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江苏省泰州市姜堰区2015届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案


2014~2015 学年度第一学期期中考试

高三数学试题
(考试时间:120 分钟
命题人:王鸿、王光华

总分 160 分)

审题人:孟太、朱善宏

注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70

分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 A ? {?1,0,1}, B ? {01 ,, 2} ,则 A ? B ? 2.已知角 ? 的终边经过点 P (?4,3) ,则 sin ? 的值是 ▲ ▲ . . ▲ . ▲ . .

3. 若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? 4.曲线 y ? 2 x ? ln x 在点(1,2)处的切线方程是 5. 将函数 f ( x) ? 2sin 2x 的图象上每一点向右平移 ▲

? 个单位, 得函数 y ? g ( x ) 的图象, 则 g ( x) = 6
2 2

6.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 5 相交于两点 A,B , 则线段 AB 的 长度为 ▲ . ▲ .

7. 不等式 log2 (4 ? x2 ) ? log2 (3x) 的解集为 8. 已知 sin(? ? 45 ?) ? ? 9. 在 ?ABC 中,“ A >

2 ,且 0? ? ? ? 90? ,则 cos 2? 的值为 10






? 1 ”是“ sin A> ”的 6 2

条件. (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分

必要”、“既不充分也不必要”之一) 10.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 3, E 为 DC 的中点,
A F E D

uuu r uuu r AE 与 BD 交于点 F ,则 FD ? DE ?





?y ? x ? 2 2 11.设 m ? 1,已知在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? y ?x ? y ? 1 ?
的最大值为

B

C

2 ,则实数 m 的值为 ▲ . (第 10 题图) 3 1 2 2 12.已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? ? ,其前四项恰是方程 ( x ? mx? 2)(x ? nx ? 2) ? 0 的四个根,则 2 ▲ . m? n ?

1

13.已知圆 C:( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,点 P 在直线 l: y ? x ? 2 上,若圆 C 上存在两点 A、B 使得 PA ? 3PB , 则点 P 的横坐标的取值范围是 ▲ .

14. 已知两条平行直线 l1 : y ? m和 l2 : y ?

3 (这里 m ? 0 ) ,且直线 l1 与函数 y ? log2 x 的图像从 m ?1

左至右相交于点 A、B ,直线 l2 与函数 y ? log8 x 的图像从左至右相交于 C、D.若记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a 、b ,则当 m 变化时,

b 的最小值为 a





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或 ....... 演算步骤. 15.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin 2 B ? sin Asin C . (Ⅰ )求 ac ? b2 的值; (Ⅱ )若 b ? 2 ,且 BA ? BC ? 3 ,求 BC ? BA 的值. 2

1 1 16.设 a ? R ,函数 f ( x) ? x3 ? (2a ? 1) x2 ? (a2 ? a) x . 3 2 f ?( x) (Ⅰ )已知 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,且 g ( x) ? ( x ? 0) 为奇函数,求 a 的值; x
(Ⅱ )若函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得极小值,求函数 f ( x) 的单调递增区间。

17.某小区想利用一矩形空地 ABCD 建造市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一个水塘(如图中 阴影部分) , 水塘可近似看作一个等腰直角三角形, 其中 AD ? 60m ,AB ? 40m , 且 ?EFG 中,?EGF ? 90 , 经测量得到 AE ? 10m, EF ? 20m .为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时 经过点 G 作一条直线交 AB、DF 于 M、N ,从而得到五边形 MBCDN 的市民健身广场. (Ⅰ )假设 DN ? x(m) ,试将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 A
x 的函数,并注明函数的定义域;

E G

F

N

D

(Ⅱ )问:应如何设计,可使市民健身广场的面积最大?并求 出健身广场的最大面积.

M

B 第 17 题

C

2

18. 已知圆 M : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 4 ,点 P 是直线 l : x ? 2 y ? 0 上的一动点,过点 P 作圆 M 的切线 PA 、
2

PB ,切点为 A 、 B .
(Ⅰ )当切线 PA 的长度为 2 3 时,求点 P 的坐标; (Ⅱ )若 ?PAM 的外接圆为圆 N ,试问:当 P 运动时,圆 N 是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐 标;若不存在,说明理由; (Ⅲ )求线段 AB 长度的最小值.

