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(甘志国)2014年卓越联盟自主招生数学试题

时间:2014-07-18


2014 年卓越联盟自主招生数学试题
一、选择题(每题 5 分,共 20 分)
2 1.不等式 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集为( ) 3

A. ? ?

? 1? 5 ? ? 1? 5 ? ? ? ?1, ? , ? 1 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 1? 5 ? ? 1? 5 ? , ?? ?

? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ?

B. ? ?

? 1? 5 1? 5 ? ? 1? 5 1? 5 ? , ? ? ??? ? 2 , 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 1? 5 ? ? 5 ?1 ? ,1? ??? ? ? 2 ? ? ? 2 ?

C. ? ??, ?

? ? ?

D. ? ?1,

2.在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC, AC ? BC, AC ? 2 ,二面角 P ? BC ? A 的 大小为 60 ? ,三棱锥 P ? ABC 的体积为 ( ) A.

4 6 ,则直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3

2 2

B.

3 2

C.

3 3

D.

6 3

3.当实数 m 变化时, 不在任何直线 2mx? (1 ? m2 ) y ? 4m ? 4 ? 0 上的所有点 ( x, y ) 形成 的图形的面积为( ) A.2 B.4 C. 2? D. 4?

? 2x ?1 1? ? x ? ? ? ?,? ? ? x2 2? ? ? 4.设 f ( x) ? ? 设 b 为实数, 若存在实数 a , g ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 , 1 ? ? ?ln(x ? 1) x ? ? ,?? ? ? ? ? 2 ? ?
使 f (a) ? g (b) ? 0 ,则 b 的取值范围是( ) A. [?1,5] B. (??, ?1] ? [5, ??) C. [?1, ??) D. (??,5]

二、填空题(每题 6 分,共 24 分) 5.已知 0 ? a ? 1 ,分别在区间 (0, a), (0,4 ? a) 内各取一个数,这两个数之和小于 1 的概 率为

3 ,则 a ? 16

.

6.已知 e1 , e2 为平面上夹角为 ? ? 0 ? ? ?

? ?

??

? 的两个单位向量, O 为平面上的一个固定 2?

点, P 为平面上的任意一点,当 OP ? xe1 ? ye2 时,定义 ( x, y ) 为点 P 的斜坐标.现有两个

点 A, B 的斜坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,则 A, B 两点的距离为 7.若函数 y ? sin? ?x ?

.

? ?

??

? ? 的图象的对称轴中与 y 轴距离最小者为直线 x ? ,则实数 6 4?

? 的值为

.

8. 已知集合 A, B 满足 A ? B ? {1,2,3,?,8}, A ? B ? ?.若 A 中元素的个数不是 A 中的 元素,B 中元素的个数不是 B 中的元素, 则满足条件的所有不同的集合 A 的个数为 二、解答题(共 56 分) 9.(13 分 ) 设 R , 函 ?? . 数

f ( x) ? 2 sin 2x cos? ? 2 cos2x sin ? ? 2 cos(2x ? ? ) ? cos? ( x ?R).
(1)若 ? ? ?

? ?? ?? ? ? , ? ,求 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值; ? 4? ?4 2?

(2)若 f ( x) ? 3 ,求 ? 与 x 的值.

10.(13分)已知双曲线 别为左支和右支上的动点.

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线斜率之积为 ? 3 , A, B 分 a 2 b2

(1)若直线 AB 的斜率为1,且经过点 D(0,5a), AD ? ? DB ,求实数 ? 的值;

(2)若点 A 关于 x 轴的对称点为点 M ,直线 AB, MB 分别与 x 轴交于点 P, Q ,点 O 为 坐标原点,求证: OP ? OQ ? a .
2

11.(15分)设 f ( x ) 在 R 上可导,且 ?x0 ? R,满足 0 ? f ?( x ? x0 ) ? f ?( x0 ) ? 4x( x ? 0) .

(1)证明 f ?( x0 ) ?

f ( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ( x ? 0) ; x

(2)若 f ( x) ? 1 ,证明 f ?( x) ? 4 .

12.(15 分 ) 已知实数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? q an (q ? 1) ,对于任意的 n ? N ? ,有

?a
k ?1

n ?1

k

? 4 an .设 C 为所有满足上述条件的数列 ?an ?的集合.

(1)求 q 的值; (2)设 ?an ?, ?bn ?? C, m ? N ? ,且存在 n0 ? m 满足 an0 ? bn0 ,证明
m m

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

k



(3)是集合 Am ? ?

