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2.2.二项分布及其应用


探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回 的抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同 学小.

思考1? 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后 一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少?

已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同 学抽到中奖奖券的概率呢?

条件概率的理解

r />
P(B|A)表示事件A发生条件下,B发生的概率

寓言故事新编:“一个和尚挑水吃,两个和尚抬水吃,三个和 尚没水吃” ,现在他们学会了团结与合作,为提高效率,三人 决定依次抽签选一人去扛水。 (1)第三个人去扛水的概率为 1/3 ; P(B)=1/3

(2)已知第一个人抽签结果不用扛水,则第三 1/2 P(B|A)=1/2 个人去扛水的概率为 .

记:

B={第三个人去扛水};A={第一个不用扛水}

一、条件概率的概念及公式
1、条件概率:一般地,设A,B为两个事件,在事件A发生的 条件下,求事件B发生的概率。 记作:P(B|A)

读作:A发生的条件下B发生的概率

2、条件概率P(B|A)的公式?

P( AB) P( B | A) ? P( A)

或P( AB) ? P( A) ? P( B | A)

二、条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1

(2)B、C是互斥事件 P(BUC|A)= P(B|A)+ P(C|A)

n( AB) 考点一、条件概率的计算 (1) P( B | A) ? n( A) P( AB) (2) P( B | A) ? P( A) 例1、在6道题中有4道理科题和2道文科题,如果不放回的依次
抽取2道题

(1)第一次抽到理科题的概率
(2)第一次与第二次都抽到理科题的概率 (3)第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科题的概率.

★概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系

nAB P( AB) ? n总

nAB P( B A) ? , nA

练习1、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽
取2次,每次取1张.已知第1次抽到A,求第2次也抽到A

的概率.

练习2、100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次,每 次抽1件.已知第1次抽出的是次品,求第2次抽出正品的 概率.

练习3、一批同型号产品由甲、乙两厂生产,产品结构如下表:
数量
厂别 甲厂 乙厂 合计

等级 合格品 次 品 合 计

475 25 500

644 56 700

1 119

81
1 200

(1)从这批产品中随意地取一件,则这件产品恰好是

27 次品的概率是_________; 400
(2)在已知取出的产品是甲厂生产的,则这件产品恰好

1 是次品的概率是_________ ; 20

例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任 选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一 位数字,求

(1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率;
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次 就按对的概率。

变式(3)、如果他记得密码的最后一位是偶数,不超 过3次就按对的概率。

练习4、抛掷两颗均匀的骰子,已知第一颗骰子掷出6点,问: 掷出点数之和大于等于10的概率。

变式:抛掷两颗均匀的骰子,已知点数不同,求至少有一个是
6点的概率?

探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回的抽取, 事件A:“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B:”最后一名同学抽到中奖奖券”, 求(1)P(B);(2)P(B|A).

一、相互独立事件的概念
1、事件的相互独立性
设A,B为两个事件,如果 件B相互独立。 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事

即事件A是否发生,对事件B发生的
(即事件B是否发生,对事件A发生的) 概率没有影响,这样两个事件叫做相互独立事件。

注:如果事件A与B相互独立,那么A与B,A与B,A与B是不
是相互独立的

区分互斥事件与相互独立事件 互斥事件 概念
不可能同时发生 的两个事件叫做 互斥事件.

相互独立事件
如果事件A(或B)是 否发生对事件B(或A) 发生的概率没有影响, 这样的两个事件叫做 相互独立事件 .

符号

互斥事件A、B中 有一个发生,记作

相互独立事件A、B同 时发生记作 AB

A + B或(A∪B)) P(A∪B)=P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B)

计算公式

题型一、事件相互独立性的判断
判断事件下列事件是否为互斥, 互独事件? (1)袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依次取2球. 事件A:“第一次取出的是白球”.把取出的球放回盒中, 事件B:“第二次取出的是白球” (2)袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依次取2球. 事件A:“第一次取出的是白球”. 取出的球不放回盒中, 事件B:“第二次取出的是白球”

(3)袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中取出1球. 事件A为“取出的是白球”; 事件B为“取出的是黑球”.

练习、课本P55

T1

题型二、相互独立事件同时发生的概率
事件A、B相互独立 P(AB)= P(A)P(B)
例1、某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以 获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽 奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05 ,求两次抽奖中以下事件的概率: (1)都抽到某一指定号码;
(2)恰好第二次抽到指定号码; (2)恰有一次抽到某一指定号码; (3)至少有一次抽到某一指定号码。

练习、课本P55

T2,3

例2.甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码 的概率分别为 1 ,
3 1 4

,求

(1)两个人都译出密码的概率;(2)两个人都译不出密码的概率; (3)恰有1个人译出密码的概率;(4)至多1个人译出密码的概率; (5)至少1个人译出密码的概率.

