 2 (2012· 辽宁)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.

题型三 曲线的参数方程及应用 例3 (2012· 福建)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l ?x=2+2cos θ, 2 3 π? 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0),? (θ 为参数). , ,圆 C 的参数方程为? ? 3 2? ?y=- 3+2sin θ (1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

变式训练 3

?x= 22t 已知直线 l 的参数方程是? 2 ?y= 2 t+4

2

π (t 是参数),圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos(θ+ ). 4

(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

4

典例

(10 分)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点 M 的极 ?x=1+2cos α, π 4 2, ?,曲线 C 的参数方程为? 坐标为? (α 为参数). 4 ? ? ?y= 2sin α (1)求直线 OM 的直角坐标方程; (2)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值. 规范解答

?x=cos α, ? 1. 已知圆 C 的参数方程为? (α 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 ? ?y=1+sin α

立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ=1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 ________________.

? ?x=cos α, 2. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (α 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相 ?y=1+sin α ?

同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C2 的方程为 ρ(cos θ-sin θ)+1=0,则 C1 与 C2 的交点个数为________.

? ?x=-2+cos θ y 3. 点 P(x,y)在曲线? (θ 为参数,θ∈R)上,则 的取值范围是________. x ?y=sin θ ?

5

? ? ?x=1-2t, ?x=s, 4. 若直线 l1:? (t 为参数)与直线 l2:? (s 为参数)垂直,则 k=______. ?y=2+kt ?y=1-2s ? ?

?x=t, 6. (2012· 广东)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为? (t 为参 ?y= t ?x= 2cos θ, 数)和? (θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________. ?y= 2sin θ

专题限时规范训练
一、填空题
? ?x=-2+2cos α 1. 曲线 C:? (α 为参数),若以点 O(0,0)为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 ?y=2sin α ?

坐标系,则该曲线的极坐标方程是________. 5 ? ?x=4t2, ?x= 5cos θ, 2. 已知两曲线参数方程分别为? (0≤θ<π)和? (t∈R),它们的交点 ?y=sin θ ?y=t ? 坐标为________.

?x=acos φ 3. 已知曲线 C 的参数方程是? (φ 为参数,a>0),直线 l 的参数方程是 ?y= 3sin φ
?x=3+t ? ? (t 为参数),曲线 C 与直线 l 有一个公共点在 x 轴上,则曲线 C 的普通方程为________. ?y=-1-t ?

4. (2013· 重庆)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 2 ? ?x=t , ? 若极坐标方程为 ρcos θ=4 的直线与曲线 (t 为参数)相交于 A,B 两点,则 AB 3 ?y=t ? =________.

二、解答题
?x=1+t, ? 5. 设直线 l1 的参数方程为? (t 为参数),直线 l2 的方程为 y=3x+4,求 l1 与 l2 间的距离. ? ?y=1+3t

6

? ?x=5cos φ, 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆? (φ 为参数)的右焦点,且与直线 ?y=3sin φ ? ?x=4-2t, ? ? (t 为参数)平行的直线的普通方程. ?y=3-t ?

π? 3 ? π? 7. (2012· 江苏)在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? ? 2,4?,圆心为直线 ρsin?θ-3?=- 2 与 极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程.

? ?x=2cos θ, π 2 θ+ ?= ,圆 M 的参数方程? 8. 已知直线的极坐标方程为 ρsin? (其中 θ 为参数),极点在直角 ? 4? 2 ?y=-2+2sin θ ?

坐标原点,极轴与 x 轴正半轴重合. (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求圆 M 上的点到直线的距离的最小值.

9. 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,已知曲线 C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),已

?x=-2+ 22t, 知过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为? 2 ?y=-4+ 2 t,
(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 PM,MN,PN 成等比数列,求 a 的值.

直线 l 与曲线 C 分别交于 M,N 两点.

