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2013年高中数学竞赛培训试题及答案解析(三套题)


2013 年高中数学竞赛培训试题及答案 卷一
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 若函数 f ? x ? ? lg ? ax 2 ? 4 x ? a ? 3? 的值域为 R , 则实数 a 的取值范围是 ( 1、
A 、 ? 4, ?? ? ; B 、 ? 0, 4? ; C 、 ? 0, 4 ? ; D 、 ? ??, ?1?

) .

? 4, ?? ? .

2 、设 a 2 ? b2 ? 1 ,? b ? 0 ? ,若直线 ax ? by ? 2 和椭圆

x2 y 2 a ? ? 1 有公共点,则 的 b 6 2

取值范围是(

).

? 1 1? A 、 ? ? , ? ; B 、 ? ?1, 1? ; ? 2 2?

C 、 ? ??, ?1?

?1, ?? ? ;

D 、 ? ?2, 2? .

3 、四面体 ABCD 的 六 条 棱 长 分 别 为 7,13,18, 27,36, 41 , 且 知 AB ? 41 , 则 CD ? A、7
; . B 、 13 ;

C 、 18



D 、 27 .

4 、若对所有实数 x ,均有 sin k x ? sin kx ? cosk x ? cos kx ? cosk 2 x ,则 k ? (
A、6 ; B 、5;

).

C 、4;

D 、3.

5 、设 an ? 2 ? 7

?

?

2 n ?1

,bn 是 an 的小数部分,则当 n ? N * 时,anbn 的值(

) .

A 、必为无理数; B 、必为偶数; C 、必为奇数; D 、可为无理数或有理数. 6 、设 n 为正整数,且 3n ? 1 与 5n ? 1 皆为完全平方数,对于以下两个命题:

(甲). 7n ? 13 必为合数; (乙). 8 ?17n2 ? 3n ? 必为两个平方数的和. 你的判断是( ) A.甲对乙错; B. 甲错乙对; 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) C.甲乙都对; D.甲乙都不一定对.

7 、过点 P ?1,1? 作直线 l ,使得它被椭圆
直线 l 的方程为 .

x2 y 2 ? ? 1 所截出的弦的中点恰为 P ,则 9 4
2

8 、设 x ? R ,则函数 f ? x ? ? x 2 ? 1 ?

? x ? 12?

? 16 的最小值为

.

9 、四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD 成 600 的二面角,顶点 A 在面 BCD 上的
射 影 H 是 ?BCD 的 垂 心 , G 是 ?ABC 的 重 心 , 若 AH ? 4 , AB ? AC , 则 GH ? .

10 、 sin 200 ? sin 400 ? sin800 ?

.

11 、数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,且对每个 n ? N * , an , an?1 是方程 x2 ? 3nx ? bn ? 0 的

两根,则 ? bk ?
k ?1

20

.
, 2008? 中取出一个 k 元子集 A ,使

12 、从前 2008 个正整数构成的集 M ? ?1, 2,

得 A 中任两数之和不能被这两数之差整除,则 k 的最大值为 三、解答题:



13 、 ( 20 分) AD 是直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高, ( AB ? AC ) , I1 , I 2 分别是
?ABD, ?ACD 的内心,?AI1I 2 的外接圆 O 分别交 AB, AC 于 E, F , 直线 EF , BC
交于点 M ; 证明: I1 , I 2 分别是 ?ODM 的内心与旁心.

( 20 分)设 x, y, z 为非负实数,满足 xy ? yz ? zx ? 1 ,证明: 14 、

1 1 1 5 ? ? ? . x? y y?z z?x 2

15 、 ( 20 分)对于 2n 元集合 M ? ?1, 2,
B ? ?b1 , b2 ,

, 2n? ,若 n 元集 A ? ?a1 , a2 ,
n n

, an ? ,

, bn ? 满足: A B ? M , A B ? ? ,且 ? ak ? ? b k ,则称 A B 是集
k ?1 k ?1

( A B与 B M 的一个“等和划分” 试确定集 M ? ?1, 2,

A 算是同一个划分) .

. ,12? 共有多少个“等和划分”

试题解答

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 若函数 f ? x ? ? lg ? ax 2 ? 4 x ? a ? 3? 的值域为 R , 则实数 a 的取值范围是 ( 1、
A 、 ? 4, ?? ? ; B 、 ? 0, 4? ; C 、 ? 0, 4 ? ; D 、 ? ??, ?1?

) .

? 4, ?? ? .

答案: B . 解:欲使 f ? x ? 的值域为 R ,当使真数 ax2 ? 4 x ? a ? 3 可取到一切正数,故或者

a ? 0 ;或者 a ? 0 且 42 ? 4a ? a ? 3? ? 0 ,解得 0 ? a ? 4
2 、设 a 2 ? b2 ? 1 ,? b ? 0 ? ,若直线 ax ? by ? 2 和椭圆

x2 y 2 a ? ? 1 有公共点,则 的 b 6 2

取值范围是(

).

? 1 1? A 、 ? ? , ? ; B 、 ? ?1, 1? ; ? 2 2?

C 、 ? ??, ?1?

?1, ?? ? ;

D 、 ? ?2, 2? .

答: C . 解:将 y ?

2 ? ax 代入椭圆方程并整理得, ? 3a 2 ? b2 ? x 2 ? 12ax ? 12 ? 6b2 ? 0 , b
2

因直线和椭圆有公共点,则判别式 ?12a ? ? 4 ? 3a 2 ? b2 ??12 ? 6b2 ? ? 0 ,利用

a 2 ? b2 ? 1 ,化简得 a 2 ? b2 ,所以

a a ? 1 .即 ? ? ??, ?1? b b

?1, ?? ? .

3 、四面体 ABCD 的六条棱长分别为 7,13,18, 27,36, 41 ,且知 AB ? 41 ,则 CD ? . A 、 7 ; B 、 13 ; C 、 18 ; D 、 27 . 答案: B . 解:四面体中,除 CD 外,其余的棱皆与 AB 相邻接,若长 13 的棱与 AB 相邻,不
妨设 BC ? 13 , 据构成三角形条件, 可知 AC ??7,18, 27? ,? AC ? 36, ? BD ? 7 ,
? ? AD, CD? ? ?18, 27? ,于是 ?ABD 中,两边之和小于第三边,矛盾。

因此只有 CD ? 13 . 另一方面,使 AB ? 41, CD ? 13 的四面体 ABCD 可作出,例如取

BC ? 7, AC ? 36, BD ? 18, AD ? 27 .故选 B
4 、若对所有实数 x ,均有 sin k x ? sin kx ? cosk x ? cos kx ? cosk 2 x ,则 k ?(
A、6 ; 答: D . B 、5;

).