19.若数列 ?bn ? 满足:对于 n ? N ? ,都有 bn ? 2 ? bn ? d ( d 为常数) ,则称数列 ?bn ? 是公差为 d 的“隔项等差” 数列. (Ⅰ )若 c1 ? 3, c2 ? 17 , ?cn ? 是公差为 8 的“隔项等差”数列,求 ?cn ? 的前 15 项之和; (Ⅱ )设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N ? ,都有 an ? an ?1 ? 2n . ① 求证:数列 ?an ? 为“隔项等差”数列,并求其通项公式; ② 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 试研究: 是否存在实数 a , 使得 S2k、S2k ?1、S2k ?2 成等比数列 (k ?N ) ?
*

若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

20. 已知函数 f1 ( x ) ?

mx 1 , f 2 ( x) ? ( )| x ? m| ,其中 m ? R. 2 4 x ? 16 2

(Ⅰ )若 m ? 2 ,试判断函数 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x)( x ?[2, ??)) 的单调性,并说明理由; (Ⅱ )设函数 g ( x) ? ?

? f1 ( x), x ? 2 ,若对任意的 x1 ?? 2, ??? ,总存在唯一的实数 x2 ? ? ??, 2? ,使得 ? f 2 ( x), x ? 2

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,试确定实数 m 的取值范围.

3

高三数学期中试题(教师版)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? {?1,0,1}, B ? {01 ,, 2} ,则 A ? B ? ▲ .

1? 答案: ?0,
2.已知角 ? 的终边经过点 P (?4,3) ,则 sin ? 的值是 答案: ▲ .

3 5
▲ .

3. 若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? 答案:13 4.曲线 y ? 2 x ? ln x 在点(1,2)处的切线方程是 答案: x ? y ? 1 ? 0 5. 将函数 f ( x) ? 2sin 2x 的图象上每一点向右平移 答案: 2sin 2 x ? π 3 ▲



?

?
.

? 个单位, 得函数 y ? g ( x ) 的图象, 则 g ( x) = 6





6.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 5 相交于两点 A,B , 则线段 AB 的
2 2

长度为 答案:4



7. 不等式 log2 (4 ? x2 ) ? log2 (3x) 的解集为 答案: ?0,1? 8.已知 sin(? ? 45?) ? ? 答案:



.

2 ,且 0? ? ? ? 90? ,则 cos 2? 的值为 10





7 25

9. 在 ?ABC 中,“ A >

? 1 ”是“ sin A> ”的 6 2



条件. (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分

必要”、“既不充分也不必要”之一) 答案:必要不充分 10.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 3, E 为 DC 的中点,

A F

D

uuu r uuu r AE 与 BD 交于点 F ,则 FD ? DE ?
答案: ?

E




B C

3 2
4

(第 10 题图)

?y ? x 2 ? 2 2 11 .设 m ? 1 ,已知在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? y 的最大值为 ,则实数 m 的值为 3 ?x ? y ? 1 ?
▲ .

答案: 2 ? 3 12.已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? ?

1 ,其前四项恰是方程 ( x 2 ? mx? 2)(x 2 ? nx ? 2) ? 0 的四个根,则 2

m? n ?
答案:



.

15 2

2 2 13.已知圆 C:( x ? 2) ? y ? 4 ,点 P 在直线 l: y ? x ? 2 上,若圆 C 上存在两点 A、B 使得 PA ? 3PB ,

则点 P 的横坐标的取值范围是 答案: ?? 2,2?





14. 已知两条平行直线 l1 : y ? m和 l2 : y ?

3 (这里 m ? 0 ) ,且直线 l1 与函数 y ? log2 x 的图像从 m ?1

左至右相交于点 A、B ,直线 l2 与函数 y ? log8 x 的图像从左至右相交于 C、D.若记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a 、b ,则当 m 变化时, 答案:32 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或 ....... 演算步骤. 15.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin 2 B ? sin Asin C . (Ⅰ )求 ac ? b2 的值; (Ⅱ )若 b ? 2 ,且 BA ? BC ? 3 ,求 BC ? BA 的值. 2 解: (Ⅰ )因为 sin 2 B ? sin Asin C , 由正弦定理得 b 2 ? ac ,所以 ac ? b2 ? 0
2 (Ⅱ )因为 b ? ac , b ? 2 ,所以 b 2 ? 2 , ac ? 2

b 的最小值为 a





……………………………4 分

所以 BA ? BC ? cacosB ? 3 , 2 由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 a 2 ? c 2 ? 5 .……………………………8 分 所以 BC ? BA ? a 2 ? c 2 ? 2BC ? BA ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 8
5
2