事件

意义

A? B
A? B
A? B

A、B同时发生 A不发生B发生

A发生B不发生

A不发生B不发生 A、B中恰有一个发生 A? B ? A? B A ? B ? AB ? AB A、B中至少有一个发生
A? B
AB ? AB ? AB

A、B中至多有一个发生

事件A、B、C相互独立 P(ABC)= P(A)P(B)P(C)

4 例3 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为 , 5 7 3 乙当选的概率为 ,丙当选的概率为 10 5
(1)求恰有一名同学当选的概率;

(2)求至多有一名同学当选的概率。

题型三、已知独立事件同时发生的概率,求 各事件发生的概率
例5 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知

甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的

1 概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件 4 1
不是一等品的概率为 12 ,甲丙两台机床加工的零件都是一 2 等品的概率为 9 。 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的

概率;
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个 一等品的概率。

练习:设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。
已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为 0.05,甲、

丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125.
(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别

为多少?
(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率。

复习引入
前面我们学习了互斥事件、 条件概率、 相互独立事件的 意义,这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型, 吻合模型用公式去求概率简便.

⑴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B)(当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) ⑵ P ( B | A) ? P ( A) ⑶ P ( AB) ? P ( A) P ( B) (当 A与B 相互独立时)
那么求概率还有什么模型呢?

分析下面的试验,它们有什么共同特点?
(1)投掷一个骰子(或硬币)次; (2)某人射击1次,击中目标的概率是0.8,他射击10次; (3)一个盒子中装有5个球(3个红球和2个黑球),有放回地依次 从中抽取5个球; (4)生产一种零件,出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件.

共同特点是: 多次重复地做同一个试验.

一、n次独立重复试验的基本概念
1、n次独立重复试验的定义:
一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复实验

P? A1 A2 ? ? ? An ? ? P? A1 ? P? A2 ? ? ? ? P? An ?.
其中A i ?i ? 1 ,2,? ? ?,n? 是第i次试验的结果 .
2、独立重复试验的特点:
1)每次试验只有两种结果,要么事件A发生,要么A不发生;

2)任何一次试验中,A事件发生的概率相同,即相互独立, 互不影响试验的结果。

二、探究独立重复试验的概率
投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p,则针尖向下 的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次,仅出现1次针尖 向上的概率是多少?

出现k(0≤k≤3)次正面向上的概率又该如何求呢?

三、二项分布的概念
1、二项分布:
一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X, 在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验 中,事件A恰好发生k次的概率为

P( X ? k ) ? C p (1 ? p)
k n k

n?k

, k ? 0,1, 2,..., n.

此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p 为成功概率。 注:
k k n? k Pn (k ) ? cn p q 是( p ? q)n 展开式中的第 k ? 1 项.

题型一、求n次试验中恰有k次发生的概率
例1、已知一个射手每次击中目标的概率为0.6,求他在4 次射击中下列事件发生的概率. (1)恰好在第三次命中目标. (2)刚好在第二、第三次击中目标; (3)命中一次; (4)命中两次;

题型二、二项分布、独立事件、互斥事件的综合运用

例2、某气象站天气预报的准确率为80%,计算: (1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率; (3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率。

对于至多、至少的问题,通常涉及到

求互斥事件的概率

练习1、某射手在10次射击中射中次数X~(10,0.8)
(1)求P(X=8) (2)求P(X≥8) 至多、至少问题时涉及 到求对立事件的概率

练习2、二项分布的逆用

(1)在4次独立重复试验中,事件出现的概率相同,事件A

至少出现一次的概率为65/81,则事件A在一次试验中中出现
的概率为_________.

(2)如果每门炮的命中率都是0.6,
1)10门炮同时向目标各发射一发炮弹,求目标被击中的概率; 2)要保证击中目标的概率大于0.99,至少需多少门炮同时发射?

例3、(05,北京)甲乙两人各进行3次射击,甲每次击中目 1 2 标的概率为 ,乙每次击中目标的概率为 ,求: 2 3 (1)甲恰好击中目标2次的概率; (2)乙至少击中目标2次的概率; (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率; (4)甲、乙两人共击中5次的概率。

例4、某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行,

比赛采用五局三胜制,即哪个球队先胜三场即可获得总
冠军,已知每一场比赛中甲队获胜的概率是0.6,乙对获

胜的概率是0.4。
(1)甲队以3:0获胜的概率;

(2)甲队以3:1获胜的概率;
(3)甲队以3:2获胜的概率;

(4)甲队获得总冠军的概率.

题型三、独立重复试验的分布列
例4、一名学生骑自行车上学,从他家道学校的途中有6个交通岗,

假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是
1/3,设X为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列.

练习3、在100件产品中有4件次品.

②从中一次取出4件产品,则恰有2件是次品概率为

;

若记出现次品的件数为X,则X服从的分布是_______

③从中有放回的抽4次,每次1件,则恰有2件是次品概率为
若记出现次品的件数为X,则X服从的分布是_____

;

二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系?

1.两点分布是特殊的二项分布 ? ? ?(1? p )

2.从一个放有 M 个红球,( N ? M )个白球的袋中取球, 记下红球的个数 ? ⑴依次从袋中取 n 个球,如果是有放回地取,.则 M ? ? B ( n, ) N ⑵如果是一次取出 n 个球, 则 ? 服从超几何分布.
k n? k CM CN ?M P (? ? k ) ? ( k ? 0,1, 2, n CN

, m ) (其中 m ? min( M , n)


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