C 、4;

D 、3.

k 解:记 f ? x? ? sink x ? sin kx ? cosk x ? coskx ? cos 2x ,则由条件, f ? x ? 恒为 0 ,

取x?

?
2

, 得n i s

k? ? 1? ? 2

?

k

?? ? , 则 k 为奇数, 设 k ? 2n ? 1 , 上式成为 sin ? n? ? ? ? ?1 , 2? ?

因此 n 为偶数,令 n ? 2m ,则 k ? 4m ? 1,故选择支中只有 k ? 3 满足题意.

5 、设 an ? 2 ? 7

?

?

2 n ?1

,bn 是 an 的小数部分,则当 n ? N * 时,anbn 的值(

) .

A 、必为无理数; B 、必为偶数; C 、必为奇数; D 、可为无理数或有理数. 答: C .

解: 令 u ? 2 ? 7, v ? 2 ? 7 , 则 u ?v ? 4 ,u v ?? 3 ,u, v 是方程 x2 ? 4 x ? 3 的两根, 则 u 2 ? 4u ? 3, v 2 ? 4v ? 3 ,所以当 n ? 2 时, u n ? 4u n?1 ? 3u n?2 , vn ? 4vn?1 ? 3vn?2 , 令 Sn ? u n ? v n ,则当 n ? 2 时, Sn ? Sn?1 ? Sn?2 , S0 ? 2, S1 ? 4 ,故所有 S n 为偶数,

? 7 ? 2? ? u ? 1 ,所以 ? 因 0 ? ? 7 ? 2? a b ? ? 7 ? 2? ? ? 7 ? 2?
7 ?2
2 n ?1

?

?

?

2 n ?1

2 n ?1

? v 2 n?1 ? S2 n?1 ? 2k ,

?

7 ?2

?

2 n ?1

? 2k ?

?

7 ?2

?

2 n ?1



2 n ?1

7 ?2

?

2 n ?1

为 an 的小数部分,即 bn ?

?

7 ?2

?

2 n ?1



2 n ?1

2 n ?1

n n

? 32 n?1 ? 奇数.

6 、设 n 为正整数,且 3n ? 1 与 5n ? 1 皆为完全平方数,对于以下两个命题:
(甲). 7n ? 13 必为合数; (乙). 8 ?17n2 ? 3n ? 必为两个平方数的和. 你的判断是( A.甲对乙错; 答案: C ) B. 甲错乙对; C.甲乙都对; D.甲乙都不一定对.

解:设 3n ? 1 ? a 2 , 5n ? 1 ? b2 , a, b 为正整数;则 1, 7n ? 13 ? 9 ? 3n ? 1? ? 4 ? 5n ? 1? ? ? 3a ? ? ? 2b ? ? ? 3a ? 2b ?? 3a ? 2b ? ?○
2 2

由此知, 3a ? 2b 为正整数,且 3a ? 2b ? 1 ,因为若 3a ? 2b ? 1 ,则
27n ? 9 ? ? 3a ? ? ? 2b ? 1? ? 4b2 ? 4b ? 1 ,即 27n ? 4 ? n2 ? n ? 2 ? ,则 4 n ,记
2 2

n ? 4k ,得 5n ?1 ? 20k ?1 不为平方数,矛盾!所以 3a ? 2b ? 2 ,故由○ 1 得,
7n ? 13 为合数;又因为 8 ?17n2 ? 3n ? ? ? ?? 3n ? 1? ? ? 5n ? 1?? ?? ?4 ? 3n ? 1? ? ? 5n ? 1?? ?
2 2 ? 2? 2 2 故选 C . (例如 65 是上述 n 之一) . ?? ?a ? b ? ? ?? 2a ? ? b ? ? ? 2a ? b ? ? ? ab ? , 2 2 2

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

7 、过点 P ?1,1? 作直线 l ,使得它被椭圆

x2 y 2 ? ? 1 所截出的弦的中点恰为 P ,则 9 4

直线 l 的方程为 答案: 4 x ? 9 y ? 13 .

.

解:设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ? 1 ,代入椭圆方程,整理得,

?9k

2

? 4 ? x2 ? 18k ?1 ? k ? x ? 9k 2 ? 18k ? 27 ? 0 ,设其两根为 x1 , x2 ,则

x1 ? x2 ? 1, 2

即?

18k ?1 ? k ? 4 4 ? 2, k ? ? , 所以直线 l 的方程为 y ? ? ? x ? 1? ? 1 , 即 4 x ?9 y ? 1 3 2 9k ? 4 9 9

8 、设 x ? R ,则函数 f ? x ? ? x 2 ? 1 ?

? x ? 12?
C A

2

? 16 的最小值为
P

.

答案: 13 . 解:如图,取 A 为数轴原点, AB ? 12 , 再作 AB 垂线 AC, BD ,使

B

AC ? 1, BD ? 4 ,在数轴上取点 P ,使

D E

AP ? x , 则f? x ?? C P D P ?

, 当 C, P, D

共线时, f 值最小,此时 f min ? CD ? AE ? 122 ? 52 ? 13 .

9 、四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD 成 600 的二面角,顶点 A 在面 BCD 上的
射 影 H 是 ?BCD 的 垂 心 , G 是 ?ABC 的 重 心 , 若 AH ? 4 , AB ? AC , 则 GH ? . 答案:

4 21 . 9 1 AF , 3

解:设面 AHD 交 BC 于 F ,则因 AB ? AC ,故 G 在 AF 上,且 GF ?

?AFH ? 600 ,于是 AF ?

AH 8 1 4 8 ? , FH ? AF ? , GF ? ,在三角 0 sin 60 2 3 3 3 3
4 21 9
.

形 GFH 中,由余弦定理得 GH ?

10 、 sin 200 ? sin 400 ? sin800 ?
答案:
3 . 8

解: 8sin 200 ? sin 400 ? sin 800 ? 4 ? cos 200 ? cos 600 ? sin 800
? 4sin 800 cos 200 ? 2sin 800 ? 2 ? sin1000 ? sin 600 ? ? 2sin 800 ? 2sin 600 ? 3 ,

所以 sin 200 ? sin 400 ? sin 800 ?

3 . 8

11 、数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,且对每个 n ? N * , an , an?1 是方程 x2 ? 3nx ? bn ? 0 的

两根,则 ? bk ?
k ?1

20

.

答: 6385 . 解:对每个 n ? N * , an ? an?1 ? ?3n ??○ 1 , an an?1 ? bn ??○ 2, 将○ 1 写作 an?1 ?