?

? a ?a ?? C ?, m ?N ? ? ?
m k ?1 k n

?

,求 Am 中的所有正数之和.

参考答案
1.A.可这样求解:

( x ? 1)( x ? x ? 1) ? 0

2

? 1 ? 5 ?? 5 ?1 ? ?? ? ( x ? 1)? ? x ? 2 ?? x ? 2 ? ? 0 ? ?? ?
? 1? 5 ? ??0 ( x ? 1)? x ? ? ? 2 ? ?

1? x ?

1? 5 2

由此可得答案. 2.C.如图 1, 把三棱锥 P ? ABC 中放置在长方体中, 二面角 P ? BC ? A 的大小为 60 ? 即

?PCA ? 60 ? .再由 AC ? 2 ,得 PC ? 4, PA ? 2 3 .又由三棱锥 P ? ABC 的体积为
可得 BC ? 2 2 ,所以 PB ? 2 6 .由勾股定理的逆定理,可得 ?PCB ? 90 ? .

4 6 , 3

图1 得直线 PB 与平面 PAC 所成的角即 ?CPB ,所以其正弦值为

BC 2 2 3 . ? ? PB 2 6 3

3.D. 题意即关于 m 的一元二次方程 ym2 ? 2( x ? 2)m ? 4 ? y ? 0 无解 ( 因为当 y ? 0 时 不满足题意),所以其判别式小于 0,即 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,由此可得答案. 4.A.可得函数 f ( x ) 的值域是 [?1,??) , 所以 ? f (a ) 即 g (b) 的取值范围是 (??,1] , 得b 的取值范围是 [?1,5] .

1 (1 ? 1 ? a)a 4 3 4 5. .设 x ? (0, a), y ? (0,4 ? a) ,作图后由几何概率,得 2 ? ,a ? . a(4 ? a) 16 5 5
2 2 6. ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 2( x1 ? x2 )( y1 ? y2 ) cos ? .得 e1 ? e2 ? cos? ,且

BA ? OA ? OB ? ( x1 e1 ? y1 e2 ) ? ( x2 e1 ? y2 e2 ) ? ( x1 ? x2 )e1 ? ( y1 ? y2 )e2
BA ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )( y1 ? y2 ) cos?
BA ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 2( x1 ? x2 )( y1 ? y2 ) cos?
注 7. ? 题中的条件“ 0 ? ? ?
2

?
2

”可放宽为“ 0 ? ? ? ? ”.

3 4k ? 1 ? (k ? Z) , 所 以 .先得 ? ?0 ,再得所有的对称轴为直线 x? 2 4?

4k ? 1 ? 4?

?
min

4k ? 1 min 4?

??

3 ? ? ? (k ?Z),得 ? ? ? . 2 4? 6

8.44.得 A ? B, B ? A .下面用分类讨论来解答:

若 A ? 0, B ? 8,8 ? A ,矛盾! 若 A ? 1, B ? 7,7 ? A,1? B ,共 1 种: A ? {7}, B ? ? . 若 A ? 2, B ? 6,6 ? A,2 ? B ,共 C1 6 ? 6 种: A 中有 6,另一个是 1,3,4,5,7,8 中的任一 个.
2 若 A ? 3, B ? 5,5 ? A,3 ? B ,共 C6 ? 15种.

若 A ? 4, B ? 4,4 ? A,4 ? B ,矛盾!
2 若 A ? 5, B ? 3,3 ? A,5 ? B ,共 C6 ? 15种.

若 A ? 6, B ? 2,2 ? A,6 ? B ,共 C1 6 ? 6 种. 若 A ? 7, B ? 1,1? A,7 ? B ,共 1 种: B ? {7}, A ? ? . 若 A ? 8, B ? 0,8 ? B ,矛盾! 总共 2(1 ? 6 ? 15) ? 44 种. 9. f ( x) ?

?? ? 2 sin(2 x ? ? ) ? 2 cos(2 x ? ? ) ? cos? ? 2 sin? 2 x ? ? ? ? ? cos? . 4? ?
? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? , 得 2 x ? ? ? ? ?? ? , ? ? ? . 由 ? ? ? , ? , 得 ? 4 ? 4 4? ? 4? ?4 2?

(1) 由 x ? ?0,

?

2 ? ?? ? . ? ?? ? , ? ? ? .所以所求最大值是 2 ? 2 2 ? 4 4?
(2)可得 ? ? 2k? ? ? , x ? l? ?

