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福建省霞浦第一中学2015-2016学年高二下学期第二次月考数学(理)试题含答案


霞浦一中 2015-2016 学年下学期高二第二次月考 数学试题(理科)(Ⅰ卷)
说明:本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。学生答题时不可使用 计算器 .... 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为(

A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 )

2.某机械零件由 2 道工序组成,第一道工序的废品率为 a,第二道工序的废品率为 b,假 设这两道工序出废品是彼此无关的,那么产品的合格率为( A.ab-a-b+1 B.1-a-b C.1-ab D.1-2ab ) D. 2 x ? y ? 1 ? 0 )

3.与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 平行的抛物线 y ? x 2 的切线方程为( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 ) C. 2 x ? y ? 1 ? 0

4.下列命题中,真命题的个数为(

① 回归系数 r 满足: r 的值越大,x,y的线性相关程度越弱; r 的值越小,x,y的线性相关 程度越强; ②正态密度曲线中,σ越大,正态曲线越扁平;σ越小,正态曲线越尖陡; ③利用 ? 2 进行独立性检验,可以对推断的正确性的概率作出估计,样本容量越大,这个 估计越准确. ④从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么 他有99%的可能患上肺病。 A.1 B.2 C.3 D.4 )

5.已知 f ? x ? 的定义域为 R ,它的导数 f ? x ? 图像如图则( A. f ? x ? 在 x ? 1 处有极小值 C. f ? x ? 在 R 上为增函数 D. f ? x ? 在 ? ??, ?1? 为减函数 ?1, ?? ? 为增函数 B. f ? x ? 在 x ? 1 处有极大值

1

6.现有男、女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人分别参加数学、物理、化学 三科竞赛,共有 90 种不同方案,那么男、女生人数分别是( A.2、6 7.在 ( x ? 项共有( A.3 项 B. 3、5 C. 5、3 )

D.6、2

1
3

x

) n 的展开式中,只有第 13 项的二项式系数最大,那么 x 的指数是整数的

) B.4 项 C.5 项 D.6 项

8. 函数 f ( x) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( A. 0 ? f ?(2) ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) B. 0 ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) C. 0 ? f ?(3) ? f ?(2) ? f (3) ? f (2) D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) ? f ?(3)



O 1 2 3 4

9. 如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域, E 是 D 内函数 y ? x 2 图象下方的点 构成的区域.向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的概率为 ( A. )

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2


10.已知 X~N(-1,σ2) ,若 P(-3≤X≤-1)=0.4,则 P(-3≤X≤1)=( A、0.4 B、0.8 C、0.6 D、无法计算

11.一个质点位于坐标原点 O 处,此质点每秒钟只向左或向右移动一个单位,向左和向右 移动的机会均等,则 3 秒后此质点位于(1,0)处的概率为( A. )

1 8

B.
2

1 4

C.

3 8
2

D.

1 2

12.已知关于 x 的方程 x ? 2(a ? 3) x ? 9 ? b ? 0 ,其中 a,b 都可以从集合{1,2,3,4, 5,6}中任意选取,则已知方程两根异号的概率为( A. ) D.

1 6

B.

1 2

C.

1 12

1 3

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卷的横线上) 13.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题,如果不放回地依次抽 2 道题,在第一次抽到 理科题的条件下,第二次抽到理科题的概率为__________.

14.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表: 非统计专业 男 女 13 7 统计专业 10 20

为了检验主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,查对临界值
P(? 2 ? x0 )

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

x0

所以有

的把握认为主修统计专业与性别有关系.

15.有 6 名学生,其中有 3 名会唱歌,2 名会跳舞;1 名既会唱歌也会跳舞;现从中 选出 2 名会唱歌的,1 名会跳舞的去参加文艺演出,则共有选法 种。

16.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.8,他连续射击 4 次,有各次射击是否击中目标 相互之间没有影响。有下列结论: (1)第二次击中目标的概率是 0.8; (2)恰好击中目标三次的概率是 0.83×0.2; (3)至少击中目标一次的概率是 1-0.24; 其中正确的结论的序号是 (写出所有正确结论的序号)

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) 17. (本小题满分 10 分)某班组织知识竞赛,已知题目共有 10 道,随机抽取 3 道让某人回 答,规定至少要答对其中 2 道才能通过初试,他只能答对其中 6 道,试求: (1)抽到他能答对题目数的分布列; (2)他能通过初试的概率。

18. (本小题满分 12 分)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3 在 x ? 1 处取得极值,且在 (0, ?3)
2

点处的切线与直线 2 x ? y ? 0 平行. (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 g ( x) ? xf ( x) ? 4 x 的单调递增区间.

19.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究, 他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后 的发芽数,得到如下资料: 日 期 3月1日 10 23 3月2日 11 25 3月3日 13 30 3月4日 12 26 3月5日 8 16

温差 x (°C) 发芽数 y (颗)

(1)从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m, n ,求事件“m ,n 均不小于 25”的概率. (2)若选取的是 3 月 1 日与 3 月 5 日的两组数据,请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据,求出

? ?a ?; y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗, 则认为得 到的线性回归方程是可靠的,试问(Ⅱ)中所得的线性回归方程是否可靠?

? ?a ?? ? ,其中 b (参考公式:回归直线的方程是 y ? bx

? x y ? n? x ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

? ? y ? bx , ,a )

2

i

? nx

2

20. (本小题满分 12 分)NBA 总决赛采用 7 场 4 胜制,即若某队先取胜 4 场则比赛结束.由 于 NBA 有特殊的政策和规则能进入决赛的球队实力都较强,因此可以认为,两个队在每一 场比赛中取胜的概率相等.根据不完全统计,主办一场决赛,组织者有望通过出售电视转播 权、门票及零售商品、停车费、广告费等收入获取收益 2000 万美元. (1) 求所需比赛场数的分布列; (2) 组织者收益的数学期望.