3 ? n ? 1? 3 3n 3 ? 3n 3 ? ? ? ? ? ? ? an ? ? ? ,因此 ?an ? ? ? 是一个公比为 ?1 2 4 2 4? 2 4? ? ?
3 ? 2n ? 1? 3n 3 n ?1 7 n ?1 7 ? ? ?1? ? , ? ? ? ?1? ,即 an ? ? 4 4 2 4 4

的等比数列,故 an ?

an ?1 ? ?

20 3 ? 2n ? 1? 9 29 n 7 n 21 ? ? ?1? ? ; 于是 bn ? an an ?1 ? n2 ? ? ? ?1? ? ; ? bk ? 6385 . 4 4 4 8 8 k ?1

12 、从前 2008 个正整数构成的集 M ? ?1, 2,

, 2008? 中取出一个 k 元子集 A ,使

得 A 中任两数之和不能被这两数之差整除,则 k 的最大值为 答案: 670 . 解:首先,我们可以取 670 元集 A ? ?1, 4, 7,



, 2008? , A 中任两数之和不能

被 3 整除,而其差是 3 的倍数;其次,将 M 中的数自小到大按每三数一段,共分 为 670 段: 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,
, 2005, 2006, 2007, 2008,

从 A 中任取 671 个数, 必有两数 x, y 取自同一段, 则 x ? y ? 1或 2 , 注意 x ? y 与 x ? y 同奇偶,于是 ? x ? y ? ? x ? y ? .因此 k 的最大值为 670 . 三、解答题:

13 、 ( 20 分) AD 是直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高, ( AB ? AC ) , I1 , I 2 分
别是 ?ABD, ? ACD的内心, ?AI1I 2 的外接圆 O 分别交 AB, AC 于 E , F ,直线

EF, BC 交于点 M ;

证明: I1 , I 2 分别是 ?ODM 的内心与旁心. 证:如图,连 DI1 , DI 2 , BI1 , AI 2 , I1F ,由 ?EAF ? 900 ,则圆心 O 在 EF 上,设 直径 EF 交 AD 于 O? , 并简记 ?ABC 的三内角为 A, B, C , 由 ?I1BD ?

B 1 ? ?DAC 2 2

? ?I 2 AD, ?I1DB ? 450 ? ?I 2 DA ,
DI1 DB 所 以 ?D B I ,且 ? 1 ∽ ?DAI 2 , 得 DI 2 DA

A
F O E I1 M I2

?I1DI 2 ? 900 ? ?BDA ,故 ?I1DI 2 ∽ ?BDA ,
而 ?DI1I 2 ? B, ?AI1D ? 900 ?

B

D

C

B , 2 B , 2

注意 ?AI1D ? ?AI1F ? ?FI1I 2 ? ?DI1I 2 , ?AI1F ? ?AEF , ?FI1I 2 ? ?FAI 2 ?

所以 ?AEF ? 900 ? B ? C ? ?DAB , 因此 O?E ? O?A , 同理得 O?F ? O?A , 故 O? 与 O 重合,即圆心 O 在 AD 上,而 ?EOD ? ?OEA ? ?OAE ? 2?OAE ? 2C ,

?EOI1 ? 2?EAI1 ? ?BAD ? C ,所以 OI1 平分 ?DOM ;
同理得 OI 2 平分 ?DOF ,即 I1 是 ?ODM 的内心, I 2 是 ?ODM 的旁心. 证二:如图,因为 ?BAC ? 90? ,故 ?AI1I 2 的外接圆圆心 O 在 EF 上,连
OI1 , OI 2, I1D, I 2 D ,则由 I1 , I 2 为内心知,
A
F O E I1 M H I2

?I1 AI 2 ? 45? , 所以 ?I1OI 2 ? 2?I1 AI 2 ? 90? ? ?I1DI 2 ,
于是 O, I1 , D, I 2 四点共圆,所以
B

D

C

?I 2 I1O ? ?I1I 2O ? 45? , 又因 ?I 2 DO ? ?I 2 I1O ? 45? ? ?I 2 DA , 因此点 O 在 AD 上,
即 O 为 EF 与 AD 的交点.设 AD 与 O 交于另一点 H ,而由 ?EAI1 ? ?I1 AH 2 ,

?HAI 2 ? ?FAI 2 ,可知, I1 , I 2 分别为 EH , HF 的中点,所以 ?EOI1 ? ?DOI1 ,
?DOI 2 ? ?FOI 2 .因此,点 I1 , I 2 分别为 ?OMD 的内心与旁心.

( 20 分)设 x, y, z 为非负实数,满足 xy ? yz ? zx ? 1 ,证明: 14 、

1 1 1 5 ? ? ? . x? y y?z z?x 2
简证:为使所证式有意义, x, y, z 三数中至多有一个为 0 ; 据对称性,不妨设 x ? y ? z ? 0 ,则 x ? 0, y ? 0, z ? 0 ,对正数 x, y 作调整, 由于

1 1 ? ? y?z z?x

2

? y ? z ?? z ? x ?

?

2 1? z2

,取等号当且仅当 x ? y ,

此时条件式成为 x2 ? 2 xz ? 1 ,则 x ? 1,且有 z ?

1 ? x2 ,于是 2x

1 4x 1 1 1 1 2 ? ? , ? ? ? ? 2 x ? y y ? z z ? x 2x 1? z2 2x 1? x
只要证

1 4x 5 ? ? ,即 1 ? 9 x2 ? 5x ? 5x3 ? 0 ,也即 ?1 ? x ? ? 5x2 ? 4 x ? 1? ? 0 ,此 2 2x 1? x 2

为显然,取等号当且仅当 x ? y ? 1, z ? 0 ,故命题得证. 详证:为使所证式有意义, x, y, z 三数中至多有一个为 0 ;据对称性,不妨 设 x ? y ? z ? 0 ,则 x ? 0, y ? 0, z ? 0, xy ? 1;

?1 ? 、当 x ? y 时,条件式成为 x
0

2

? 2 xz ? 1 , z ?

1 ? x2 , x 2 ? 1 ,而 2x

1 1 1 2 1 2 1 4x , ? ? ? 2x ? ? ? ? ? 2 x? y y?z z?x z ? x 2x 1 ? x 2x 1 ? x2 ?x 2x

只要证,

1 4x 5 ? ? ,即 1 ? 9 x2 ? 5x ? 5x3 ? 0 ,也即 ?1 ? x ? ? 5x2 ? 4 x ? 1? ? 0 , 2 2x 1? x 2

此为显然;取等号当且仅当 x ? y ? 1, z ? 0 .

