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第1章-1.2-1.2.1-第1课时 排列与排列数公式


1.2

排列与组合 排列

1.2.1 第 1 课时

排列与排列数公式

●三维目标 1.知识与技能 (1)理解排列的概念. (2)能正确写出一些简单排列问题的所有排列.

2.过程与方法 通过具体实例的分析,亲身经历排列概念的形成过程, 在用列举法、树形图法列出数列的过程

中体会排列数与计数 原理的关系. 3.情感、态度与价值观 体会在列举时如何做到不重不漏,培养全面、有序地思 考问题的习惯.

●重点、难点 重点:排列与排列数公式的简单应用. 难点:排列数公式的推导. 教学时先将问题 1、2 的答案列出,引导学生观察答案, 对排列数公式产生一定的感性认识,教学时可引导学生对排 列数公式进行猜想,再根据分步乘法计数原理推出排列数公 式,从而化解难点.

课 标 解 读

1.理解排列的概念,能正确写出一些 简单问题的所有排列. 2.会用排列数公式进行求值和证明.

排列的定义

【问题导思】 从甲、乙、丙三名同学中选出 2 人参加一项活动,其中 1 名同学参加上午的活动,另 1 名同学参加下午的活动.

1.让你安排这项活动需要分几步? 【提示】 分两步.第 1 步确定上午的同学; 第 2 步确定下午的同学.2.有几种排法? 【提示】 共有 3×2=6 种.

3.甲乙和乙甲是相同的排法吗?
【提示】 不是.

排列的概念 一般地,从 n 个不同元素中取出 m( 按照 一定的顺序

m≤n )个元素,

排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取

出 m 个元素的一个排列.

排列数及排列数公式

【问题导思】 两个同学从写有数字 1,2,3,4 的卡片中选取卡片进行组数 字游戏.

1. 从这 4 个数字中选出两个能构成多少个无重复数字的 两位数?

【提示】 4×3=12 个.

2.从 4 个数字中选出 3 个能构成多少个无重复数字的 3 位数?

【提示】 4×3×2=24 个.
3 .从几个不同的元素中取出 m 个 (m≤n) 元素排成一 列.共有多少种不同排法?

【提示】 n(n-1)(n-2)??(n-m+1)种.

排列数与排列数公式 排列数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所 定义及 有不同 排列的个数 叫做从 n 个不同元素 表示 中取出 m 个元素的排列数, 用符号 Am n 表示. 乘积 Am n = n(n-1)×?×(n-m+1) 排列数 形式 n! 公式 阶乘 m A 形式 n = ?n-m?! 0 性质 An = n ! ; A n n=1;0!=1

排列的有关概念

判断下列问题是否为排列问题. (1)选 2 个小组分别去植树和种菜; (2)选 2 个小组种菜; (3)选 10 人组成一个学习小组; (4)从 1,2,3,4,5 中任取两个数相除; (5)10 个车站,站与站间的车票.

【思路探究】 解决本题的关键是要明确排列的定义, 看选出的元素在安排时是否与顺序有关,若有关,则是排列 问题,否则就不是.

【自主解答】 (1)植树和种菜是不同的, 存在顺序问题, 是排列问题. (2)(3)不存在顺序问题,不是排列问题. (4)两个数相除与这两个数的顺序有关,是排列问题. (5)车票使用时有起点和终点之分,故车票的使用是有顺 序的,是排列问题.

1. 解决本题的关键有两点: 一是“取出元素”, 二是“与 顺序有关”. 2.排列的特点是“与顺序有关”.因此,判断一个问题 是否为排列问题,只需考察与顺序是否有关,有关则是排列 问题,无关则不是排列问题.