即 BC ? BA ? 2 2

……………………………14 分

1 1 16.设 a ? R ,函数 f ( x) ? x3 ? (2a ? 1) x2 ? (a2 ? a) x . 3 2 f ?( x) (Ⅰ )已知 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,且 g ( x) ? ( x ? 0) 为奇函数,求 a 的值; x
(Ⅱ )若函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得极小值,求函数 f ( x) 的单调递增区间。 解: (Ⅰ ) f ?( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? (a2 ? a) , 故 g ( x) ? ……………………………2 分

f ?( x) a2 ? a ? x? ? (2a ? 1), x ? 0 , x x f ?( x) g ( x) ? ( x ? 0) 为奇函数, x

??x ? 0, g (? x) ? g ( x) ? 0 ,即 2a ? 1 ? 0,

1 ?a ? ? ; 2
(Ⅱ ) f ?( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? (a2 ? a)
? ( x ? a)[ x ? (a ? 1)]

……………………………6 分

列表如下:
x
f ?( x) (??, a)

( a, a ? 1)
?

(a ? 1, ?? )

?

?

……………………………9 分
? f ( x) 在 x ? a ? 1 处取得极小值,在 x ? a 处取得极大值,

由题设 a ? 1 ? 2 ,?a ? 1 ; 所以函数的递增区间为 (??,1), (2,??)

……………………………12 分 ……………………………14 分

17.某小区想利用一矩形空地 ABCD 建造市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一个水塘(如图中 阴影部分) , 水塘可近似看作一个等腰直角三角形, 其中 AD ? 60m ,AB ? 40m , 且 ?EFG 中,?EGF ? 90 , 经测量得到 AE ? 10m, EF ? 20m .为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时 经过点 G 作一条直线交 AB、DF 于 M、N ,从而得到五边形 MBCDN 的市民健身广场. (Ⅰ )假设 DN ? x(m) ,试将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为
x 的函数,并注明函数的定义域;

A

E G

F

N

D

(Ⅱ )问:应如何设计,可使市民健身广场的面积最大?并求 出健身广场的最大面积. 解: (Ⅰ )作 GH⊥ EF,垂足为 H,
6

M

B 第 17 题

C

因为 DN ? x ,所以 NH ? 40 ? x, NA ? 60 ? x , 因为 所以

NH NA ? , HG AM 40 ? x 60 ? x 600 ? 10 x ,所以 AM ? ? 10 AM 40 ? x
………………2 分

过 M 作 MT // BC 交 CD 于 T,则
S
MBCDW

? SMBCT ? SMTDN

1 ? (40 ? AM ) ? 60 ? ( x ? 60) ? AM , 2

A

E

H

F

N

D

所以 y ? (40 ?

600 ? 10 x 1 ( x ? 60)(600 ? 10 x) ) ? 60 ? ? 40 ? x 2 40 ? x

G M T

? 2400?

5?60 ? x ? 40 ? x

2

B

………………………7 分

C

由于 N 与 F 重合时, AM ? AF ? 30 适合条件,故 x ? ? 0,30? ,…………………………8 分

5?60 ? x ? 400 ? ? (Ⅱ ) y ? 2400? ? 2400? 5??40 ? x ? ? ? 40? ,…………………10 分 40 ? x 40 ? x ? ?
2

所以当且仅当 40 ? x ?

400 ,即 x ? 20 ? ?0,30? 时, y 取得最大值 2000, ……13 分 40 ? x
2

答:当 DN ? 20m 时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为 2000m 2 .…………14 分 18. 已知圆 M : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 4 ,点 P 是直线 l : x ? 2 y ? 0 上的一动点,过点 P 作圆 M 的切线 PA 、

PB ,切点为 A 、 B .
(Ⅰ )当切线 PA 的长度为 2 3 时,求点 P 的坐标; (Ⅱ )若 ?PAM 的外接圆为圆 N ,试问:当 P 运动时,圆 N 是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐 标;若不存在,说明理由; (Ⅲ )求线段 AB 长度的最小值. 解: (Ⅰ )由题可知,圆 M 的半径 r=2,设 P(2b,b) , 因为 PA 是圆 M 的一条切线,所以∠ MAP=90° , 所以 MP=

? 0 ? 2b ? ? ? 4 ? b ?
2

2

? AM 2 ? AP 2 ? 4 ,解得 b ? 0或b ?

