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北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学理科试题Word版含答案


北京市通州区高三年级摸底考试

数学(理)试卷
2013 年 1 月 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,第 I 卷第 1 至第 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页,共 150 分.考试时间 长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交 回.2013

第Ⅰ卷

/>
(选择题 共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? x x ? 4 , B ? ?0,1, 2? ,则 A ? B ?
2

?

?

(A) ? 2.在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限

(B) ?0?

(C) ?0,1?

(D) ?0,1, 2?

2i 对应的点位于 1? i
(B)第二象限 (D)第四象限
2 2

3.已知圆的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 0 .在以原点为极点, x 轴非负半轴为极轴 的极坐标系中,该圆的方程为 (A) ? ? 2cos ? (C) ? ? ?2cos ? 4.设函数 f ? x ? ? ? (A) 2 (C) ?2 (B) ? ? 2sin ? (D) ? ? ?2sin ? 则 f ? f ? ?1? ? ? ? ? (B) 1 (D) ?1

?2 x , x ≤ 0 , ?log 2 x, x ? 0,

5.一个几何体的三视图如图所示,该几何 体的表面积是 (A) 16 ? 4 2
2 2

(B) 12 ? 4 2 (C) 8 ? 4 2

正(主)视图

侧(左)视图

2

(D) 4 ? 4 2 俯视图 6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A) 251 ? 2 (B) 250 ? 2 (C) 251 ? 1 (D) 250 ? 1 开始 k=1,S=0 S=S+2k k=k+1 k≥50 是 输出 S 结束 7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,则“ a ? 2b cos C ”是“ ?ABC 是等 腰三角形”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
2



8.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是 (A)

3 5 5

(B) 2

(C)

11 5

(D) 3

第Ⅱ卷 (非选择题 共 110 分)
二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.如图,已知 AD ? 5 , DB ? 8 , AO ? 3 10 , 则圆 O 的半径 OC 的长为 .
E A D O C

B

? 2 x ? y ≤ 4, ? x ? 2 y ≤ 4, ? 10.已知 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? y 的最大值为 x≥0, ? ?y≥0 , ?
11.若 x ? 1 ? 0 ,则 x ?



1 的最小值为 x ?1



12.在边长为 1 的等边 ?ABC 中, D 为 BC 边上一动点,则 AB ? AD 的取值范围是 13.奇函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?2, 2? ,若 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上单调递减,且

??? ???? ?



f ?1 ? m ? ? f ? m ? ? 0 ,则实数 m 的取值范围是
14.对任意两个实数 x1 , x2 ,定义 max ? x1 , x2 ? ? ?



g ? x ? ? ? x ,则 max ? f ? x ? , g ? x ? ? 的最小值为

? x1 , x1 ? x2 , 2 若 f ? x? ? x ? 2 , ? x2 , x1 ? x2 .


三、解答题(共 6 小题,共 80 分)解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x cos x ? cos2 x ? (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 ?

1 . 2

? π π? ? 8 , 2 ? 的最大值和最小值. ? ?

16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,

C1 A1 M

B1

AC=BC=2



AB ? 2 2 ,CC1=4,M 是棱 CC1 上一点.
(Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若 N 是 AB 上一点,且 CN //平面 AB1M;

AN CM ? ,求证: AB CC1

C N A

B

5 (Ⅲ)若 CM ? ,求二面角 A-MB1-C 的大小. 2

17. (本小题满分 13 分) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装 隔一小时抽一包产品,称其重量(单位:克)是否合格, 查数据,获得重量数据茎叶图(如右). (Ⅰ)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的 差,并说明哪个车间的产品的重量相对稳定; (Ⅱ)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取两 之差不超过 2 克的概率. 甲 乙 传送带上每 分别记录抽

2 12 4 4311 11 025 7 10 89

均 值与 方

件样品重量

18.(本小题满分 14 分) 已知椭圆的中心在原点 O ,短半轴的端点到其右焦点 F ? 2, 0 ? 的距离为 10 ,过焦点 F 作直线 l ,交 椭圆于 A, B 两点. (Ⅰ)求这个椭圆的标准方程; (Ⅱ)若椭圆上有一点 C ,使四边形 AOBC 恰好为平行四边形,求直线 l 的斜率.

19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? a
3 2 2

? a, b ? R ? .