21.(本小题满分 12 分) 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们的培训期间参加 的若干次预赛成中随机抽取 8 次,记录如下 甲:82,91,79,78,95,88,83,84 乙:92,95,80,75,83,80,90,85 (1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学角度,你认为派哪位学生参加合请说明理由; (3)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高 于 80 分的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x ( a ? R) . 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)求 f ( x ) 的单调区间; (3)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a
2

的取值范围.

数学第二次月考参考答案 一.选择题:(共 5×10=50 分) 1-5 BADBC 6-10 BCBCB 11-12CB

二、填空题: ((共 4×5=20 分) 13. 三、解答题:

1 2

14. 95%

15.15

16. ①③

17.解(1)设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为 X,且 X=0、1、2、3, X 服从超几何分 布, 分布列如下: X P 0
3 C4 3 C10

1
1 2 C6 C4 3 C10

2
1 C62 C 4 ] 3 C10

3
3 C6 3 C10

X P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6

(2) P( X ? 2) ? P ( X ? 2) ? P ( X ? 3) ?

1 1 2 ? ? 2 6 3

18 解: (1)由 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3 ,可得 f ' ( x) ? 2ax ? b .

? f ' (1) ? 0, ? 由题设可得 ? ' ? ? f (0) ? ?2.
所以 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 .

即?

? 2a ? b ? 0 , 解得 a ? 1 , b ? ?2 . ?b ? ?2.

(2)由题意得 g ( x) ? xf ( x) ? 4x ? x3 ? 2x2 ? x ,所以 g ' ( x) ? 3x2 ? 4x ? 1 ? (3x ?1)( x ?1) 令 g ' ( x) ? 0 ,得 x1 ?

x
g ' ( x)
g ( x)

1 , x2 ? 1 . 3 1 1 1 (??, ) ( ,1) 3 3 3

1

(1, ??)

?

0

?

0

?

所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 (??, ) , (1, ??) . 19 解(Ⅰ) m, n 的所有取值情况有:(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),

1 3

(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),即基本事件总数为 10. 设“m,n 均不小 25”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26) 所以 P ( A) ?

3 3 ,故事件 A 的概率为 . 10 10

1 (Ⅱ)由数据,求得 x ? 1 (11 ? 13 ? 12) ? 12 , y ? (25 ? 30 ? 26) ? 27 , 3x y ? 972 . 3 3

? X Y ? 11? 25 ? 13 ? 30 ? 12 ? 26 ? 977 , ? X
i ?1 i i
i ?1

3

3

2 i

? 112 ? 132 ? 122 ? 434 , 3x ? 432 .

2

由公式,求得 b ?

? x y ? n? x ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

?

2

i

? nx 2

977 ? 972 5 , a ? y ? bx ? 27 ? 5 ? 12 ? ?3 . ? 2 434 ? 432 2

所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? (Ⅲ)当 x=10 时, y ?

5 x ? 3. 2

5 ?10 ? 3 ? 22 ,|22-23|<2; 2

同样,当 x=8 时, y ?

5 ? 8 ? 3 ? 17 ,|17-16|<2. 2

所以,该研究所得到的线性回归方程是可靠的. . 20.解:所需比赛场数 ? 是随机变量,其取值为 4,5,6,7,{? ? k } ,k=4,5,6,7,表示比赛 最终获胜队在第 k 场获胜后结束比赛,显然在前面 k-1 场中获胜 3 场,从而

1 p(? ? k ) = C k3?1 ( ) k ?1 , k=4,5,6,7, 2
(1)分布列为

?
p

4

5

6

7

1 8

1 4

5 16

5 16

(2) 所需比赛场数的数学期望是 E (? ) ? 4 ? 益的数学期望为 21.解(1)

1 1 5 5 93 ? 5? ? 6? ? 7? ? ? 6, 组织者收 8 4 16 16 16

93 ? 2000=11625 万美元. 16
甲 乙

9 8 4 3 5

8 2 1

7 8 9

5 0 0 0 2 3 5 5

2 2 (2)方法一: x甲 = x乙 = 85 ,但 S甲 , 所以选派甲合适 ? S乙

方法二:假设含 90 分为高分,则甲的高分率为

2 3 ,乙的高分率为 ,所以派乙合适。 8 8 3 1 或:假设含 85 分为高分,则甲的高分率为 ,乙的高分率为 ,所以派乙合适。 8 2
6 3

(3)甲高于 80 分的频率为 8 ? 4 , ? 的可能取值为 0、1、2、3

3 k 3 k 1 3? k ? ? ~ B (3, ) ? P(? ? k ) ? C3 ( )( ) , (k ? 0,1, 2,3) 4 4 4

? ? 的分布列为

?

0

1

2

3

P

1 64
3 4

9 64
9 4

27 64

27 64

? E? ? 3 ? ?

22.解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? (Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? (Ⅱ) f ?( x) ?

2 ( x ? 0) . x
2 . 3

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . ②当 0 ? a ?

1 1 时, ? 2 , a 2

在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 的单调递 增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . ③当 a ? ④当 a ?

1 a

1 a

1 a

1 a

( x ? 2) 2 1 ? f ( x ) ? 时, , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . 2 2x
1 1 时, 0 ? ? 2 , 2 a 1 a

在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max . 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知, ①当 a ?

1 a

1 a

1 a

1 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1 ,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?

1 . 2

1 1 1 时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 a 1 ? 2 ln a . 2a

故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? 由a ?

1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e

所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1 .

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