3? (k , l ? Z). 8

10.可得 ?

b2 x2 y2 ? ? 3 , b ? 3 a ? ? 1(a ? 0) . ,所以双曲线方程为 a2 a 2 3a 2

(1)直线 AB 的方程为 y ? x ? 5a ,与双曲线的方程联立得 A(?2a,3a), B(7a,12a) ,所 以 AD ? ? DB 即 (2a,2a ) ? ? (7 a,7 a ), ? ?

2 . 7

(2)可得 xP ? ?

x A y B ? xB y A x y ? xB y A , xQ ? A B ,所以 y A ? yB y A ? yB

OP ? OQ ? a 2 xP ?

x A y B ? xB y A x A y B ? xB y A x y ? xB y A ? ? A B2 2 y A ? yB y A ? yB y A ? yB
2

2

2

2

2

再由 x A

2

y y 2 ? a ? A , xB ? a 2 ? B ,可得欲证. 3 3
2

2

11.(1)由拉格朗日中值定理得, ?? ? ( x0 , x0 ? x) ,使得

f ( x0 ? x) ? f ( x0 ) ? f ?(? ) . ( x0 ? x) ? x0

由题设得 f ?( x ) 单调递增,所以 f ?( x0 ) ? f ?(? ) ,得欲证成立.

另证

可 证 函 数 g ( x) ? f ( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) x( x ? 0) 是 增 函 数 , 得

g ( x) ? g (0) ? 0( x ? 0) ,即欲证成立.

(2)若存在 ? ? R 使得 f ?( ? ) ? 4 ,则 f ?( x) ? 4( x ? ? ) (因为 f ?( x ) 是增函数).

所以 ?? ? ( ? , x), x ? ( ? ,??) ,使得 f ( x) ? f (? ) ? f ?(? )(x ? ? ) ? 4( x ? ?) .

取 x ? ? ? 1,得 f (? ?1) ? f (?) ? 4 .

但由 f ( x) ? 1 ,得 f (? ?1) ? f (?) ? 2 .矛盾!

若存在 ? ? R 使得 f ?(? ) ? ?4 ,同理也可得矛盾!

所以欲证成立.
n ?1 k ?1

12.(1)

? ak ? 4 an 即
2

1 1 ? q n?1 ? 4q n?1 ,得 n ?1 ? (q ? 2) 2 (n ? N ? )恒成立,两边取极 q 1? q

限,得 0 ? (q ? 2) , q ? 2 .

(2)由 q ? 2 ,得 an ? 2

n?1

, bn ? 2n?1 .

可设 l 是在 1,2,3,? , m 中满足 an ? bn 的最大下标,即

al ? bl , al ?1 ? bl ?1 , al ?2 ? bl ?2 ,?, am ? bm
m m l l

所以

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

k

?

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

k

得 l ? 1 时成立.当 l ? 2 时,得
m m l ?1 l ?1

? ak ? ? bk ? (al ? bl ) ? ? (ak ? bk ) ? al ? bl ? ? (ak ? bk )
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

? 2 ? ? (ak ? bk ) ? 2 ? ? 2k ? 2
l l k ?1 k ?1

l ?1

l ?1

所以欲证成立. 另证 由 q ? 2 ,得 an ? 2
n?1

, bn ? 2n?1 .

可设 l 是在 1,2,3,? , m 中满足 an ? bn 的最小下标. 当 l ? 1 时,得

? ak ? ? bk ? (a2 ? b2 ) ? (a1 ? b1 ) ? ?2 ? 2 ? 2
k ?1 k ?1

m

m

0(mod 4) (其中正负号任意选取)

得欲证成立. 当 l ? 2 时,得

a1 ? b1, a2 ? b2 ,?, al ?1 ? bl ?1, al ? bl

? ak ? ? bk ? (al ?1 ? bl ?1 ) ? (al ? bl ) ? ?2l ? 2l ? 2l
k ?1 k ?1

m

m

0(mod 2l ?1 ) (其中正负号任意选取)

也得欲证成立.

(3)显然

?a
k ?1

m

k

? 0 ? am ? 0 ,此时数列 ?an ?的前 m 项为

? 1,?2,?4,?,?2m?2 ,2m?1 (其中正负号任意选取)
m ?1

这样的数列共 2

个.若 a i 与 ai?(i ? 1,2,?, m ?1) 符号相反,则把它们配对,所以每一 ,由此可得 Am 中的所有正数之和为 2
m ?1

个数列剩下的项只有 2

m ?1

? 2 m ?1 ? 4 m ?1 .