? 2 ? 、再证,对所有满足 xy ? yz ? zx ? 1 的非负实数 x, y, z ,皆有
0

1 1 1 5 ? ? ? .显然,三数 x, y, z 中至多有一个为 0 ,据对称性, x? y y?z z?x 2

仍设 x ? y ? z ? 0 ,则 x ? 0, y ? 0, z ? 0, xy ? 1,令 x ? cot A, y ? cot B , A, B 为锐 角,以 A, B 为内角,构作 ?ABC ,则 cot C ? ? cot ? A ? B ? ?

1 ? cot A cot B 1 ? xy ? cot A ? cot B x? y

? z ? 0 ,于是 C ? 900 ,且由 x ? y ? z ? 0 知, cot A ? cot B ? cot C ? 0 ;于是
A ? B ? C ? 900 ,即 ?ABC 是一个非钝角三角形.
下面采用调整法,对于任一个以 C 为最大角的非钝角三角形 ABC ,固定最 大角 C ,将 ?ABC 调整为以 C 为顶角的等腰 ?A?B?C ,其中 ?A? ? ?B? ?

A? B ,且 2

设 t ? cot

A? B C 1 1 1 ? tan ,记 f ? x, y, z ? ? ? ? ,据 ?10 ? 知, 2 2 x? y y?z z?x

5 f ?t, t, z ? ? . 2
今证明, f ? x, y, z ? ? f ? t , t , z ? .即

1 1 1 1 2 ? ? ? ? ??○ 1. x ? y y ? z z ? x 2t t ? z
??○ 2

即要证

? 1 1? ? 1 1 2 ? ? ??? ? ? ? ??0 ? x ? y 2t ? ? y ? z z ? x t ? z ?

先证 x ? y ? 2 t ??○ 3 ,即证 cot A ? cot B ? 2cot

A? B , 2

A? B sin ? A ? B ? 2 cos 2 A? B ? sin A sin B ,也即 即 ,此即 sin 2 ? A? B 2 sin A sin B sin 2
1 ? cos ? A ? B ? ? sin A sin B ,即 cos ? A ? B ? ? 1 ,此为显然.

由于在 ?A?B?C 中,t 2 ? 2tz ? 1,则

2 ?t ? z ? 2 ?t ? z ? 2 ;而在 ?ABC 中, ? ? t ? z ? t ? z ?2 1? z2

1 1 x ? y ? 2z x ? y ? 2z ? ? ? ,因此○ 2 式成为 y ? z z ? x ? y ? z ?? z ? x ? 1? z2

? x ? y ? 2t ? ? ?

? 1 ? 1 ? ? 2 ??0 ? 1 ? z 2t ? x ? y ? ?

??○ 4,

只要证,

1 1 ? ?0 2 1 ? z 2t ? x ? y ?

??○ 5 ,即证 2t ? x ? y ? ? 1 ? z 2 ,注意○ 3 式以及
2

? 1? t2 ? 1? t2 4 2 2 2 z? ,只要证 4t 2 ? 1 ? ? 6 ? ,即 15 t ? 1 ? 2t ,也即 t ?15t ? 2 ? ? 1 ?○ 2 t 2t ? ?
由于最大角 C 满足: 600 ? C ? 900 ,而 t ? cot

A? B C 1 ? tan ,则 ? t ? 1 ,所以 2 2 3

1? 1 ? 6 成立,因此○ 5 得证,由○ 3 及○ 5 得○ 4 成立,从 t 2 ?15t 2 ? 2 ? ? ?15 ? ? 2 ? ? 1 ,故○ 3? 3 ?

而○ 1 成立,即 f ? x, y, z ? ? f ? t , t , z ? ,因此本题得证.

15 、 ( 20 分)对于 2n 元集合 M ? ?1, 2,
B ? ?b1 , b2 ,

, 2n? ,若 n 元集 A ? ?a1 , a2 ,
n n

, an ? ,

, bn ? 满足: A B ? M , A B ? ? ,且 ? ak ? ? b k ,则称 A B 是
k ?1 k ?1

集 M 的一个“等和划分” ( A B与 B 试确定集 M ? ?1, 2,
A 的个数,设 A ? ?a1 , a2 ,

. A 算是同一个划分)

. ,12? 共有多少个“等和划分”
, a6 ? , a6 为最大数,由 1 ? 2 ?

解一:不妨设 12 ? A ,由于当集 A 确定后,集 B 便唯一确定,故只须考虑集

? 12 ? 78 ,则

a1 ? a2 ?

? a6 ? 39 , a6 ? 12 ,于是 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 27 ,

故 A1 ? ?a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ? 中有奇数个奇数.

?1? 、若 A1 中有 5 个奇数,因 M 中的六个奇数之和为 36 ,而 27 ? 36 ? 9 ,则
A1 ? ?1,3,5, 7,11? ,这时得到唯一的 A ? ?1,3,5,7,11,12? ;

? 2 ? 、若 A1 中有 3 个奇数、两个偶数;用 p 表示 A1 中这两个偶数 x1 , x2 之和;
q 表示 A1 中这三个奇数 y1 , y2 , y3 之和,则 p ? 6, q ? 9 ,于是 q ? 21, p ? 18 .共得

A1 的 24 种情形.
其中, ?10 ? 、当 p ? 6, q ? 21 ,则 ? x1 , x2 ? ? ? 2, 4 ? , ? y1 , y2 , y3 ? ? ?1,9,11? , ? 3,7,11? ,

? 5, 7,9 ? ;可搭配成 A1 的 3 个情形;

? 2 ? 、当 p ? 8, q ? 19 ,则 ? x , x ? ? ? 2, 6? , ? y , y , y ? ? ?1,7,11? , ?3,5,11? , ?3,7,9? ;
0
1 2 1 2 3

可搭配成 A1 的 3 个情形;

? 3 ? 、当 p ? 10, q ? 17 ,则 ? x , x ? ? ? 2,8? , ? 4, 6? , ? y , y , y ? ? ?1,5,11? , ?1,7,9? ,
0
1 2 1 2 3

? 3,5,9 ? ,可搭配成 A1 的 6 个情形;

? 4 ? 、当 p ? 12, q ? 15,则 ? x , x ? ? ? 2,10? , ? 4,8? , ? y , y , y ? ? ?1,3,11? , ?1,5,9? ,
0
1 2 1 2 3

? 3,5, 7 ? ,可搭配成 A1 的 6 个情形;

? 5 ? 、当 p ? 14, q ? 13,则 ? x , x ? ? ? 4,10? , ? 6,8? , ? y , y , y ? ? ?1,3,9? , ?1,5,7 ? ,
0
1 2 1 2 3

可搭配成 A1 的 4 个情形;

? 6 ? 、当 p ? 16, q ? 11 ,则 ? x , x ? ? ? 6,10? , ? y , y , y ? ? ?1,3, 7 ? ;
0
1 2 1 2 3

可搭配成 A1 的 1 个情形;

? 7 ? 、当 p ? 18, q ? 9 ,则 ? x , x ? ? ?8,10? , ? y , y , y ? ? ?1,3,5? ;
0
1 2 1 2 3

可搭配成 A1 的 1 个情形.

