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乾坤-面面垂直的判定


2.3.2 平面与平面垂直的判定定理

山西省祁县中学校 赵乾坤

教室的墙面和地面,相邻两个墙面,打开的门和墙面,翻开的书 的两页纸,都能给我们两平面相交的感觉,但是所涉及的两个平 面的相对位置又不尽相同。我们该如何来刻画两个相交平面的相 对位置呢?

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问题1 在平面几何中“角”是怎样定义的? 构成角的基本要素有几个? 类比平面内“角”的定义,在空间立体 几何中,我们可以如何定义二面角?用你 自己的话说一说。

问题2 我们已经掌握了空间中角的 本质特征,二面角的定义是什么呢? 阅读教材第68页第一段,然后 在练习本上默写出定义,再分别用 图形语言和符号语言表示二面角。

问题 3 我们看到,各二面角的开口程 度不同,我们常说“把门开大些”, 是指哪个角开大一些 ?如何度量二面角 的大小呢?类比在异面直线所成的角、 直线与平面所成的角的研究方法,应 该如何研究这个问题呢?写出你的研 究方法.

问题4 二面角的平面角的定义是什么? 取值范围是什么?其中有哪些特殊角? 类比两条直线互相垂直,如何定义两个 平面互相垂直呢?请你阅读教材第68页 二、三自然段,理解并记忆相关的知识。

问题5 现在我们可以用二面角的大小判断两 个平面是否垂直,但是操作性比较差,还能 如何判定两个平面互相垂直呢?类比空 间中线面垂直的研究思路,结合对下面 实例的分析,提出你的猜想。

1.教室的相邻两个墙面都和教室地面垂直吗? 两相邻墙面有什么共同特征?
2.打开的书本立在桌面上时,每页书所在平面和桌面垂直吗? 书页有何共同特征? 3.教室的门面不论转动到什么位置都有门面垂直于地面,门 面转动过程中保持了哪一个特征呢?

4.建筑工人如何检测所砌的墙面和地面是否垂直呢?

如图长方体中,侧面A1D过底面ABCD的一条垂线A1A,根 据上面猜想,应有侧面A1D与底面ABCD垂直,你能找到相 应二面角的平面角加以确认吗? D1
A1 B1

C1

D A B

C

问题6 平面与平面垂直的判定定理是什 么?请你用文字语言、图形语言、符号 语言分别表示。应用这个定理判断面面 垂直的基本思路是什么?其中蕴含的基 本思想是什么?

练习1: 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面于A,C 是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证:平面PAC⊥平面PBC

证明:由AB是圆O的直径,可得AC⊥BC
PA ? 平面ABC ? ? ? PA ? BC BC ? 平面ABC ? BC ? AC PA AC ? A
C A
B

P

? BC ? 平面PAC
BC ? 平面PBC
O

? 平面PAC⊥平面PBC

练习2 如图已知 AB ? 平 面 BCD ,BC ? CD

(1)图中哪些平面互相垂直,为什么? (2)作出图中二面角A-BD-C的平面角
A

B C

D

1.概念 ?二面角 ?二面角的平面角 ?两个平面互相垂直 2.面面垂直的判定 3.数学思想方法 (1)类比法
?类比平面内角的概念定义二面角 ?类比平面内两直线垂直定义两平面垂直
?类比面面平行判定定理归纳过程归纳面面垂直判定定理

?定义法

?判定定理

(2)转化思想
?“面面垂直”转化为“线面垂直”

?“空间问题”转化为“平面问题”


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