下列问题是排列问题吗?并说明理由. (1)会场有 50 个座位, 要求选出 3 个座位有多少种方法? 若选出 3 个座位安排三位客人,又有多少种方法? (2)从集合 M={1,2,?,9}中,任取两个元素作为 a,b, x2 y2 可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程 2+ 2=1?可以得 a b x 2 y2 到多少个焦点在 x 轴上的双曲线方程 2- 2=1? a b

【解 】

(1) 第一 问不是排列问题, 第二问是排列 问

题.“入座”问题同“排队”问题,与顺序有关,故选 3 个 座位安排三位客人是排列问题. x2 (2)第一问不是排列问题, 第二问是排列问题. 若方程 2+ a y2 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则必有 a>b,a,b 的大小关 b2 x 2 y2 x2 系一定; 在双曲线 2- 2=1 中, 不管 a>b 还是 a<b, 方程 2- a b a y2 =1 均表示焦点在 x 轴上的双曲线,且是不同的双曲线,故 b2 是排列问题.

排列数的计算或证明
4 A5 + A 9 9 (1)计算 6 5 ; A10-A10 m m-1 (2)证明:Am - A = m A . + n 1 n n

【思路探究】 第(1)题可直接运用排列数公式,也可采 用阶乘式; 第(2)题首先分析各项的关系, 利用 形推导. Am n= n! 进行变 ?n-m?!

4 4 4 A5 + A 5A + A 5+1 9 9 9 9 【自主解答】 (1)法一: 6 = 4 4= A10-A5 50A - 10A 50-10 10 9 9

3 = . 20 9! 9! + 5 4 4! 5! A9+A9 5×9!+9! 法二: 6 = = 5 = A10-A10 10! 10! 5×10!-10! - 4! 5! 6×9! 3 = . 4×10! 20

m (2)∵Am - A + n 1 n=

?n+1?! n! - ?n+1-m?! ?n-m?!

n! n+1 = · ( -1) ?n-m?! n+1-m n! m = · ?n-m?! ?n+1-m? n! =m· ?n+1-m?!
-1 =mAm n ,

m m-1 ∴Am - A = m A + n 1 n n .

排列数的计算方法 1.排列的数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行, 应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最 大的是排列元素的总个数, 而正整数(因式)的个数是选取元素 的个数,这是排列数公式的逆用. 2.应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子 后,再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.

(1)乘积 m(m+1)(m+2)(m+3)?(m+20)可表示为( A.A2 m C.A20 m +20
-1 -m Am An n-1 · n-m (2)计算 -1 An n -1

)

B.A21 m D.A21 m+20

【解析】

因为 m,m+1,m+2,m+3,?,m+20

中最大的数为 m+20,且共有 m+20-m+1=21 个,所以 m(m+1)(m+2)(m+3)?(m+20)=A21 m+20.故选 D.

【答案】 D
-1 n-m Am · A - n 1 n-m (2) -1 An n-1

?n-1?! ?n-1?! 1 = · (n-m)!· = · (n- [?n-1?-?m-1?!] ?n-1?! ?n-m?! 1 m)!· =1. ?n-1?!

简单的排列问题

一部纪录影片在 4 个单位轮映,每一个单位放 映 1 场,有多少种轮映次序?
【思路探究】 设 4 个单位依次为 A,B,C,D,该影 片先在 A 放映与先在 B 放映是不同的,因此,这是一个排列 问题.

【自主解答】 影片在 4 个单位轮映一次,对应于 4 个 元素(单位)的一个全排列.因此总共有 A4 4=24(种).故有 24 种轮映次序.

解简单的排列应用题首先必须认真分析、理解题意,看 能否把问题归结为排列问题,即是否有顺序.如果是的话, 再进一步分析,这里 n 个不同的元素指的是什么,以及从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的每一种排列对应的是什么事 情,然后才能运用排列数公式求解.

沿途有四个车站,求这四个车站之间需要准备不同车票 的种数.

【解】 要确定一种车票,即是从四个车站中任意选出 2 个车站,按起点站在前、终点站在后进行排列,共有 A2 4种 不同的排法,即共有 A2 4 种不同的车票,由排列数公式可得 A2 4=4×3=12.

树形图法在解决简单排列问题中的应用 (12 分)从 0,1,2,3 这四个数字中,每次取出三个 不同的数字排成一个三位数. (1)能组成多少个不同的三位数,并写出这些三位数. (2)若组成这些三位数中,1 不能在百位,2 不能在十位, 3 不能在个位,则这样的三位数共有多少个,并写出这些三 位数.

【思路点拨】 (1)按照“百”“十”“个”位的顺序分 步解决. (2)注意所给条件的约束,利用树形图法求解.