? 3? 、若 A1 中有一个奇数、四个偶数,由于 M 中除 12 外,其余的五个偶数和
2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 30, 从中去掉一个偶数, 补加一个奇数, 使 A1 中五数之和为 27 ,
分别得到 A1 的 4 个情形: ? 7, 2, 4,6,8? , ? 5, 2, 4,6,10 ? , ?3, 2, 4,8,10 ? , ?1, 2,6,8,10? . 综合以上三步讨论, 可知集 A 有 1 ? 24 ? 4 ? 29 种情形, 即 M 有 29 种 “等和划分” . 解二:元素交换法,显然 ? ai ? ? bi ? 39 ,恒设 12 ? A ;
i ?1 i ?1 6 6

?1 ? 、首先注意极端情况的一个分划:A ? ?1, 2,3,10,11,12?, B ? ?4,5,6,7,8,9? ,
0
0 0

显然数组 ?1, 2,3? 与 ?10,11,12? 中, 若有一组数全在 A 中, 则另一组数必全在 A 中; 以下考虑 10,11 两数至少一个不在 A 中的情况,为此,考虑 A0 , B0 中个数相同且 和数相等的元素交换:

? 2 ? 、?10,1? ? ?5, 6? , ? 4, 7 ? ;?10, 2? ? ?5, 7 ? , ? 4,8? ;?10,3? ? ? 6,7 ? , ?5,8? , ? 4,9? ;
0

?10, 2,3? ? ? 4,5, 6? ;共得到 8 个对换;

? 3 ? 、?11,1? ? ?5, 7 ? , ? 4,8? ;?11, 2? ? ? 6,7 ? , ?5,8? , ? 4,9? ;?11,3? ? ? 6,8? , ?5,9? ;
0

?11,1,3? ? ? 4,5, 6 ? ; ?11, 2,3? ? ? 4,5, 7 ? ;共得到 9 个对换;

? 4 ? 、?10,11,1? ? ? 6,7,9? , ?5,8,9? ;?10,11, 2? ? ? 6,8,9? ;?10,11,3? ? ? 7,8,9? ;
0

?10,11,1, 2? ? ? 4,5,7,8? , ? 4,5,6,9 ? ; ?10,11,1,3? ? ? 4,6,7,8? , ? 4,5,7,9 ? ; ?10,11, 2,3? ? ?5,6,7,8? , ? 4,6,7,9 ? , ? 4,5,8,9 ? ;共得到 11 个对换.每个对换都得到
一个新的划分,因此,本题共得 1 ? 8 ? 9 ? 11 ? 29 种等和划分.

卷二
试 题 一、填空题(每小题 7 分,共 56 分) 1.已知数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 3n ? 4 ? n ? N* ? ,则

x?3 ? a x? 1, x? R

a1 ? a3 ? a5 ?

? a21 ?
A? x

2. 若 集 合 是 .

?

? 为空集,则实数 a 的取值范围

2 2 3. 设 x 、 y 为实数, 2 x ? y ? 1 ,则二元函数 u ? x ? 4 x ? y ? 2 y 的最小值





x2 y 2 ? 2 ?1 2 F F FF 4. 设 1 、 2 分别是双曲线 a b 的左、右焦点,以 1 2 为直径的圆交
双曲线左支于 A 、 B 两点,且

?AF1B ? 120? . 双曲线的离心率的值介于整数 k 与


k ? 1 之间,则 k ?
5. 已知长方体

ABCD ? A1B1C1D1

的体积为 216 ,则四面体 .

AB1CD1

与四面体

A1BC1D
6.

的重叠部分的体积等于 设
[ x]











x















[log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ?


? [log3 258] ?

7. 设方程 x

2 n ?1

? a2n x2n ? a2n?1 x2n?1 ?

? a1 x ? a0 ? 0 的根都是正数,且其中
. 个棋盘格.

a1 ? ? ? 2n ? 1? ,则 a0 的最大值是
8. 2009 ? 1911的方格棋盘的一条对角线穿过

二、解答题(第 9 题 14 分,10、11 题各 15 分) 9. 求函数

f ? x ? ? sin 4 x ? tan x ? cos4 x ? cot x

的值域.

2 P ?1,1? 10. 如图,抛物线 y ? 2 x 及点 ,过点 P

l l B、 的不重合的直线 1 、2 与此抛物线分别交于点 A 、

C、D.
证明: A 、 B 、 C 、 D 四点共圆的充要条件是

l l 直线 1 与 2 的倾斜角互补.

11. 设 a , b 是正数,且 a ? 1 , b ? 1,求证:

a5 ? 1 b5 ? 1 25 ? ? ? a ? 1?? b ? 1? a 4 ? 1 b4 ? 1 64 .
加 试

DE ∥ BC , 12. (本题满分 50 分) 如图, 在△ ABC 中,

△ ADE 的内切圆与 DE 切于点 M ,△ ABC 的 BC 边上的 旁切圆切 BC 于点 N , 点 P 是 BE 与 CD 的交点, 求证 M 、

N 、 P 三点共线.

n 为给定的整数, n ? k ? 2. 13. (本题满分 50 分) 设k ,
对任意 n 元的数集 P , 作 P 的所有 k 元子集的元素和, 记这些和组成的集合为 Q , 集合 Q 中元素个数是

CQ

. 求

CQ

的最大值.

n n 14.(本题满分 50 分)设 M ? 2 1 ? 2 2 ?
n1 n2 ns

? 2ns , n1 , n2 ,

, ns 是互不相同的正

整数,求证:

22 ?22 ?

? 2 2 ? 1? 2

?

?

M

.

15. (本题满分 50 分)求满足下列条件的所有正整数 x 、 y : (1) x 与 y ? 1
2 3 互素; (2) x ? x ? 1 ? y .


1 1 (??, ? ) ( , ??) 3 6 2.


9 5

1. 5.

268

?

3.

4.

2

36

6.

932

7.

1

8.

3871

9.因为
f ? x ? ? sin 4 x ? sin x cos x ? cos 4 x ? cos x sin x 6 6 sin x ? cos x ? sin x cos x 3 2 ? sin 2 2 x 2 ? sin 2 x .

令 t ? sin 2 x ,则

t ? ? ?1,0 ?

? 0,1? ,
3 2 ? t2 2 ? 2 ? 3t f ? x? ? t t 2 .

易知函数

g ?t ? ?