8 5

所以 P (0, 0)或P (

16 8 , ) 5 5

……………………………4分

(Ⅱ )设P(2b,b) ,因为∠ MAP=90° ,所以经过A、P、M三点的圆 N 以MP为直径,
2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4 ? ? 其方程为: ? x ? b ? ? ? y ? ? ? 2 ? 4 ? 2 2
2 2 即 (2 x ? y ? 4)b ? x ? y ? 4 y ? 0

2

?

?

7

由?

?2 x ? y ? 4 ? 0
2 2 ?x ? y ? 4 y ? 0



……………………………7分

8 ? x? ? x ? 0 ? ? 5 ,所以圆过定点 (0, 4), ? 8 , 4 ? ……………………9分 解得 ? 或? ? ? ?5 5? ?y ? 4 ?y ? 4 ? 5 ?
2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4 ? ? (Ⅲ )因为圆 N 方程为 ? x ? b ? ? ? y ? ? ? 2 ? 4 ? 2 2 2

即 x2 ? y 2 ? 2bx ? (b ? 4) y ? 4b ? 0 圆 M : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 4 ,即 x ? y ? 8 y ? 12 ? 0
2
2 2

……① ……②

② -① 得圆 M 方程与圆 N 相交弦AB所在直线方程为:

2bx ? (b ? 4) y ? 12 ? 4b ? 0
点M到直线AB的距离 d ? 相交弦长即:

……………………………11分

4 5b ? 8b ? 16
2

……………………………13分

AB ? 2 4 ? d 2 ? 4 1 ?

4 4 ? 4 1? 2 5b ? 8b ? 16 4 ? 64 ? 5? b ? ? ? 5? 5 ?
2

当b ?

4 时,AB有最小值 11 5

……………………………16分

19.若数列 ?bn ? 满足:对于 n ? N ? ,都有 bn ? 2 ? bn ? d ( d 为常数) ,则称数列 ?bn ? 是公差为 d 的“隔项等差” 数列. (Ⅰ )若 c1 ? 3, c2 ? 17 , ?cn ? 是公差为 8 的“隔项等差”数列,求 ?cn ? 的前 15 项之和; (Ⅱ )设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N ? ,都有 an ? an ?1 ? 2n . ① 求证:数列 ?an ? 为“隔项等差”数列,并求其通项公式; ② 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 试研究: 是否存在实数 a , 使得 S2k、S2k ?1、S2k ?2 成等比数列 (k ?N ) ?
*

若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ )易得数列 c n ? ?

?4n ? 1,当n为奇数时; . ?4n ? 9,当n为偶数时

8

前 15 项之和 ?

(3 ? 59) ? 8 (17 ? 65) ? 7 ? ? 535 2 2
?

……………………………4 分

(Ⅱ )① (A) ? an ? an?1 ? 2n ( n ? N )

an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1)

(B)
?

(B) ? (A)得 an? 2 ? an ? 2 ( n ? N ) . 所以, ?an ? 为公差为 2 的“隔项等差”数列. 当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ? ……………………………6 分

?n ? ? 1? ? 2 ? n ? a , ?2 ?

当 n 为奇数时, an ? 2(n ? 1) ? an?1 ? 2(n ? 1) ? ??n ? 1? ? a? ? n ? a ? 1 ; ……………………………8 分

n?n ? n?n ? ? ? 1? ? ? 1? n 2 2 ? n 2 2 ? 1 ② 当 n 为偶数时, S n ? a ? ? ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? ? ? 2 ? n2 ; 2 2 2 2 2

n ?1? n ?1 ? n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 1? ? ? n ?1 n ?1 2 ? 2 2 ? 2 ? ??2 当 n 为奇数时, S n ? a ? ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? 2 2 2 2

?

