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高中数学 1.1.1 《正弦定理》导学案 新人教A版必修5

时间:2014-01-24


1.1.1

《正弦定理》导学案

【学习目标】 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. 【重点难点】 1.重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用. 2.难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 【知识链接】 试验:固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动. 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系?

显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而 示出来?

.能否用一个等式把这种关系精确地表

【学习过程】 ※ 学 习 探究 探究 1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角 三角形中,角与边的等式关系. 如图,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b, AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数 的定义, a b c 有 ? sin A , ? sin B ,又 sin C ? 1 ? , c c c a b c 从而在直角三角形 ABC 中, . ? ? sin A sin B sin C ( 探究 2:那么对于任意的三角 形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义, a b 有 CD= a sin B ? b sin A ,则 , ? sin A sin B c b 同理可得 , ? sin C sin B a b c 从而 . ? ? sin A sin B sin C 类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导.

新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即

a b c . ? ? sin A sin B sin C
1

试试: (1)在 ?ABC 中,一定成立的等式是( ) . a sin A ? b sin B a cos A ? b cos B A. B. C. a sin B ? b sin A D. a cos B ? b cos A (2)已知△ABC 中,a=4,b=8,∠A= 30°,则∠B 等于



[理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使 a ? k sin A , , c ? k sin C ; a b c c b a c (2) 等价于 , , . ? ? ? ? sin A sin B sin C sin C sin B sin A sin C (3)正弦定理的基本作用为: b sin A ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ? ;b ? . sin B ②已知三角形的任意两边与 其中一边的对角可以求其他角的正弦值, a 如 sin A ? sin B ; sin C ? . b (4)一般地,已知三角形的某些边和 角,求其它的边和角的过程叫作解三角形. ※ 典型例题 例 1. 在 ?ABC 中,已知 A ? 45? , B ? 60? , a ? 42 cm,解三角形.

变式:在 ?ABC 中,已知 B ? 45? , C ? 60? , a ? 12 cm,解三角形.

例 2. 在 ?ABC中,c ? 6, A ? 45? , a ? 2, 求b和B, C .

变式:在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60? , c ? 1, 求a 和A, C .

2

【学习反思】 ※ 学习小结

a b c ? ? sin A sin B sin C 2. 正弦定理的证明方法:①三角函数的定义, 还有 ②等积法,③外接圆法,④向量法. 3.应用正弦定理解三角形: ①已知两角和一边; ②已知两边和其中一边的对角.
1. 正弦定 理: ※ 知识拓展 a b c ? ? ? 2R ,其中 2R 为外接圆直径. sin A sin B sin C 【基础达标】 ※ 自我评价 你完成本 节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分: 10 分)计分: cos A b 1. 在 ?ABC 中,若 ). ? ,则 ?ABC 是( cos B a A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 2. 已知△ABC 中,A∶B∶C=1∶1∶4, 则 a∶b∶c 等于( ). A.1∶1∶4 B.1∶1∶2 C.1∶1∶ 3 ). D. 2∶2∶
3 3. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为( A. A ? B B. A ? B C. A ≥ B D. A 、 B 的大小关系 不能确定 4. 已知 ? ABC 中, sin A : sin B : sin C ?1: 2 : 3 ,则 a : b : c =



5. 已知 ? ABC 中, ? A ? 60? , a ? 3 ,则 a?b?c = . sin A ? sin B ? sin C

【拓展提升】 1. 已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B= 120? ,解此三角形.

3

2. 已知△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k (k≠0),求实数 k 的取值范围为.

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