2 3 ? t g ?t ? t 2 在区间 ? ?1, 0 ? 与 ? 0,1? 上都是减函数, 所以 的值域

1 1 1 1 (??, ? ] [ , ??) (??, ? ] [ , ??) f x ? ? 2 2 2 2 为 ,故 的值域为 .

? ? ? 0, ? ? l l l 10. 设 1 、 2 的倾斜角分别为 ? 、? ,由题设知 ? 、 . 易知直线 1 的
参数方程为

? x ? 1 ? t cos ? ? ? y ? 1 ? t sin ? ,
代入抛物线方程可化得

t 2 sin 2 ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? t ? 1 ? 0
t t 设上述方程的两根为 1 、 2 ,则
AP ? BP ? 1 sin 2 ? . t1t2 ?

.

?1 sin 2 ? . 由参数 t 的几何意义, 得

CP ? DP ?
同理

1 sin 2 ? .

2 2 若 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,则 AP ? BP ? CP ? DP ,即 sin ? ? sin ? .因

为? ,

? ? ? 0, ? ?

l l , 所以 sin ? ? sin ? .又由 1 、 2 不重合, 则 ? ? ? . 所以 ? ? ? ? ? .

? ? ? 0, ? ? i n ?? s i n 反过来, 若? ? ? ? ? , 则因 ? 、 , 故s

?, 且 ? ? 0 ,? ? 0 .

1 1 ? 2 2 所以 sin ? sin ? ,即 AP ? BP ? CP ? DP .故 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆.

11. 因为

a5 ? 1 a 4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1 ? a4 ?1 a3 ? a 2 ? a ? 1 ,

8 ? a 4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1? ? 5 ? a3 ? a 2 ? a ? 1? ? a ? 1?
4 2 4 3 ? 3a4 ? 2a3 ? 2a 2 ? 2a ? 3 ? ? a ? 2a ? 1? ? 2 ? a ? a ? a ? 1?

? ? a 2 ? 1? ? 2 ? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? ? 0
2 2

( a ? 1) ,

所以

a 4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1 5 ? ? a ? 1? a3 ? a 2 ? a ? 1 8 ,


a5 ? 1 5 ? ? a ? 1? a4 ?1 8 .

b5 ? 1 5 ? (b ? 1) 4 同理可证 b ? 1 8 . 于是, a5 ? 1 b5 ? 1 25 ? ? (a ? 1) ? b ? 1? a 4 ? 1 b4 ? 1 64 .

12. 以

设 BE 与 MN 交于点 P ' .因为 DE ∥ BC , 所

BP BC BP ' BN ? ? PE DE , P ' E EM . BC BN BN EM ? ? 故只需证明 DE EM ,或 BC DE .

如图 ,



O2 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心, O1 、 F、

G 、 H 、 I 为切点,则
EM ? 1 ? AE ? DE ? AD ? 2 ,

AH ? AB ? BH ? AB ? BN ,
AH ? AI ? 1 ? AB ? BC ? AC ? 2 , 1 ? AC ? BC ? AB ? 2 .

BN ? AH ? AB ?

又因为 ?ADE ∽ ?ABC ,故可设
AB BC AC ? ? ?k AD DE AE ,


1 ( AC ? BC ? AB) BN 2 ? BC BC

(k ? AE ? k ? DE ? k ? AD) 2k ? DE ( AE ? DE ? AD) EM ? ? 2 DE DE ?

故结论成立.

13.

CQ

的最大值为 Cn .

k

k k CQ ? Cn C k n P 因 共有 个 元子集,故显然有 .

2 下面指出,对集合 P ? {2, 2 ,

, 2n } ,相应的 CQ 等于 Cn ,即 P 的任意两个
CQ
的最大值为 Cn .
k

k

不同的 k 元子集的元素之和不相等. 从而

r1 r2 事 实 上 , 若 上 述 的 集 合 P 有 两 个 不 同 的 k 元 子 集 A ? {2 , 2 ,

, 2rk } ,

B ? {2s1 , 2s2 ,

, 2sk } ,使得 A 与 B 的元素之和相等,则
2r1 ? 2r2 ? ? 2rk ? 2s1 ? 2s2 ? ? 2sk ? M (设).


s r 因①可视为正整数 M 的二进制表示,由于 i 互不相同, i 互不相同,故由正
整数的二进制表示的唯一性, 我们由①推出, 集合 相同,从而子集 A ? B ,矛盾. 这就证明了我们的断言. 14. 对 s 归纳. (1) 当 s ? 1 时,结论显然成立. (2) 假设 s ? k 时结论成立,当 s ? k ? 1 时,不妨设 归纳假设可知,
22 ?
n2 nk ?1 2

{r1 , r2 ,

, rk } 必须与 {s1 , s2 ,

, sk }

n1 ? n2 ?

? nk ? nk ?1

.由

?2

? (1 ? 2) M ? 2n1 ,
nk nk ?1 2 n1


22 ? 22 ?
n1 n2

?22 ?2

? (1 ? 2) M ? 2n1 ? 2 2 .
n1

所以只要证明
(1 ? 2) M ? 2n1 ? 2 2 ? (1 ? 2) M ,

此即

(1 ? 2)2 2

n1

M ? M ? 2n1

?1

.

因为正整数 n1 ? n2 ?

? nk ? nk ?1 ,所以

2n1 ? 2n2 ?1 ? 2n2 ? 2n2 ?1 ? ?2 ?2 ?
n2 n3

? 2 ?1

?2 .
nk ?1

.


M ? 2n1 ? 2n2 ? M ? 2n1 ? 2n2 ? ? 2nk ? 2nk ?1 ? 2 ? 2n1 , ? 2nk ?1 ? 2n1 .

所以
(1 ? 2)2 2
n1

M ? M ? 2n1

?

(1 ? 2)2 2

n1

2 ? 2n1 ? 2n1

?1



即 s ? k ? 1 时,命题成立. 因此,由数学归纳法可知,命题对所有正整数 s 成立. 15. 显然 x ? 1 , y ? 1 满足要求. 对于 x ? 1 , y ? 1 , 方程可化为

? y ? 1? ? y 2 ? y ? 1? ? x ? x ? 1? .

? x, y ? 1 ? ? 1, 故 x 一 定 是 y 2 ? y ? 1 的 一 个 因 子 . 设 显然 x? y . 因为
x ? 1 ? k ? y ? 1? y 2 ? y ? 1 ? kx ( k 为正整数) ,从而 . 由 x ? y 可知 k ? 2 .消去 x ,


y 2 ? y ? 1 ? k 2 ? y ? 1? ? k




?y
由此推得

2

? 1? ? ? y ? 1? ? k 2 ? y ? 1? ? k ? 3

.

y ? 1 ? k ? 3?