(Ⅰ)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处有极值为 10,求 b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 a ? ? ?4, ?? ? , f ? x ? 在 x ? ? 0, 2? 上单调递增,求 b 的最小值.

20.(本小题满分 13 分) 现有一组互不相同且从小到大排列的数据 a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 a0 ? 0 . 记 T ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , xn ?

n 1 , yn ? ? a0 ? a1 ? ? ? an ? ? n ? 0,1, 2,3, 4,5? ,作函数 5 T

y ? f ? x ? ,使其图象为逐点依次连接点 Pn ? xn , yn ?? n ? 0,1, 2,3, 4,5? 的折线.
(Ⅰ)求 f ? 0 ? 和 f ?1? 的值; (Ⅱ)设直线 Pn ?1Pn 的斜率为 kn ? n ? 1, 2,3, 4,5? ,判断 k1 , k2 , k3 , k4 , k5 的大小关系; (Ⅲ)证明:当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? x .

通州区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷答案

高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 B 6 B 7 A 8 B 共 40 分)

2013.1

二、填空题

9.

5

10.

8 3

11.

1

?1 ? ? 2 ,1? ? 12. ?

? 1 ? ? ? ,1? 13. ? 2 ?

14. ?1

三、解答题 15.解: (Ⅰ)由已知,得

1 1 f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? 2 ?? ? sin ? 2 x ? ? , 2 4? ?

????????2 分

????????4 分

所以 即 (Ⅱ)因为

T?

2? ?? , 2
????????6 分

f ? x ? 的最小正周期为 ? ;

?

?
8

?x?

?
2
?

,所以

0 ? 2x ?

?
4

?

5? . 4

?????? 7 分

于是,当 2 x ? 当 2x ?

?
4

?
2

时,即 x ?

?
8

时, f ? x ? 取得最大值

2 ;?? 10 分 2

?
4

?

5? ? 1 时,即 x ? 时, f ? x ? 取得最小值 ? .?????13 分 4 2 2

16.证明: (Ⅰ)因为 三棱柱 ABC-A1B1C1 中 CC1⊥平面 ABC, 所以 CC1⊥BC. ????????1 分

因为 AC=BC=2, AB ? 2 2 , 所以 由勾股定理的逆定理知 BC⊥AC. 又因为 AC∩CC1=C, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. ????????3 分 ????????2 分

因为 AM ? 平面 ACC1A1, 所以 BC⊥AM. (Ⅱ)过 N 作 NP∥BB1 交 AB1 于 P,连结 MP ,则 NP∥CC1,且 ?ANP ∽ ?ABB1 . ?????5 分 于是有 ????????4 分
C1 A1 P B1

M

NP BB1

?

AN AB


C B N A

AN CM NP CM 由已知 ,有 . ? ? AB CC1 BB1 CC1
因为 BB1=CC1. 所以 NP=CM. 所以 四边形 MCNP 是平行四边形. 所以 CN//MP. 因为 CN ? 平面 AB1M,MP ? 平面 AB1M, 所以 CN //平面 AB1 M. (Ⅲ)因为 BC⊥AC,且 CC1⊥平面 ABC, 所以 以 C 为原点,CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,
M

????????6 分 ????????7 分 ????????8 分 ????????9 分
z C1 A1 B1

z 轴建立空

间直角坐标系 C-xyz.???????10 分 因为

CM ? 5

5 2

,所以 C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),

y C N A x B

M (0, 0, ) , AM ? (?2, 0, ) , 2 2 ???? ? 3 B1M ? (0, ?2, ? ) . 2

????

5

????????11 分

设平面 AMB1 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AM ? 0 , n ? B1M ? 0 .

???? ?

?????

5 ? ?(?2, 0, 2 ) ? ( x, y, z )=0, ? 即? ?(0, ?2, ? 3 ) ? ( x, y, z )=0. ? ? 2
令 x ? 5 ,则 y ? ?3, z ? 4 ,即 n ? (5, ?3,4) . 又平面 MB1C 的一个法向量是 CA=(2, 0, 0) , ????????12 分

??? ?