1 2 1 n ?a? . 2 2

……………………………12 分

故当 n ? 2k 时, S2k ? 2k 2 , S2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? a , S2k ?2 ? 2(k ? 1) 2 ,
2 2 2 2 由 ?S2k ?1 ? ? S2k ? S2k ?2 ,则 (2k ? 2k ? a) ? 2k ? 2(k ? 1) ,解得 a ? 0 .

2

* 所以存在实数 a ? 0 ,使得 S2k、S2k ?1、S2k ?2 成等比数列( k ? N )

……………………………16 分 20. 已知函数 f1 ( x ) ?

mx 1 , f 2 ( x) ? ( )| x ? m| ,其中 m ? R. 2 4 x ? 16 2

(Ⅰ )若 m ? 2 ,试判断函数 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x)( x ?[2, ??)) 的单调性,并说明理由; (Ⅱ )设函数 g ( x) ? ?

? f1 ( x), x ? 2 ,若对任意大于等于 2 的实数 x1 ,总存在唯一的小于 2 的实数 x 2 ,使 ? f 2 ( x), x ? 2

得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,试确定实数 m 的取值范围. 解: (Ⅰ ) f ( x) 为减函数。理由如下: 因为 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ?

2x 1 2x 1 ? ( ) x?2 ? 2 ? 4 ? ( )x , 4 x ? 16 2 4 x ? 16 2
2

9

由于 f ' ( x) ?

8(4 ? x 2 ) 1 x 1 8(4 ? x 2 ) 1 ? 4 ? ( ) ln ? ? 4 ? ( ) x ln 2 ,且 x ? 2 , 2 2 2 2 (4 x ? 16) 2 2 (4 x ? 16) 2

' 所以 f ( x) ? 0 ,从而函数 f ( x) 为减函数。

(亦可先分别用定义法或导数法论证函数 f1 ( x) 和 f 2 ( x) 在 [2, ? ) 上单调递减,再得函数 f ( x) 为单调减函 数。 ) ……………………………5 分

(Ⅱ )① 若 m ? 0, x1 ? 2 时, g ( x1 ) ? f1 ( x1 ) ?

mx1 ? 0; 4 x12 ? 16

1 x ?m x2 ? 2 时 g ( x2 ) ? f 2 ( x2 ) ? ( ) 2 ? 0 。 2
所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 不成立. ② 若 m ? 0, x ? 2 时, g ' ( x) ? f '1 ( x) ? 从而 g ( x1 ) ? (0, f1 (2)] , 即 g ( x1 ) ? (0, ……………………………7 分

m(4 ? x2 ) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [2, ? ) 单调递减. (2 x2 ? 8)2

m ]. 16

……………………………9 分

(a)若 m ? 2, x ? 2 时, g ( x) ? f 2 ( x) ? ( )

1 2

x?m

1 1 ? ( ) m? x ? ( ) m ? 2 x . 2 2
1 2

m?2 所以 g ( x) 在 ( ??, 2) 上单调递增,从而 g ( x2 ) ? (0, f 2 (2)) ,即 g ( x2 ) ? (0, ( ) ) .

要使 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,只需 由于函数 h( m) ?

m 1 m 1 ? ( ) m ? 2 ,即 ? ( ) m ? 2 ? 0 成立即可. 16 2 16 2

m 1 ? ( ) m ? 2 在 [2, ? ) 上单调递增,且 h(4) ? 0 ,所以 2 ? m ? 4 . 16 2
……………………………11 分

(b)若 0 ? m ? 2, x ? 2 时, g ( x) ? f 2 ( x) ? ( )

1 2

x?m

? 1 m? x ( ) , x ? m, ? ? 2 ?? ?( 1 ) x ? m , m ? x ? 2. ? ? 2

所以 g ( x) 在 (??, m] 上单调递增,在 [ m, 2) 上单调递减. 从而 g ( x2 ) ? (0, f 2 (m)] ,即 g ( x2 ) ? (0,1] . ……………………………13 分

?m ? 1, ? m 1 ?16 ? ( ) 2? m 成立即可. 要使 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,只需 ? 成立,即 16 2 ? m ? ( 1 ) 2?m ? 2 ?16
10

m 1 1 2? m 1 ? ,( ) ? . 16 8 2 4 m 1 ? ( ) 2? m 恒成立. 故当 0 ? m ? 2 时, 16 2
由 0 ? m ? 2 ,得 综上所述, m ? (0, 4) . ……………………………16 分

11


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