.

若 k ? 3 ,则 y ? 1 ? k ? 3 ,即 k ? y ? 2 ,从而

k 2 ? y ? 1? ? k ? y 2 ? y ? 1 ? k 2 ? ? k ? 2 ? ? 1
故必有 y ? 1 ? 0 ,矛盾.



所以 k ? 3 ,从而 k ? 2 , 3 . 验证知 y ? 7 , x ? 19 . 综上,

? x, y ? ? ?1,1? , ?19, 7 ? .

卷三
试 题 一、填空题( 每小题 10 分,共 80 分) 1. 某人在将 2009 中间的两个数码 00 分别换成两位数 ab 与 cd 时,恰好都得
2 2 到 完 全 平 方 数 : 2ab9 ? n , 2cd 9 ? m , (m ? n, m, n ? N ) , 则 数 组

?m ?

,n

a ?b

?

c? d



y 2 x2 ? ?1 2. 若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线 9 16 的顶点和焦点, 则椭圆
的方程为: . .
2 2 3. 实数 x, y 满足 2 x ? 3 y ? 6 y ,则 x ? y 的最大值是

4. 四面体 ABCD 中,CD ? BC, AB ? BC, CD ? AC, AB ? BC ? 1 平面 BCD 与 平面 ABC 成 45 的二面角,则点 B 到平面 ACD 的距离为 5. 从集合
0



M ? ?1, 2,3,

, 2009?

中, 去掉所有 3 的倍数以及 5 的倍数后, 则M

中剩下的元素个数为



6 . 函数 7.
cos

f ( x) ?

x ? x3 (1 ? x 2 ) 2 的值域是
2? 4? 7? ? cos ? cos ? 15 15 15



?
15

? cos



8 . 九 个 连 续 正 整 数 自 小 到 大 排 成 一 个 数 列 a1 , a2 ,

, a9

,若

a ?a ?a ?a a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 的值为一平方数, 2 4 6 8 的值为一立方数,则这九个
正整数之和的最小值是 二、解答题( 共 70 分) .

9 . (20 分)给定 Y 轴上的一点 A(0, a) ( a ? 1 ) ,对于曲线
动点 M ( x, y) ,试求 A, M 两点之间距离

y?

1 2 x ?1 2 上的

AM

的最小值(用 a 表示) .

10 . ( 25 分)如图, AB 、 CD 、 EF 是一个圆中三条互不相
交的弦,以其中每两条弦为一组对边,各得到一个凸四边形,设这 三个四边形的对角线的交点分别为 M , N , P ;证明: M , N , P 三点 共线.
11 . (25 分)n 项正整数列 x1 , x2 ,

A

E D

B F

C

, xn 的各项之和为 2009 ,如果这 n 个数既

可分为和相等的 41 个组,又可分为和相等的 49 个组,求 n 的最小值.

解 1. (100,100)


2

提示: 注意到,对于整数 k ,若 k 的末位数为 9 ,则 k 的末
2 0 2 5 ? 2 9 ? cd ,因 ) ,5 3

2 4 25 2 0 ? 位数必为 3 或 7 ,易知 44 ? 2000 ? 2ab9 , (5

此 44 ? n ? m ? 55 ,于是,若要 m, n 满足条件,只可能是, n ? 47, m ? 53 ,由于
472 ? 2209



532 ? 2809







a ? b2

0

,c ? d

8 ?0 n ,

?4 m 7 ,

,

5

? m ? n, ab ? cd ? ? ?100,100? .
x2 y 2 ? ?1 2. 16 25
提示:双曲线的两顶点为

? 0, ? 3? ,两焦点为 ? 0, ? 5? ,故由
5,

条件,椭圆的两焦点为

? 0, ? 3? , 两 顶 点 为 ? 0 , ? 5 ? , 因 此 , c ? 3 ,a ?

x2 y 2 ? ?1 b2 ? a 2 ? c2 ? 16 ,则椭圆的方程为 16 25 .
1? 1 10 2

3.

2 ? t ? y ? ? 3 y2 ? 6 y 提示:令 x ? y ? t ,则 x ? t ? y ,由 ,得
2

5 y 2 ? 2 ? 2t ? 3? y ? 2t 2 ? 0

? ? 4 ? 2 t ? 3? ? 4? 5? 2t 2 ? 0 ,因 y 为实数,则判别式 ,
2

2 ? 10 2 ? 10 ?t ? 2 得 2 . 3 3

4.

EA ,E 提示:DC ? AC ? 2 , 作 DE ? 平面 ABC , 垂足为 E , 连C



由三垂线逆定理, EC ? BC ,所以 ?DCE ? 45 ,故
0

CE ? DE ?

2 DC?1 2 ,

1 1 VABCD ? DE ? S ABC ? 3 6 ,又因 ABCE 为正方形, AE ? 1 ,则 AD ? 2 ,因此正三

3 3 1 1 h? h ? S ACD ? 3 6, 角形 ACD 的面积为 2 , 设 B 到平面 ACD 的距离为 h , 由3 得 ? 2009 ? ? 669 ? 3 ? ? 1072 .提示:集合 M 中, 3 的倍数有 ? 个, 5 的倍数有

5.

? 2009 ? ? 2009 ? ? 401 ? ? ? ? ? 133 ? 5 ? 个 , 1 5 的 倍 数 有 ? 15 ? 个,则剩下的元素个数为

2009 ? ? 669 ? 401 ? 133? ? 1072

个.

x 1 ? x2 1 1 f ( x) ? ? [? , ] 6. 1 ? x 2 1 ? x 2 ,令 x ? tan ? ,则 4 4 提示:
1 1 f ? sin 2? ? cos 2? ? sin 4? 2 4 , 1 1 ? ? ? f ? x ? ? tan , tan 4 ,当 8 8 时两边分别取得等号. 由此, 4 ? ? 1 2 .提示:

7.

? 7? ? ? 2? 4? ? ? 原式 ? ? cos ? cos ? cos ? ? ? cos ? 15 15 ? ? 15 15 ? ? 4? ? ? ? ? 2 cos cos ? 2 cos cos 15 5 15 5

? 2 cos

?? ?
5

4? ? ? ? cos ? ? cos 5? 15 15 ? sin

? ?4 cos
? ?2cos

?
6

sin

?
10
1 2.

?
5

sin

?
10

??

(注:由
sin 720 ? 2sin 360 cos360 ? 4sin180 cos180 cos360 ,



sin180 cos 360 ?