所以

??? ? ??? ? n ? CA 2 ? c o s n CA > = ??? ? ? , . | n | CA | 2 |

????????13 分

由图可知二面角 A-MB1-C 为锐角,

所以 二面角 A-MB1-C 的大小为

? . 4

????????14 分

17.解: (Ⅰ)设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 X 甲 、 X 乙 ,方差分别为 s甲 、s乙 ,

2

2



122 ? 114 ? 113 ? 111 ? 111 ? 107 ? 113 , ????????1 分 6 124 ? 110 ? 112 ? 115 ? 108 ? 109 ????????2 分 X乙 ? ? 113 , 6 1 2 2 2 2 s甲 ? ??122 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?113 ? 113? ? 6 X甲 ?
2 2 2 ? ?111 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?107 ? 113? ? ?

? 21,
1 2 2 2 2 s乙 ? ??124 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113? ? 6

????????4 分

? ?1 1 5 1 1 ?? ? ? 3
2

1 0 8 ??
2

?

1 1 3 ? ?1 0 9 ? ? ?
2

1 1 3

? 29.33 ,
2 2

????????6 分

由于 s甲 ? s乙 ,所以 甲车间的产品的重量相对稳定;????????7 分 (Ⅱ)从乙车间6件样品中随机抽取两件,结果共有 15 个:

?124,110 ? , ?124,112 ? , ?124,115? , ?124,108? , ?124,109 ? , ?110,112 ? , ?110,115? , ?110,108? , ?110,109 ? , ?112,115 ? , ?112,108? , ?112,109 ? , ?115,108? , ?115,109 ? , ?108,109 ?
?110,112 ? , ?110,108? , ?110,109 ? , ?108,109 ? .
所以 .??????9 分

设所抽取两件样品重量之差不超过2克的事件为 A,则事件 A 共有 4 个结果: ??????11 分 ??????13 分

P ? A? ?

4 . 15

18.解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆方程为 则 a ? 10 , c ? 2 . 所以

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,???????? 1 分 a 2 b2
????????????????2 分

b ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6 , ?????????????3 分

所以 椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ????????????????4 分 10 6

(Ⅱ)若直线 l ? x 轴,则平行四边形 AOBC 中,点 C 与点 O 关于直线 l 对称,此时点 C 坐标为

? 2c,0 ?
直.

. 因 为 2c ? a

,所以点 C 在椭圆外,所以直线 l 与 x 轴不垂 ????????????????6 分

于是,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ,点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , ?7 分

? x2 y2 ? ? 1, ? 2 2 2 2 则 ? 10 6 整理得, ? 3 ? 5k ? x ? 20k x ? 20k ? 30 ? 0 ? 8 分 ? y ? k ? x ? 2? , ?

20k 2 , x1 ? x2 ? 3 ? 5k 2
所以

???????????????? 9 分

12k . ??????????????? 10 分 3 ? 5k 2 因为 四边形 AOBC 为平行四边形, ??? ??? ??? ? ? ? 所以 OA ? OB ? OC , ??????????????? 11 分 y1 ? y2 ? ?
所以 点 C 的坐标为 ?
2

? 20k 2 12k ? ,? ? , ???????????12 分 2 3 ? 5k 2 ? ? 3 ? 5k

所以
2

? 20k 2 ? ? 12k ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 3 ? 5 k ? ? ? 3 ? 5k ? ? 1 , 10 6

???????????13 分

解得 k ? 1 , 所以 k ? ?1 . 19.解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ,
2

????????????14 分

???????????? 1 分

于是,根据题设有

? f ? ?1? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ? 2 ? f ?1? ? 1 ? a ? b ? a ? 10
解得 ?

?a ? 4 ? a ? ?3 或 ? ?b ? ?11 ?b ? 3

????????3 分

当?

?a ? 4 2 时, f ? ? x ? ? 3x ? 8 x ? 11 , ? ? 64 ? 132 ? 0 ,所以函数有极值 ?b ? ?11
????????????????????????4 分

点; 当?

? a ? ?3 2 时, f ? ? x ? ? 3 ? x ? 1? ? 0 ,所以函数无极值点.?????5 分 ?b ? 3

所以

b ? ?11 .????????????????????????6 分

(Ⅱ)法一: f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ? ?4, ? ? , x ? ? 0, 2? 都成立,???7 分
2

所以 F ? a ? ? 2 xa ? 3x ? b ? 0 对任意 a ? ? ?4, ? ? , x ? ? 0, 2? 都成立?8 分
2

因为 x ? 0 , 所以 F ? a ? 在 a ? ? ?4, ? ? 上为单调递增函数或为常数函数,
2

???9 分

所以 F ? a ?min ? F ? ?4 ? ? ?8 x ? 3x ? b ? 0 对任意 x ? ? 0, 2? 都成立 ?10 分 即 b ? ?3 x ? 8 x
2

?