【规范解答】 (1)组成三位数分三个步骤: 第一步:选百位上的数字,0 不能排在首位,故有 3 种 不同的排法; 第二步:选十位上的数字,有 3 种不同的排法; 第三步:选个位上的数字,有 2 种不同的排法. 由分步乘法计数原理得共有 3×3×2=18 个不同的三位 数. 4分

画出下列树形图:

由 树 形 图 知 , 所 有 的 三 位 数 为 102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310 ,312,320,321. 8分

(2)直接画出树形图:

11 分 由树形图知,符合条件的三位数有 8 个: 201,210,230,231,301,302,310,312. 12 分

用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法.它能 很好地确定排列中各元素的先后顺序,利用树形图可具体的 列出各种情况,避免排列的重复和遗漏.

1.判断一个问题是否是排列的思路 排列的根本特征是每一个排列不仅与选取 的元素有关,而且与元素的排列顺序有关.这 就说,在判断一个问题是否是排列时,可以考 虑所取出的元素,任意交换两个,若结果变化, 则是排列问题,否则不是排列问题.

2.关于排列数的两个公式 (1)排列数的第一个公式 Am n =n(n-1)(n- 2)?(n-m+1)适用 m 已知的排列数的计 算以及排列数的方程和不等式. 在运用时 要注意它的特点,从 n 起连续写出 m 个数的 乘积即可.

(2)排列数的第二个公式

Am n=

n! ?n-m?!

适用于与排列数有关的证明、解方程、解 不等式等,在具体运用时,应注意先提取 公因式再计算,同时还要注意隐含条件 “n、m∈N*,m≤n”的运用.

1.4×5×6×?(n-1)· n 等于( A.A4 n
-4 B.An n

)
-3 D.An n

C.(n-4)!

【解析】 从 4,5?到 n 共 n-4+1=n-3 个数,所以根
n-3 据排列数公式知 4×5×6×?×(n-1)×n=An .

【答案】 D

2.从 2,3,5,7 四个数中任选两个分别相除,则得到的结 果有( ) B.10 个 C.12 个 D.16 个

A.6 个

【解析】 符合题意的商有 A2 4=4×3=12. 【答案】 C

3.某段铁路所有车站共发行 132 种普通车票,那么这段 铁路共有的车站数是( A.8 B.12 ) C.16 D.24

【解】 设车站数为 n,则 A2 n=132,n(n-1)=132,∴n =12.
【答案】 B

4.写出下列问题的所有排列. (1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排; (2)从编号为 1,2,3,4,5 的五名同学中选出两名同学任正、 副班长.

【解】 (1)四名同学站成一排, 共有 A4 4=24 个不同的排 列,它们是: 甲乙丙丁,甲丙乙丁,甲丁乙丙,甲乙丁丙,甲丙丁乙, 甲丁丙乙; 乙甲丙丁,乙甲丁丙,乙丙甲丁,乙丙丁甲,乙丁甲丙, 乙丁丙甲;

丙甲乙丁,丙甲丁乙,丙乙甲丁,丙乙丁甲,丙丁甲乙, 丙丁乙甲; 丁甲乙丙,丁甲丙乙,丁乙甲丙,丁乙丙甲,丁丙甲乙, 丁丙乙甲.

(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长,共有 A2 5= 20 种选法,形成的排列是: 12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53, 54.

课后知能检测(二)

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写出下列问题的所有排列: (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数,共有 多少个不同的两位数? (2)由 1,2,3,4 四个数字能组成多少个没有重复数字的四位 数?试全部列出.

【思路探究】 (1)直接列举数字; (2)先画出树形图,再结合图形写出.

【自主解答】 (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43, 共有 12 个不同的两位数. (2)画出树形图,如图所示:

由上面的树形图知,所有的四位数为: 1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,241 3,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4 312,4321,共 24 个四位数.

A,B,C 三名同学照相留念,呈“一”字形排队,所有 排列的方法种数为________.

【解析】 列举如下:A—B—C,A—C—B,B—A—C, B—C—A,C—A—B,C—B—A,共 6 种.

【答案】 6


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