10.(2013· 福建)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点 A 的极 π π 坐标为( 2, ),直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ- )=a,且点 A 在直线 l 上. 4 4 (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; ? ?x=1+cos α, (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? ?y=sin α

2013、2014 年全国高考理科数学试题分类汇编:坐标系与参数方程
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一、选择题 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) )在极坐标系中,圆

p =2 cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为
A. ? =0(? ? R )和? cos=2 C. ? =
二、填空题





B. ? =

?
2

(? ? R)和? cos=2

?
2

(? ? R)和? cos=1

D. ? =0(? ? R )和? cos=1

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) )已知圆的极坐标方程为

? ?? ? ? 4cos ? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , 则|CP| = ______. 3 ? ?
错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )在极坐标系中,曲线 ? ? cos ? ? 1 与 ? cos ? ? 1 的公共点到极

点的距离为__________

错误! 未指定书签。 . (2013 年高考北京卷 (理) ) 在极坐标系中,点(2,

? )到直线 ρ sinθ =2 的距离等于_________. 6

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) )在直角坐标系 xOy 中,
2 ? ?x ? t 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ? (为 3 ? ?y ? t

参数)相交于 A, B 两点,则 AB ? ______
错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) )(坐标系与参数方程

选讲选做题) 已知曲线 C 的参数方程为 ( 为参数 ), C 在点 处的切线为 ,以坐标原点为极 x 点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________. 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) )C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜 角 ? 为参数, 则圆 x 2 ? y 2 ? x ? 0 的参数方程为______ .
y

? ? x ? 2 cos t ? ? ? y ? 2 sin t

?1,1?

P θ

O

x

错误!未指定书签。 . (2013 年高考江西卷(理) )(坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? t ?y ? t
2

(为

参数 ), 若以直角坐标系的原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 则曲线 c 的极坐标方程为
8

__________
错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷(理) )在平面直角坐标系 xoy 中,若

? x ? t, ? x ? 3cos ? , l:? (t 为参数)过椭圆 C : ? ?y ? t ? a ? y ? 2sin ?

(?为参数)的 右顶点,则常数 a的值为 ________.
错误!未指定书签。 . ( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 ) ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆

C 的参数方程为

? x ? a cos ? ?? 为参数,a ? b ? 0 ? .在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极 ? ? y ? b sin ?
点 , 以 x 轴正半轴为极轴 ) 中, 直线与圆 O 的极坐标方程分别为 ? sin ? ? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数 ? 与 ?? 4? 2

? ? b .若直线经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为___________.
三、解答题 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) )选修 4—4;坐

标系与参数方程 已知动点 P, Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数上 ,对应参数分别为 ? ? ? 与 ? ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 ? y ? 2sin ?

PQ 的中点.
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )选修 4-4:坐标系与参数

方程 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程分别为

? ? 4sin ? , ? ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 2 2. . 4?

(I)求 C1 与 C2 交点的极坐标;
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(II)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为

?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? ,求 a, b 的值. ? y ? t ?1 ? 2

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) )坐标系与参数方程:在

平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系 .已知点 A 的极坐标为 ( 2, 直线的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

),

?
4

) ? a ,且点 A 在直线上.

(1)求 a 的值及直线的直角坐标方程; (2)圆 c 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ,( ? 为参数),试判断直线与圆的位置关系. ? y ? sin ?

错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) ) C.[选

修 4-4:坐标系与参数方程]本小题满分 10 分. 在平面直角坐标系 xoy 中,直线的参数方程为 ?

? x ? 2 tan 2 ? ?x ? t ? 1 (为参数),曲线 C 的参数方程为 ? (? y ? 2 tan ? ? y ? 2t ?

为参数),试求直线与曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.

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(2013 年高考新课标 1 (理) ) 选修 4—4:坐标系与参数方程

已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t (为参数), ? y ? 5 ? 5sin t

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).

[2014· 辽宁卷] 选修 44:坐标系与参数方程 将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以 坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C 的极坐标方程为ρ =2cos π θ ,θ∈?0, ?. 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐 标.

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23.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 选修 4-4:坐标系与参数方程
? ?x=2+t, x2 y2 已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值.

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