1 ? ? 1 cos sin ? 4 ,即 5 10 4 . )

8 . 18000 提示:设这九数为 a ? 4, a ? 3, a ? 2, a ?1, a, a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4 ,
a? m2 n2 ? 5 4 ,得


则有, 5a ? m , 4a ? n , S ? 9a ,则
2 3

4m2 ? 5n3



n ? 2n1 , m ? 5m1 ,得 100m12 ? 40n13 ,所以 5m12 ? 2n13 ,再取 m1 ? 2m2 ,n1 ? 5n2 ,

2 2 2 m ? 10, n2 ? 2 , a ? 2000 , 化为 2m2 ? 5 n2 , 取 2 可使左式成立, 这时 n ? 20, m ? 100 ,

S ? 9a ? 18000 . 9 . 如图,易求得曲线上诸点的坐标为:
E (? 2 , 0 F ),
2 , 1) ( 2D , 0 ), , 当(x0 ? 2, 即 ? 2 ? x ? 2 时,
Y

A

x2 y ? 1? 2 ??①; 曲线方程为 x2 y ? ?1 2 2 而当 x ? 2 时,曲线方程为

D E

M F X

o

??②,对于

AM 情形①,即 ? 2 ? x ? 2 时,显然当 M 位于顶点 D 处时,距离 取得最小值

a ? 1;
M ( x, x2 ? 1) 2 ,由于

对于情形②,即在 x ? ? 2 或 x ? 2 时,设点

AM ? x 2 ? (

2

x2 1 ? 1 ? a ) 2 ? ( x 2 ? 2a ) 2 ? 2a ? 1 2 4 ,

AM 因 a ? 1, 则 2a ? 2 , 2a ? 2 , 于是, 当 x ? 2a 时, 取得最小值 2a ? 1 ;
再比较 AD 与 AM :令
f (a) ? AD ? AM ? (a ? 1)2 ? (2a ? 1) ? a(a ? 4)
2 2

, ;而当 a ? 4 时,

则当 1 ? a ? 4 时, f (a) ? 0 ,

AD ? AM

,即最小值为

AD ? a ? 1

f (a) ? 0 ,则最小值 AM ? 2a ? 1 .

10 .
AF

如 图 , 设 AB, CD, EF 为 三 条 不 相 交 的 弦 , 其 中 AC

BD ? P ,
E

BE ? M , CE

DF ? N , 又 设 BD

CE? H, 点
A

N , P, M 截 ?BEH 的三边,据梅涅劳斯逆定理,只要证
M

D
H P N

HP BM EN ? ? ?1 PB ME NH

B

①,
F C

用记号 ? 表示三角形面积,则由

BM ?BAF BA ? BF ? ? ME ?EAF EA ? EF



HP ?HAC ?HAC ?EAC CH EA ? EC CH ? EA ? ? ? ? ? ? PB ?BAC ?EAC ?BAC CE BA ? BC BA ? BC



由此得
HP BM CH ? BF ? ? PB ME BC ? EF ,

因此只要证,
EN ? BF CH ?1 EF ? BC NH , EN DN ? 注意 EF DC , ?BFD ? ?BCD ,则



NH ?NBD ?FBD ? ?FBN ? ? CH ?CBD ?CBD

FB ? FD ? FB ? FN CB ? CD FB ? ND FB EN ? ? ? CB ? CD CB EF ?
EN ? BF CH ?1 所以 EF ? BC NH ,即④成立,从而①成立,故结论得证.

11 . 设分成的 41 个组为 A1 , A 2 ,
为 A 类组;而分成的 49 个组为 为 B 类组. 显然,每个项 共项,如果两个组

, A 41

,每组中的各数和皆为 49 ,称这种组

B1 , B2 ,

, B49 ,每组中的各数和皆为 41 ,称这种组

xk 恰好属于一个 A 类组和一个 B 类组,即同类组之间没有公
中有两个公共项

Ai , B j

xr , xt ,则可以将这两个数合并为一个项

xr ? xt ,这样可使 n 值减少,故不妨设,每对 A i , B j 至多有一个公共项.
今用点

u1 , u2 ,

A1 , A 2 , , u4 分 1 别 表 示

, A4 1 v, v , ,而点 1 2

, v4 9 表示组

B1 , B2 ,
如果组

, B4, 9
Ai , B j
有公共项,则在相应的点

ui , v j

之间连一条边,于是得二部图 G ,

它恰有 n 条边和 90 个顶点.下面证明 G 是连通图. 如果图 G 的最大连通分支为 G? , 其顶点数少于 90 , 设在分支 G? 中, 有a个 A 类顶点 类组

uk1 , uk2 ,

, uka
, Aka

和 b 个 B 类顶点

vs1 , vs2 ,
, Bs b

, vsb

,其中 a ? b ? 90 ,则在相应的 A
Aki

Ak1 , Ak2 ,

和 B 类组

Bs 1 , Bs 2 ,

中, A 类组
xj

中的每个数

xi 都要在某
Ar j
中出现,

个 B 类组

Bs j

中出现;而 B 类组

Bs i

中的每个数

也都要在某个 A 类组

(否则将有边与分支外的顶点连接, 发生矛盾) , 因此 a 个 A 类组 各数的和应等于 b 个 B 类组

Ak1 , Ak2 ,

, Aka



Bs 1 , Bs 2 ,

, Bs b

中各数的和,即有 49a ? 41b ,由此得

41 a



49 b

,所以 a ? b ? 41? 49 ? 90 ,矛盾!因此 G 是连通图.于是图 G 至少

有 90 ? 1 ? 89 条边,即 n ? 89 ;

另一方面,我们可实际构造一个具有 89 项的数列 件 . 例 如
8

x1 , x2 ,
4

, x89 ,满足本题条
xx ? 86 7 ? ,?x5 ? 7, 7 7 ?
9



x1 ?

? x44
8

1

1 ?

,x

?2

x8 ? 0

? x1

,? 3 x

?8 x 64 ,?

5

x88 ? 5, x89 ? 3 , x86 ? x87 ? 2 , 34 个取值为 8 的项; (该数列有 41 个取值为 41 的项;
另将其余七个 8 拆成七对,其中四对

?7,1? ,两对 ?6, 2? ,一对 ?5,3? ,又得到 14 个

项) ,于是,每个 A 类组可由一个 41 ,一个 8 ,或者由一个 41 ,添加一对和为 8 的 项组成;这样共得 41 个 A 类组,每组各数的和皆为 49 ;为了获得和为 41 的 49 个
B 类组,可使 x1 , x2 ,

, x41

各成一组,其余的数可以拼成八个 B 类组: 的组两个,

?8,8,8,8,8,1? 的组四个,?8,8,8,8,7, 2?

?8,8,8,8,6,3? 的组一个,?8,8,7,7,6,5? 的组一个.故 n 的最小值为 89 .


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