?

max

.
2

????????????????11 分

又 ?3 x ? 8 x ? ?3 ? x ?
2

? ?

4 ? 16 16 ? ? ? , 3? 3 3

所以 当 x ? 所以 所以
2

4 16 2 时, ? ?3x ? 8 x ? ? ,????????????12 分 max 3 3

b?

16 , 3

b 的最小值为

16 . 3

????????????13 分

法二: f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ? ?4, ? ? , x ? ? 0, 2? 都成立, ?????7 分 即 b ? ?3x ? 2ax 对任意 a ? ? ?4, ? ? , x ? ? 0, 2? 都成立,
2

即 b ? ?3 x ? 2ax
2

?

?

max



????????????????8 分
2

a ? a2 ? 令 F ? x ? ? ?3x ? 2ax ? ?3 ? x ? ? ? ,????????????9 分 3? 3 ?
2

当 a ? 0 时, F ? x ?max ? F ? 0 ? ? 0 ,于是 b ? 0 ;??????????10 分 当 ?4 ? a ? 0 时, F ? x ?max ? F ? ?
2 a2 ? a? a ? ,于是, b ? .???11 分 ? 3 ? 3? 3

又 ?

? a2 ? 16 16 ,所以 b ? . ? ? 3 ? 3 ? max 3

????????????12 分

综上, b 的最小值为 20. (Ⅰ)解: f ? 0 ? ?

16 . 3

????????????13 分

a0 ?0, a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5

????????????2 分

f ?1? ?

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 1; a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5

????????????4 分

(Ⅱ)解: kn ?

yn ? yn ?1 5 ? an , n ? 1,2,3,4,5 . ????????????6 分 xn ? xn ?1 T
a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? k5 .
????????????8 分

因为 所以

(Ⅲ)证:由于 f ? x ? 的图象是连接各点 Pn ? xn , yn ?? n ? 0,1, 2,3, 4,5? 的折线,要证明

f ? x ? ? x ? 0 ? x ? 1? ,只需证明 f ? xn ? ? xn ? n ? 1, 2,3, 4 ? .
事实上,当 x ? ? xn ?1 , xn ? 时,

????9 分

f ? x? ?

f ? xn ? ? f ? xn ?1 ? ? ? x ? xn ?1 ? ? f ? xn ?1 ? xn ? xn ?1

?

xn ? x x ? xn ?1 f ? xn ?1 ? ? f ? xn ? xn ? xn ?1 xn ? xn ?1 xn ? x x ? xn ?1 xn ?1 ? xn xn ? xn ?1 xn ? xn ?1

?

?x.
下面证明 f ? xn ? ? xn . 法一:对任何 n ? n ? 1, 2,3, 4 ? ,

5 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ? n ? ? 5 ? n ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ??????10 分 ? ?

? n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ? 5 ? n ?? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ? 5 ? n ? nan ??????????????11 分
? n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? 5 ? n ? an ? ? ?

? n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1 ? ? ? a5 ? ? nT ??????????12 分
所以

f ? xn ? ?

a1 ? a2 ? ? ? an n ? ? xn .??????????13 分 T 5

法二:对任何 n ? n ? 1, 2,3, 4 ? , 当 kn ? 1 时,

yn ? ? y1 ? y0 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? ? ? yn ? yn ?1 ?

?

1 n ? k1 ? k2 ? ? ? kn ? ? ? xn ;???????????????10 分 5 5

当 kn ? 1 时,

yn ? y5 ? ? y5 ? yn ?
? 1 ? ?? yn ?1 ? yn ? ? ? yn ? 2 ? yn ?1 ? ? ? ? ? y5 ? y4 ? ? ? ?

1 ? kn?1 ? kn?2 ? ? ? k5 ? 5 1 n ? 1 ? ? 5 ? n ? ? ? xn . 5 5 ? 1?
综上, f ? xn ? ? xn . ???????????????13 分


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